2019-2020年高三12月月考数学理试题 含解析

2019-2020年高三12月月考数学理试题 含解析 【试卷综述】本试卷注重对数学基础知识、基本技能、基本思想和方法的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察。

突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

注重双基和数学思想数学方法的复习，注重运算能力思维能力的培养。

较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，能考查学生的能力。

【题文】一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
【题文】1．已知集合A={1,3,4,6,7,8}，B=｛1,2,4,5,6｝则集合A ∩B 有（ ）个子集
A.3
B.4
C.7
D.8
【知识点】集合运算；子集的概念. A1
【答案】【解析】D 解析：∵ A ∩B={1,4,6}，∴A ∩B 有个子集，故选D. 【思路点拨】求得A ∩B ，再用公式求其子集个数.
【题文】2．设向量满足||15,11a b a b +=-=，则（ ） A.1 B.2 C.3 D.5
【知识点】向量的模与与向量数量积的关系. F1 F3 【答案】【解析】A 解析：因为||15,11a b a b +=-=，所以
222215,a b a a b b +=+⋅+=222211,a b a a b b -=-⋅+=两式相减得:
44，所以1，故选A.
【思路点拨】将向量的模平方，转化为向量数量积运算，再相减得结论.
【题文】3．已知a,b 为实数，命题甲：，命题乙：，则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【知识点】充分条件；必要条件的判定. A2
【答案】【解析】B 解析：当a=2,b=1时，，但不成立；当时，
，则22211ab ab ab b b a
⨯>⨯⇒>成立，所以选B. 【思路点拨】只需判断命题：“若甲则乙”与“若乙则甲”的真假.
【题文】4．已知变量满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≥+≤142y x y x y ，则的最大值为( )
A.8
B.11
C.9
D.12
【知识点】简单的线性规划. E5
【答案】【解析】B 解析：画出可行域，平移目标函数得最优解为直线y=2与x-y=1的交点（3,2）所以的最大值为11，故选B.
【思路点拨】画出可行域，平移目标函数确定最优解即可.
【题文】5．已知()(){}3,3,,202y M x y N x y ax y a x ⎧
-⎫===++=⎨⎬-⎩⎭
且，则=（ ） A.-6或-2 B.-6 C.2或-6 D.2
【知识点】两个集合交集是空集的条件. A1
【答案】【解析】A 解析：若，则3232
a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-≠-⎪⎩或32260a a a ⎧-≠⎪⎨⎪++=⎩，解得a= -6或a= -2,故选
A.
【思路点拨】要使，需使：缺少点（2，3）的直线y-3=3(x-2)与直线ax+2y+a=0平行，或者直线ax+2y+a=0过点（2，3），但不与直线y-3=3(x-2)重合即可.
【题文】6已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为( )
A. B. C. D. 不存在
【知识点】等比数列的性质；基本不等式 D3 E6
【答案】【解析】A 解析：设等比数列的首项为，公比为q, ,则()
654211122021a q a q a q q q q q ⋅=⋅+⋅∴--=∴==-或舍
若
()114144,66a m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫=+=∴+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则41493554962n m m n m n ⎛⎫=++≥+=∴+≥= ⎪⎝⎭，故选A 【思路点拨】根据条件求出等比数列的公比，再结合，求出m,n 的和，再结合基本不等式，即可得到答案.
【题文】7设斜率为22
的直线l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( ) A. B.12 C. D.13
【知识点】直线与圆锥曲线 H8
【答案】【解析】C 解析：两个交点的横坐标为-c,c ，所以两个交点分别为，代入椭圆，两边乘以则()()()22222222222222220
c b a a b b a c a c a c +==-∴--=
22120122
c e e a =<<∴=或，故选C.
【思路点拨】先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，再解有关于a 与c 的关系式即可.
【题文】8若8cos 82cos 8cos πππn S n +++= （），则在中，正数的个数是（ ） A. 882 B. 756 C.750 D. 378
【知识点】三角函数的性质 C3
【答案】【解析】B 解析：由题意可知
1234223234cos ,cos cos ,cos cos cos ,cos cos cos cos ,8888888888
S S S S π
π
ππππππππ==+=++=+++52345cos cos cos cos cos 88888
S πππππ=++++623456cos cos cos cos cos cos ,888888S ππππππ=+++++，由三角函数值与三角函数的周期性可知前16个值中有6个正数，分别为，16个值为一组呈现周期性，xx 为，所以正数的个数为，故选B
【思路点拨】由三角函数值与三角函数的周期性可知前16个值为一个周期，其16个值中有6个正数，分别为，类推可得结果.
【题文】9已知A ，B ，C ，D 是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，,B 为轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，在轴上的投影为，则的值为（ ）
A. B ． C. D.
【知识点】三角函数的图象与性质 C4 【答案】【解析】D 解析：因为A ，B ，C ，D ，E 是函数y=sin （ωx+ ）（ω＞0，0＜＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，
，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，
在x 轴上的投影为，
所以T=4×（）=π，所以ω=2，因为，
所以0=sin （﹣+ ），0＜＜，=．
故选D ．
【思路点拨】通过函数的图象，结合已知条件求出函数的周期，推出ω，利用A 的坐标求出
的值即可．
【题文】10.如图，已知B 、C 是以原点O 为圆心，半径为1的圆与轴的交点，点A 在劣弧PQ （包括端点）上运动，其中，OP ⊥OQ ，作AH ⊥BC 于H 。

若记，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【知识点】平面向量的基本定理及其意义 F1
【答案】【解析】B 解析：由题意，B （1，0），C （﹣1，0），
由三角函数定义，可设A （cosθ，sinθ），则H （cosθ，0），． ∴，，， 由，可得， ∴， ∴
，
由，知xy∈，
故选：B ． 【思路点拨】由三角函数定义，可设A （cosθ，sinθ），则H （cosθ，0），，利用，求出x ，y ，表示出xy ，即可求出其取值范围.
【题文】二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分）
【题文】11设复数，则_____________
【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4
【答案】【解析】 解析：i 1i i 1i 11z i 1i 1i 1i 222
， 22112z ()()222
．故答案为。

【思路点拨】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求模．
【题文】12若命题“a x x R x <-++∈∃|2||1|,”为假命题，则实数的取值范围是_____________
【知识点】命题的真假判断与应用．A2
【答案】【解析】 解析：∵“a x x R x <-++∈∃|2||1|,”是假命题
∴“a x x R x <-++∈∃|2||1|,”的否定“∀x ∈R ，”为真命题
令，y 表示数轴上的点x 到数2及-1的距离，
所以y 的最小值为3，∴，故答案为。

【思路点拨】利用已知判断出否命题为真命题；构造函数，利用绝对值的几何意义求出函数的最小值，令最小值大于2，求出a 的范围．
【题文】13已知是定义在R 上的奇函数。

当时，，则不等式的解集为______________
【知识点】二次函数的性质．B5
【答案】【解析】[-5，0]∪[5，+∞） 解析：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数， ∴f （0）=0．
设x ＜0，则-x ＞0，∴f （-x ）=x 2
+4x ，
又f （-x ）=x 2+4x=-f （x ），∴f （x ）=-x 2-4x ，x ＜0．
当x ＞0时，由f （x ）≥x 得x 2-4x≥x，即x 2-5x≥0，解得x≥5或x≤0（舍去），此时x≥5． 当x=0时，f （0）≥0成立．
当x ＜0时，由f （x ）≥x 得-x 2-4x≥x，即x 2+5x≤0，解得-5≤x≤0（舍去），此时-5≤x＜0． 综上-5≤x≤0或x≥5．故答案为：[-5，0]∪[5，+∞）．
【思路点拨】根据函数的奇偶性求出函数f （x ）的表达式，然后解不等式即可．
【题文】14.有两个零点，则______________
【知识点】函数的图像.B10
【答案】【解析】 解析：因为有两个零点，即有两个根,令,即两个函数的图像有两个交点，结合图像可知，故
【思路点拨】利用数形结合法即可。

【题文】15.点P （-1,0）在动直线()()R c R a c y c a ax ∈∈=+++,022上的射影为M ，已知点N （3,3），则线段MN 长度的最大值是____________
【知识点】等差数列的性质；与直线关于点、直线对称的直线方程．D2H2
【答案】【解析】 解析：易知动直线恒过定A 点，则动点M 的轨迹为以AP 为直径的圆B 上，MN 长度的最大值为。

故答案为。

【思路点拨】先求出直线恒过的定点坐标，然后求出动点M 的轨迹，再计算最大值即可。

【题文】三、解答题（本大题共6小题，16，17，18题每题13分，19，20，21题每题12分.）
【题文】16．已知函数。

(1)求函数的最小正周期和值域；
(2)若为第二象限角，且，求的值。

【知识点】二倍角公式；两角和与差的三角函数；的性质；同角三角函数关系；三角函数的求值与化简. C6 C5 C4 C2 C7
【答案】【解析】（1）函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[-1,3]；（2）.
解析：（1
）∵()1cos 12cos()3f x x x x π=+=++
，
∴函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[-1,3].
(2)∵∴，即，
又∵是第二象限角，∴. ∵222cos 2sin 1cos 2sin 22cos 2sin cos cos αααααααα
-=+-- =()()()cos sin cos sin cos sin 2cos cos sin 2cos αααααααααα
+-+=- ∴原式
=1133223
-+-==- 【思路点拨】（1）利用二倍角公式，两角和与差的三角函数公式把函数f(x)化为： ，再确定其周期和值域；（2）由（1）及已知得，.
然后把所求化简得，所求=，从而得所求值.
【题文】17.设正项等差数列， 恰好是等比数列的前三项，。

（1）求数列、的通项公式；
（2）记数列的前n 项和为,若对任意的， 恒成立，
求实数的取值范围。

【知识点】等差数列；等比数列 D2 D3
【答案】【解析】 (1) (2)
解析：设公差为d ，则有
()()()2
2151141111,4,13413a a d a a d a a d a d a d a d =+=+=+∴+=++
23602d d d ∴-=∴=或d=0舍，又因为213,d 2,121n a a a n ==∴=∴=-，
25143,9,273n n a a a b ∴===∴=
(Ⅱ) 11(1)3(13)331132
n n n n b q T q +---===--， 1333()3622n k n +-∴+≥-对恒成立， 对恒成立，
令，1124262(27)333
n n n n n n n n c c -------=-=，当时，，当时，，． 【思路点拨】根据等差、等比数列的概念可列出关系求出公差与公比，再写出通项公式，第二问，可变形为与k 有关的不等式，再利用通项的性质进行证明.
18.已知函数（为常数）。

（1）若是函数的一个极值点，求的值；
（2）当0＜a≤2时，试判断f （x ）的单调性；
（3）若对任意的 存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围。

【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．B12
【答案】【解析】（1）3；（2）f （x ）在（0，+∞）上是增函数；（3）（﹣∞，﹣log 2e]。

解析：依题意．
（1）由已知得：f'（1）=0，∴1+2﹣a=0，∴a=3．…（3分）
（2）当0＜a≤2时，f′（x ）=
因为0＜a≤2，所以，而x ＞0，即，
故f （x ）在（0，+∞）上是增函数．…（8分）
（3）当a∈（1，2）时，由（2）知，f （x ）在[1，2]上的最小值为f （1）=1﹣a ， 故问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a ＞mlna 恒成立．即恒成立
记，（1＜a ＜2），则，…（10分）
令M （a ）=﹣alna ﹣1+a ，则M'（a ）=﹣lna ＜0
所以M （a ），所以M （a ）＜M （1）=0…（12分）
故g'（a ）＜0，所以在a∈（1，2）上单调递减，
所以
即实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣log 2e]．…（14分）
【思路点拨】（1）求导数，利用极值的 定义，即可求a 的值；当0＜a≤2时，判断导数的符号，即可判断f （x ）的单调性；（3）问题等价于：对任意的a∈（1，2），不等式1﹣a ＞mlna 恒成立．即恒成立．
【题文】19.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为，b ，c ，且12cos 2sin 22=+⎪⎭
⎫
⎝⎛+C B A ，＝1，b ＝2。

(1)求∠C 和边c ；
(2)若,,且点P 为△BMN 内切圆上一点，
求的最大值。

【知识点】二倍角公式；诱导公式；余弦定理；坐标法求最值. C2 C6 C8 H9
【答案】【解析】（1）C ＝π3
，c=3；(2) 最大值 解析：(1)∵2sin 2A ＋B 2
＋cos 2C ＝1， ∴cos 2C ＝1－2sin 2A ＋B 2
＝cos(A ＋B )＝－cos C ，
∴2cos 2C ＋cos C －1＝0，∴cos C ＝12
或cos C ＝－1， ∵C ∈(0，π)，∴cos C ＝12，∴C ＝π3． 由余弦定理得c ＝a 2＋b 2
－2ab cos C ＝3．
（2）建立坐标系，由（1）A ，由,知
，△BMN 的内切圆方程为：，设，则令
((
)(
(
)22222
22222213324114sin 6cos 1111PA PB PC x y x y x y x y y θθθφ++=-+++++-=+--+=-+-=-+≤- 【思路点拨】（1）根据二倍角公式，诱导公式及三角形内角范围，求得 C ＝π3
，再由余弦定理求边c 的长；（2）由(1)知△ABC 是∠B=90°，∠C=60°的直角三角形，故可以以B 为原点，直线BA 为x 轴，直线BC 为y 轴建立直角坐标系，从而得△BMN 的内切圆的参数方程，进一步得所求关于的函数，求此函数最大值即可.
【题文】20.已知点,椭圆E:的离心率为；F 是椭圆E 的下焦点，直线AF 的斜率为，O 为坐标原点。

（1）求E 的方程；
（2）设过点A 的动直线与E 相交于M,N 两点，当的面积最大时，求的直线方程。

【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线 H5 H8
【答案】【解析】(1) (2) 解析：设椭圆的下焦点坐标为，所以AF 的斜率，
22324,12
c a a b a =∴=∴==，； （2）依题直线的斜率存在。

设
联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322x y kx y 消去得：，
设，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+-=+41
432221221k x x k k x x ()()()()()()()()112162319
611623
91611162341162342
33212222222222122121=≤++++=+++++=++=-+=-⨯⨯=k k k k
k k k x x x x x x S MON △
当且仅当时取等号，此时的直线方程为。

【思路点拨】根据已知条件可求出椭圆的几何量a,b,c,再列出椭圆方程，根据直线与圆锥曲线的关系可联立方程，找出所用条件求解.
【题文】21已知数列中，
（1）设，求数列的通项公式；
（2）求使不等式成立的的取值范围。

【知识点】数列递推式；数学归纳法．D1 M3
【答案】【解析】（1）（2）（2，]．
解析：（1），
，即b n+1=4b n +2
，a 1=1，故
所以{}是首项为﹣，公比为4的等比数列，
，
（Ⅱ）a 1=1，a 2=c ﹣1，由a 2＞a 1得c ＞2．
用数学归纳法证明：当c ＞2时a n ＜a n+1．
（ⅰ）当n=1时，a 2=c ﹣＞a 1，命题成立；
（ii ）设当n=k 时，a k ＜a k+1，
则当n=k+1时，
故由（i ）（ii ）知当c ＞2时，a n ＜a n+1
当c＞2时，令α=，由
当2＜c≤时，a n＜α≤3
当c＞时，α＞3且1≤a n＜α
于是
当n＜
因此c＞不符合要求．
所以c的取值范围是（2，]．
【思路点拨】（1）令c=代入到a n+1=c﹣中整理并令b n=进行替换，得到关系式b n+1=4b n+2，进而可得到{}是首项为﹣，公比为4的等比数列，先得到{}的通项公式，即可得到数列{b n}的通项公式．
（2）先求出n=1，2时的c的范围，然后用数学归纳法分3步进行证明当c＞2时a n＜a n+1，然后当c＞2时，令α=，根据由可发现c＞时不能满足条件，进而可确定c的范围．
二、填空题
11. 12. 13. 14. 15.
15.15.易知动直线恒过定A点，则动点M的轨迹为以AP为直径的圆B 上，MN长度的最大值为。

三、解答题
16．【解析】(1)因为f(x)＝1＋cos x－sin x＝1＋2cos，
17.
(Ⅱ) 11(1)3(13)331132n n n n b q T q +---===--， 1333()3622
n k n +-∴+≥-对恒成立， 对恒成立， 令，1124262(27)333n n n n n n n
n c c -------=-=，当时，，当时，，．
18.
19.解：(1)∵2sin 2A ＋B 2＋cos 2C ＝1，
∴cos 2C ＝1－2sin 2A ＋B 2＝cos(A ＋B )＝－cos C ，
∴2cos 2C ＋cos C －1＝0，∴cos C ＝12
或cos C ＝－1， ∵C ∈(0，π)，∴cos C ＝12，∴C ＝π3
． 由余弦定理得c ＝a 2＋b 2
－2ab cos C ＝3．
（3）建立坐标系，由（1）A ，由,知
，△BMN 的内切圆方程为：，设，则令 ()()()()324643211324643211cos 326sin 432114232331322222222222-+-≤+-+-=-++-=+--+=-+++++-=++ϕθθθy x y x y x y x y x PC PB PA 20.（1）；
（3）依题直线的斜率存在。

设 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=14
322x y kx y 消去得：， 设，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=+-=+41
432221221k x x k k x x ()()()()()()()()112162319
611623
91611162341162342
33212222222222122121=≤++++=+++++=++=-+=-⨯⨯=k k k k
k k k x x x x x x S MON △
当且仅当时取等号，此时的直线方程为。

21.
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