2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理练习含解析新人教A版选修1_2

2.1.1 合情推理
[A 基础达标]
1．观察数列1，5，14，30，x，…，则x的值为( )
A．22 B．33
C．44 D．55
解析：选D.观察归纳得出，从第2项起，每一项都等于它的前一项与它本身项数的平方的和，即a n＝a n－1＋n2，
所以x＝30＋52＝55.
2．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为( )
解析：选A.观察题图中每一行、每一列的规律，从形状和颜色入手，每一行、每一列中三种图形都有，故填长方形；又每一行、每一列中的图形的颜色应有二黑一白，故选A.
3．把下列在平面内成立的结论类比到空间，结论不成立的是( )
A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交
B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直
C．如果两条直线与第三条直线都不相交，则这两条直线不相交
D．如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行
解析：选D.类比A的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．
类比B的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立．
类比C的结论为：如果两个平面与第三个平面都不相交，则这两个平面不相交，成立．类比D的结论为：如果两个平面同时与第三个平面垂直，则这两个平面平行，不成立．4．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称以下形式的等式具有“穿墙术”：
22
3
＝2
2
3
，3
3
8
＝3
3
8
，4
4
15
＝4
4
15
，5
5
24
＝5
5
24
，….
按照以上规律，若88
n
＝8
8
n
具有“穿墙术”，则n＝( )
A．7 B．35
C ．48
D ．63
解析：选D.223
＝2222
－1
＝223，33
8＝3 332－1
＝338，4415＝4442
－1
＝
4415
，55
24＝5 552
－1＝5
524
，…，按照以上规律可得n ＝82
－1＝63. 5. 如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为其左焦点，当FB →⊥AB →
时，椭圆的离心率为
5－1
2
，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为( )
A.
5＋1
2
B.
5－1
2
C.5－1
D.5＋1
解析：选A.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)，F (－c ，0)，B (0，b )，A (a ，0)，则FB
→
＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝－ac ＋b 2＝0.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2
－
ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝
1±52.又e >1，所以e ＝1＋5
2
.故选A. 6．在平面直角坐标系xOy 中，二元一次方程Ax ＋By ＝0(A ，B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地，在空间直角坐标系Oxyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，B ，C 不同时为0)表示________．
解析：由方程的特点可知：平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面，“过原点”类比仍为“过原点”，因此应得到：在空间直角坐标系Oxyz 中，三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A ，
B ，
C 不同时为0)表示过原点的平面．
答案：过原点的平面 7．观察下列等式： 1＋1＝2×1，
(2＋1)(2＋2)＝22
×1×3，
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23
×1×3×5， …
照此规律，第n 个等式可为________________________．
解析：观察规律可知，左边为n 项的积，最小项和最大项依次为(n ＋1)，(n ＋n )，右边为连续奇数之积乘以2n
，则第n 个等式为：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n
×1×3×…×(2n －1)．
答案：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n
×1×3×…×(2n －1) 8．根据图(1)的面积关系：
S △PA ′B ′S △PAB ＝PA ′PA ·PB ′PB ，可猜想图(2)有体积关系：V P ­A ′B ′C ′V P ­ABC
＝
________．
解析：题干两图中，与△PAB ，△PA ′B ′相对应的是三棱锥P ­ABC ，P ­A ′B ′C ′；与△PA ′B ′两边PA ′，PB ′相对应的是三棱锥P ­A ′B ′C ′的三条侧棱PA ′，PB ′，PC ′.与△PAB 的两条边PA ，PB 相对应的是三棱锥P ­ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC .由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为
V P ­A ′B ′C ′V P ­ABC ＝PA ′PA ·PB ′PB ·PC ′
PC
. 答案：
PA ′PA ·PB ′PB ·PC ′
PC
9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n . 解：因为S n ＝n 2
·a n (n ≥2)，a 1＝1， 所以S 2＝4·a 2＝a 1＋a 2，a 2＝13＝2
3×2
.
S 3＝9a 3＝a 1＋a 2＋a 3，a 3＝a 1＋a 28
＝16＝2
4×3
.
S 4＝16a 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4，a 4＝a 1＋a 2＋a 315＝110＝25×4.所以猜想a n ＝2n （n ＋1）
.
10．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有
T 20T 10，T 30T 20，T 40
T 30
也是等比数列，且公比为4100
；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明．
解：结论：S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列且公差为300.此结论是正确的，证明如下：
因为数列{a n }的公差d ＝3.所以(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝
＝100d ＝300.
同理：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，
所以S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列且公差为300.
[B 能力提升]
11．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( ) 1 3 5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31 … A ．809 B ．853 C ．785
D ．893
解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202
＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.
12．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，以此类推，设BA ＝a 1，
AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．
解析：根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1， 所以{a n }构成以a 1＝2，q ＝
2
2
的等比数列， 所以a 7＝a 1q 6
＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝1
4
.
答案：14
13．如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N *
，m ≥2)．
(1)写出一个数列，用它表示当m 分别是2，3，4，5，…时，方阵中士兵的人数； (2)若把(1)中的数列记为{a n }， ①归纳猜想该数列的通项公式； ②求a 10，并说明a 10表示的实际意义；
③若a m ＝9 900，求a m 是数列{a n }的第几项，此时的方阵为几行几列．
解：(1)当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，同理可以得到当m ＝3，4，5，…时的士兵人数分别为12，20，30，…，故所求数列为6，12，20，30，….
(2)①因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…， 所以猜想a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，n ∈N *
. ②a 10＝11×12＝132.
a 10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.
③令(m ＋1)(m ＋2)＝9 900，所以m ＝98，即a m 是数列{a n }的第98项，此时的方阵为99行100列．
14．(选做题)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 2
13°＋cos 2
17°－sin 13°cos 17°； ②sin 2
15°＋cos 2
15°－sin 15°cos 15°； ③sin 2
18°＋cos 2
12°－sin 18°cos 12°； ④sin 2
(－18°)＋cos 2
48°－sin (－18°)cos 48°； ⑤sin 2
(－25°)＋cos 2
55°－sin (－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 2 15°＋cos 2
15°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°
＝1－14＝34
.
(2)三角恒等式为sin 2 α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：
sin 2
α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin 2
α＋(cos 30°cos α＋sin 30° sin α)2
－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin 2 α＋34cos 2 α＋32sin αcos α＋14sin 2 α－32sin αcos α－12
sin 2 α＝sin 2
α＋34cos 2 α－14
sin 2 α
＝34sin 2
α＋34cos 2 α＝34.。