贵州省师大附中2012届高三数学检测考试试题 理

某某师大附中2012届高三年级检测考试试卷
数 学(理科)
第Ⅰ卷 选择题（60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1、设复数z 满足(23)64z i i -=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部为 (A) 0 (B) 2i (C) 2 (D)i
2、已知函数22 (1)
2()
1 (1)
3
x ax b
x x x f x x x 在1x 处连续，则a b
(A) 1 (B) 1 (C) 5 (D) 5 3、正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为︒60，则该棱锥的体积为 (A) 18 (B) 9 (C) 6 (D)3
4、已知平面上的点集
2(,)24
x y E
x y x y kx y ，
22
(,)220F
x y x y x y ，若“点P E ”是“点P F ”的充分不必要条件，
则实数k
的取值X 围是
(A) 3k
(B) 03k (C) 3k (D)33k
5、若等边ABC ∆的边长为，平面内一点M 满足12
63
CM CB CA =
+，则MA MB ⋅=
(A) 1 (B) 2 (C) 1 (D)2 6、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R 有()
(2)f x f x 成立，
则(2010)f 的值为
(A) 0 (B) 1 (C) 1 (D)2 7、若函数()y
f x 的图象与ln(1)1(1)y x x 的图象关于直线y x 对称，且
(1)f a b （,a b 都是正实数），则
11
2a b
的最小值是 (A) 22234 (D)223
4
8、如图,A 、B 是椭圆2
22
2
1(0)x y a b a b
的长轴和短轴端点，点P 在椭圆上，F 、E 是椭圆 的左、右焦点，若EP ∥AB ，PF OF ，则该椭
圆的离心率等于
51
2
3 (D)22 9、已知cot()26
，则2
tan(2
)3
(A)
4
5 (B) 3
5 (C) 43 (D)53
10、若函数f (x )=21
2
log (1) (1)
log (1) (1)x x x x +>-⎧⎪
⎨--<-⎪⎩，且()
(2)f a f a
，则实数a 的取值X
围是
(A) ,01,2 (B) 2,1 (C)
2,1
0,
(D)
,0
11、下面是一个向右和向下无限延伸的表格，将正整数按照表中已填数的规律填入：
1
3 6 10 15
2
5 9 14
4 8 13
7 12
11
则数2011在表中所处的行数和列数分别是
(A) 6、57 (B) 6、58 (C) 7、57 (D)7、58
12、设点P 与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱AD 、BC 、11C D 所在直线的距离相等，则点P 的轨迹是
(A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D)抛物线
第Ⅱ卷 非选择题（90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13、设集合2log 1,R A x x x ，31,R x B
y y
x
，则A B
.
14、若5(12)x 展开式中所有项的系数之和为m ,63)21)(1(x x -+展开式中5x 的系数
为n ，则m n
.
15、过抛物线2
2 (0)y px p 的焦点F ，作直线l 交抛物线于 A 、B 两点, A 、B 在
抛物线的准线上的射影分别是M 和N ，则MFN 的大小是. 16、已知函数()
sin() (0,0,0)f x A x k A 其中是R 上的偶函
数，且()f x 还满足以下三个条件：
① 最大值是3；② 图象关于点3
(,1)4
对称；③ 在区间[0,]上是单调函数. 则函数()f x 的表达式是.
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17、（本小题满分10分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足
C b B c a cos cos )2(=-.
(Ⅰ) 求角B 的大小； (Ⅱ) 设(sin ,cos 2),(4,1)(R 1)m
A A n k k k 且，m n 的最大值为5，求k 的值.
18、（本小题满分12分）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一X 卡片，集齐3种卡片可获奖.
(Ⅰ) 小丽购买了该食品3袋，求她获奖的概率；
(Ⅱ) 小明购买了该食品5袋，求他获奖的概率；
(Ⅲ) 某幼儿园有324名小朋友，每名小朋友都买了该食品5袋.记获奖的人数为，求的数学期望E .
19、（本小题满分12分）如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC =AC =2，AB =BC ，
D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ．
(Ⅰ) 求证：AB ⊥平面PCB ；
(Ⅱ) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小；
(Ⅲ) 在PA 上是否存在一点E ，使得二面角E -BC -A 的大小为45．若存在，指出点E 的位置；若不存在，请说明理由．
20、（本小题满分12分）已知两定点1(2,0),F -2(2,0)F ，满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ，直线1-=kx y 与曲线E 交于B A ,两点 如果63,AB =且曲线
E 上存在点C ，使OA OB mOC +=，求m 的值和ABC ∆的面积S
21、（本小题满分12分）已知函数2()ln f x a x
x （a 为实常数）.
(Ⅰ) 求函数()f x 在1,e 上的最小值； (Ⅱ) 若存在1,x e ，使得()(2)f x a x 成立，某某数a 的取值X 围.
22、（本小题满分12分）过曲线21
y
x 上一点0(0,2)Q 作曲线的切线，交x 轴于
点1P ；过1P 作垂直于x 轴的直线交曲线于1Q ，过1Q 作曲线的切线交x 轴于2P ；过2P 作垂直于x 轴的直线交曲线于2Q ；如此继续下去得到点列：123,,,
,,n P P P P ，设n P 的横坐标
为n x .
(Ⅰ) 试用n 表示n x ； (Ⅱ) 设1231111
n
n S x x x x ，证明：11
lim 6
n
n S ； (Ⅲ) 证明：1
2
3
1111n
n
n
n
x x x x .
参考解答（理科）
一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
B
C
B
D
A
D
A
C
A
B
D
二、填空题：
13、0,2； 14、132； 15、90； 16、2()2sin()13
2
f x x
.
三、解答题：
17、解：（I ）由已知及正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos A C B B C ，
即2sin cos sin cos cos sin A B
B C
B C ，
所以2sin cos sin()
sin A B
B
C A .
因为0,A
，所以1sin 0cos 2
A B
. 又因0,
B
，所以3
B
.
（Ⅱ）24sin cos 22sin 4sin 1m n
k A A
A
k A .
由（I ）知，2
(0,
)3
A ，所以sin (0,1]A . 设sin ,0,1A t t ，则2
()
241m n
f t t kt
.
因为1k
，所以2
()241f t t kt 在0,1上是增函数.
依题意，得2415k ，解得32
k
.
18、解：（Ⅰ）因为3袋食品中放入的卡片所有的可能的情况有3
3种，而可能获奖的情况有3
3A
种．所以小丽获奖的概率是
333
239
A P
． （Ⅱ）因为5袋食品中放入的卡片所有的可能的情况有5
3种，而不能获奖的情况有
25
3
2
3C 种．所以小明获奖的概率是2535
23
501
381
C P
． （Ⅲ）因为50
~(324,
)81
B ，所以50324
20081
E （人）．
19、解法一：（Ⅰ） ∵PC ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，∴PC ⊥AB ．
∵CD ⊥平面PAB ，AB 平面PAB ，∴CD ⊥AB ．
又PC
CD C ，∴AB ⊥平面PCB ．
（Ⅱ）过点A 作AF //BC ，且AF =BC ，连结PF ，CF ．则 PAF 为异面直线PA 与BC 所成的角．
由（Ⅰ）可得AB ⊥BC ，∴CF ⊥AF ． 由三垂线定理，得PF ⊥AF ．则
AF =CF =2，PF =22
6PC CF ，
在Rt PFA 中，tan ∠PAF =
6
2
PF
AF
=3，即∠PAF =3π．
∴异面直线PA 与BC 所成的角为
3
π
． （Ⅲ）假设点E 存在，过E 作EF ⊥CA 于E ，过F 作FO ⊥BC 于O ． ∵PC ⊥平面ABC ，∴平面PCA ⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ． 由三垂线定理，得EO ⊥BC ．∴EOF 为二面角E -BC -A 的平面角． 设EF a ，则OF AF a ，2AE a ．
由
COF ∽CBA ，得
OF CF
AB
CA
， 即
22(21)22a a a ．
2(22)AE
．
∴当2(2
2)AE
时，二面角E -BC -A 的大小为45．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由（Ⅰ） AB ⊥平面PCB ，∵PC =AC =2，又∵AB =BC ，可求得BC =2．
以B 为原点，如图建立坐标系．则2,0)A ，(0,0,0)B ，
(2,0,0)C ，2,0,2)P ． (2,2,2)AP
，(2,0,0)BC ．
∴cos
,AP BC AP BC
AP BC
=
2
222⨯=
2
1
． ∴异面直线AP 与BC 所成的角为
3
π． （Ⅲ）设
(>0)
PE EA ，
则
2
22(,
,
)
1
1
1
E ，∴
2
22
(,
,
)1
1
1
BE
．
设平面PBC 的法向量为n =(,,)x y z ，则
00
BE n BC n
，即2
220
1
1
1
20
x y
z x
，令2y ，得(0,2,)n ．
取平面ABC 的法向量为(0,0,2)CP ．
由2cos
,2n CP
，得2
2
2
22
22
．
∴当2 PE EA 时，二面角E -BC -A 的大小为45．
20、解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E 是以())
12
2,0,2,0F F -为焦点的双
曲线的左支，且2,1c a =
=，所以1b =.
故曲线E 的方程为()2
2
10x y x -=<.
设()()1122,,,A x y B x y ，由22
11
y kx x y =-⎧⎨
-=⎩，得()22
1220k x kx -+-=.
由已知得，2
212
2
122
(2)8(1)0
2012
01k k k
x x k x x k
，解得
2 1.k
2222
2
2
2222(1)(2)(1)[()
4
2
6 3.11(1)k k k AB
k k k k
即4
2
2
25
528
5525
0,
.7
4
k
k k k 或 又
2
1,
k
5.2
k
故122
21
k x x k +==--()212122222
22811k y y k x x k k +=+-=-==--. 设(),c c C x
y ，由已知OA OB mOC +=，得()()()1122,,,c c x y x y mx my +=，且0m ≠.
∴12128c c x x x m m y y y m m ⎧+-==⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩
，即8,C m m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
. 将点C 的坐标代入曲线E 的方程，得
2
28064
1
m m
-=，4m ⇒=±. 但当4m =-时，点C 不在曲线E 上，不合题意.
∴4m =，则C 点的坐标为()
2，又直线AB
的方程为
102
x y ++=. C ∴到AB 的距离为
1
3
=
.∴ABC ∆的面积11
23
S =⨯=21、解：（Ⅰ）22()
(0)x a
f x x x
若0a ，则当0,x 时，()0f x ，即()f x 在0,上是增函数.
若0a ，则当(0,
)2
a
x 时，()0f x ；当(,)2
a x
时，()0f x ，
即()f x 在)2
a
上减函数；在,)2
a 上是增函数.
若0a 或
12
a ，即2a ，则()f x 在1,e 上是增函数，所以
min
()(1)
1f x f ；
若1
2
a e ，即2
22e a ，则()f x 在]2a
上是减函数，在,]2
a e 上是增函数，所以min
()(
)ln()2
22
2
a a a a
f x f ； 若2
a
e
，即22a e ，则()f x 在1,e 上是减函数，所以
2min
()()
f x f e a
e .
(Ⅱ) 不等式()(2)f x a x 可化为2
(ln )
2a x x x x .
1,x e ，ln 1x x 且等号不能同时取得，所以ln x
x ，即ln 0x x .
因而不等式等价于22 (1,)ln x x
a
x
e x x
.
令22() (1,)ln x x
g x x
e x x
，则2
(1)(22ln )
()
(1,)(ln )x x x g x x
e x x .
当1,x
e 时，10x ，22ln 0x x ，
从而()0g x （仅当1x
时取等号）
. 所以()g x 在1,e 上为增函数，故min ()(1)1g x g . 所以，1a .
22、解：(Ⅰ)因为2
2(1)y
x ，所以曲线在点111
2(,
)1
n n n
Q x x 处的切线方程为
12
1
1
22
()1
(1)n n
n
y
x
x x x ①
令0y ，得1
21n x
x ， 即1
21n n
x x .所以1
1
2(1)n n
x x .
在①式中令1
0,0n x y
，得1x
，即1
1x .
所以{1}n x 是以112x 为首项，2为公比的等比数列. 所以1
1
222n
n n
x ，即1
21n
n
x .
(Ⅱ)先用数学归纳法证明：当3n 时，
1
112
1
2
n
n ，即证1
2
21n
n
.
（1）当3n
时，8
5，即结论成立.
（2）假设当(3)n
k k 时，1
221k k
成立，则 1
1
2222(21)
22
21k
k k
k
k
. 即当1n
k 时，结论也成立.
由（1）（2）知，当3n 时，
1
112
1
2
n
n 成立.
所以23
111111
3222n
n S =211[1()]
44213
12
n =
1161
12n
.
1
11111
lim lim()6
26
n
n
n
n S . （Ⅲ）
1
1
1
11
1
1
1
2122
2(21)2n n
n n
n
x x ，即1112n
n
x x . 1
2
3
1
2
111
1111()2n
n
n
n n n x x x x x x ，
即1
2
3
121111112(
)
n
n n n
n
n
x x x x x x ，
1
2
3
1111
n
n
n
n
x x x x .。