专题10 活结与死结绳模型、动杆和定杆模型和受力分析(解析版)

2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题10 活结与死结绳模型、动杆和定杆模型和受力分析
导练目标 导练内容
目标1 活结与死结绳模型 目标2 动杆和定杆模型 目标3
受力分析
一、活结与死结绳模型 1．“活结”模型
模型结构
模型解读
模型特点
“活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形
成，绳子因“活结”而弯曲，但
实际为同一根绳
“活结”绳子上的张力大小处处
相等 常见模型 力学关系和几何关系 端点A 上下移动 挡板MN 左右移动
①θ
sin 221G
T T =
= ②d l l =+θθcos cos 21
d l l =+θcos )(21
l
d =
θcos 因为d 和l 都不变，所以根据l
d
=
θcos 可知θ也不变，则T 1和T 2也不变。

因为MN 左右移动时，d 变化，而l 不变，根据
l
d
=
θcos 可知θ将变化，则T 1和T 2也变。

常见模型
力学关系和几何关系 端点A 左右移动 两物体质量比变
①角度：θ4=2θ3=2θ2=4θ1
两物体质量比不变，
角度变，
②拉力：T=M Q g
③2M Q cosθ2=M P
左右移动轻绳端点，
角度都不变。

但让保持原有倍数关系。

【例1】如图所示，衣服悬挂在不可伸长的轻绳上，衣架的挂钩是光滑的，轻绳的两端固定
在两根竖直杆上的A、B两点，衣服处于静止状态。

保持A端位置不变，将B端分别移动到1
B、
2
B两点。

下列说法正确的是（）
A．B端移到1B，绳子张力变大B．B端移到1B，绳子张力变小
C．B端移到2B，绳子张力变大D．B端移到2B，绳子张力不变
【答案】D
【详解】设绳子间的夹角为2θ，绳子总长为L，两杆间距离为d，如图所示
根据几何关系有12
sin sin
L L d
θθ
+=得
12
sin
d d
L L L
θ==
+
当B端移到B1位置或B2位置时，d、
L都不变，则θ也不变；由平衡条件可知2cos
F mg
θ=解得
2cos
mg
F
θ
=可见，绳子张力F也
不变，故D正确，ABC错误。

故选D 。

【例2】如图所示，细绳一端固定在A 点，另一端跨过与A 等高的光滑定滑轮B 后悬挂一个砂桶Q （含砂子）。

现有另一个砂桶P （含砂子）通过光滑挂钩挂在A 、B 之间的细绳上，稳定后挂钩下降至C 点，∠ACB =120°，下列说法正确的是（ ）
A ．若只增加Q 桶中的砂子，再次平衡后P 桶位置不变
B ．若只减小P 桶中的砂子，再次平衡后P 桶位置不变
C ．若在两桶内增加相同质量的砂子，再次平衡后P 桶位置不变
D ．若在两桶内减小相同质量的砂子，再次平衡后Q 桶位置上升 【答案】C
【详解】A ．对砂桶Q 受力分析，可得绳子的拉力为Q F m g =砂桶P 分析，由平衡条件可得2cos 60P F m g =
联立解得Q P m m =根据2cos P F m g θ=，Q F m g =若只增加Q 桶中的砂子，F 增大，所以θ增大，再次平衡后P 桶位置上升，则A 错误；
B ．根据2cos P F m g θ=，Q F m g =若只减小P 桶中的砂子，则F 保持不变，所以θ增大，再次平衡后P 桶位置上升，则B 错误；
C ．若在两桶内增加相同质量的砂子，再次平衡后P 桶位置不变，所以C 正确；
D ．若在两桶内减小相同质量的砂子，再次平衡后Q 桶位置不变，所以D 错误；故选C 。

2．“死结”模型
模型结构
模型解读
模型特点
“死结”
把绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因
结而变成两根独立的绳
死结两侧的绳子张力不一定相等
【例3】如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上滑的定滑轮与物体丙相连，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。

甲、乙两物体质量相等。

系统平衡时，O 点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。

若β=55°，则（ ）
A ．α>β
B ．α<β
C ．丙的质量小于甲的质量
D ．丙的质量大于
甲的质量 【答案】AD
【详解】设甲、乙的质量均为m ，丙的质量为M 。

对结点O 受力分析如图所示，根据平衡条件可知OC 绳的拉力与OA 、OB 两绳拉力的合力平衡，而OA 和OB 两绳的拉力大小相等，根据对称性可知OC 的反向延长线过∠AOB 的平分线，根据几何关系可知2180αβ+=︒解得
70αβ=︒>结点O 受到的三个拉力构成一封闭的矢量三角形，根据正弦定理有
sin sin Mg mg
αβ
=
所以M m >故AD 正确，BC 错误。

故选AD 。

二、动杆和定杆模型 1．动杆模型
模型结构
模型解读
模型特点
轻杆用光滑的转轴或铰链连接，
轻杆可围绕转轴或铰链自由转动
当杆处于平衡时，杆所受的弹力方
向一定沿杆
【例4】如图所示，质量均为m 上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆上方施加一竖直向下的力
F ，使整个装置处于静止状态，设杆与水平面间的夹角为θ。

下列说法正确的是（ ）
A ．当F 一定时，θ越小，滑块对地面的压力越大
B ．当F 一定时，θ越大，轻杆受力越小
C ．当θ一定时，m 越大，滑块与地面间的摩擦力越大
D ．当θ一定时，m 越小，可施加的力F 越大 【答案】B
【详解】A ．以A 、B 两滑块和两轻杆为整体，根据受力平衡可得22N mg F =+地解得
22
mg F
N +=
地当F 一定时，地面对滑块的支持力保持不变，可知滑块对地面的压力保持不变，A 错误；
B ．以杆与杆间连接点为对象，根据受力平衡可得2sin F F θ=杆解得2sin F
F θ
=杆可知当F 一定时，θ越大，sin θ越大，轻杆受力越小，B 正确；
C ．对A 分析，受重力、杆的推力、地面支持力和向右的静摩擦力，根据平衡条件，有
cos cos 2sin F
f F θθθ
==
⋅杆 可知滑块与地面间的摩擦力与m 无关， C 错误； D ．根据整体法可得22
mg F
N +=
地可知m 越小，地面对滑块的支持力越小，地面对滑块的最大静摩擦力越小，根据cos cos 2sin F
f F θθθ
==⋅杆可知当θ一定时，可施加的力F 越小，D 错误；故选B 。

2．定杆模型
模型结构
模型解读 模型特点
轻杆被固定在接触面上，不发生
转动
杆所受的弹力方向不一定沿杆，
可沿任意方向
【例5】甲图中，轻杆AB 一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为30°，在B 点下方悬挂质量为m 的重物。

乙图中，轻杆CD 一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m 的重物，绳、杆之间夹角也为30°。

甲、乙中杆都垂直于墙，两图中重物都静止，则下列说法中正确的是（ ）
A ．与轻杆A
B 3mg
B ．轻杆CD 3mg
C ．两根杆中弹力方向均沿杆方向
D ．若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂 【答案】AD
【详解】A ．甲中受力如下图，杆受力沿杆，两端绳中拉力不同，由平行四边形定则，可知
N13tan 30mg
F mg =
=︒；T12sin 30mg F mg ==︒
则轻杆AB 连接的铰链受到杆的弹力大小为
3mg ，故A 正确；
BC ．乙图中受力如下图，杆受力不沿杆，绳中两个拉力大小相同，可知
小滑轮受到杆的弹力N2T1
T2F F F mg ''===故BC 错误； D ．若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，甲乙图中绳子拉力大小关系如下T1T1
sin 30mg
F mg F '=
>=︒
故甲中轻绳更容易断裂，故D 正确。

故选AD 。

三、受力分析
1.受力分析的一般顺序：先分析场力(重力、电场力、磁场力)，再分析接触力(弹力、摩擦力)，最后分析其他力．
2.研究对象选取方法：整体法和隔离法．
(1)当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法．
(2)在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时常用隔离法．
(3)整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法．
3.受力分析的六个注意点
(1)不要把研究对象所受的力与研究对象对其他物体的作用力混淆。

(2)每一个力都应找出其施力物体,不能无中生有。

(3)合力和分力不能重复考虑。

(4)涉及弹簧弹力时,要注意拉伸或压缩可能性分析。

(5)分析摩擦力时要特别注意摩擦力的方向。

(6)对整体进行受力分析时,组成整体的几个物体间的作用力为内力,不能在受力分析图中出现;当把某一物体隔离分析时,原来的内力变成外力,要在受力分析图中画出。

【例6】如图所示，将两个相同的木块P、Q置于粗糙斜面上，P、Q中间有一处于压缩状态的弹簧，弹簧不与P、Q栓接。

木块P受到一个沿斜面向下的恒定拉力F，P、Q均静止。

下列说法正确的是（）
A．P一定受到5个力的作用B．Q一定受到4个力的作用
C．只移去弹簧后P可能会沿斜面下滑D．只移去弹簧后P所受摩擦力可能不变
【答案】A
【详解】A．设木块质量为m，斜面倾角为 ，对P受力分析如图
则P 受到重力、支持力、弹簧弹力、摩擦力、拉力五个力的作用，A 正确；
B ．Q 受到的弹簧弹力沿斜面向上，若Q 重力沿斜面向下的分力与弹簧弹力的大小相等，则Q 不受摩擦力，所以Q 可能受到重力、支持力、弹簧弹力三个力的作用，B 错误； CD ．有弹簧时，正交分解P 受到的重力，沿斜面方向受力平衡，有P sin f mg F F θ=++弹只移去弹簧时，有
'P sin f mg F θ=+可知物块P 受到的沿斜面向下的力变小，需要的摩擦力变小，故物块P 仍
然静止。

CD 错误。

故选A 。

【多维度分层专练】
1．如图所示，细绳一端固定在A 点，另一端跨过与A 等高的光滑定滑轮B 后悬挂一个砂桶Q （含砂子）。

现有另一个砂桶P （含砂子）通过光滑挂钩挂在A 、B 之间的细绳上，稳定后挂钩下降至C 点，∠ACB ＝120°，将与砂桶P 连接的光滑挂钩改为质量不计的细绳，细绳系在C 点，如图所示，在两砂桶中装上一定质量的砂子，砂桶（含砂子）P 、Q 的总质量分别为m 1、m 2，系统平衡时，∠ACB ＝90°、∠CAB ＝60°，忽略滑轮的大小以及摩擦。

则下列说法正确的是（ ）
A ．m 1∠m 2＝1∠1
B ．m 1∠m 2＝2∠1
C ．若在两桶内增加相同质量的砂子，C 点的位置上升
D ．若在两桶内增加相同质量的砂子，C 点的位置保持不变 【答案】BC
【详解】AB ．以结点C 为研究对象，受力分析如图所示
其中1F m g =；B 2F m g =由力的平衡条件可知A 1cos30cos30F F m g ==由几何关系可B
A tan 30F F ︒
=
整理解得12:2:1m m =故A 错误，B 正确； CD ．由以上分析可知当砂桶（含砂子）P 、Q 的总质量的比值为2时，AC 与BC 保持垂直状态，C 点的位置保持不变，而若在两桶内增加相同质量的砂子，则两砂桶（含砂子）质量的比值会小于2，则桶Q 向下移动，C 点的位置上升，故C 正确，D 错误。

故选BC 。

2．如图所示，三根长度均为L 的轻绳分别连接于C 、D 两点，A 、B 两端被悬挂在水平天花板上，相距2L ，现在C 点上悬挂一个质量为m 的重物，为使CD 绳保持水平，在D 点上可施加力的取值可能为（ ）
A ．13mg
B 3
C ．12
mg
D ．14
mg
【答案】BC
【详解】依题得，要想CD 水平，则各绳都要紧绷，则AC 与水平方向的夹角为60︒，结点C 受力平衡，则受力分析如图所示
因此CD 的拉力为tan30T mg =︒，D 点受绳子拉力大小等于T ，方向向左。

要使CD 水平，则D 点两绳的拉力与外界的力的合力为零，则绳子对D 点的拉力可分解为沿BD 绳的1F 以及另一分力2F 。

由几何关系可知，当2F 与BD 垂直时，2F 最小，而2F 的大小即为拉力大小，
因此有2min 1sin 602
F T mg =︒=故BC 正确，AD 错误。

故选BC 。

3．如图，两个轻环a 和b 套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m 的小球，在a 和b 之间的细线上悬挂一小物块。

平衡时，a 、b 间的距离恰好等于圆弧的半径的1.2倍。

不计所有摩擦（sin160.28︒=）。

小物块的质量为（ ）
A ．0.56m
B ．m
C ．1.6m
D ．2m 【答案】A 【详解】如图所示由几何关系可得 1.232sin 5
R
ac coa ao R ∠===则37coa ∠=所以ab 间细绳与水平方向的夹角为=9023716θ-⨯=由于细绳是同一根，则细绳的拉力大小总是相等，有F mg =对重物受分力析，由平衡条件可得2sin16Mg F =解得0.56M m =
所以A 正确；BCD 错误；故选A 。

4．如图所示，两个可视为质点的小球a 和b ，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，已知小球a 和b 的质量之比为2:1。

当两球处于平衡状态时，光滑球面对小球a 的支持力大小等于1F ，对小球b 的支持力大小等于2F 。

若要求出12F F 、的比值大小，则（ ）
A ．需要知道刚性细杆的长度与球面半径的关系
B ．需要知道刚性细杆的长度和球面半径的大小
C ．不需要其他条件，有12:2:1F F =
D ．不需要其他条件，有12:1:2F F =
【答案】C 【详解】受力分析如图
分别对小球a 和b 受力分析有1111sin sin F G βθ=，2222
sin sin F G βθ=根据几何关系有12θθ= ，12ββπ+=
则有112221
F G F G ==故选C 。

5．如图，为细绳拉某重物M 的简化装置简化图，轻杆OA 为可绕O 点且垂直于纸面的轴转动的杆，AB 为轻绳，重物M 平衡时角度关系如图所示，轻杆OA 在a 、b 、c 图中受力分别为F 1、F 2、F 3的大小关系正确的是（ ）
A ．123F F F >=
B ．123F F F =>
C ．123F F F >>
D ．123F F F =<
【答案】B 【详解】轻杆OA 为可绕O 点且垂直于纸面的轴转动的杆，所以杆的弹力沿杆，对图a 则有12cos303F Mg Mg =︒，对图b 则有23tan 30Mg F Mg =
=︒，对图c 则有33cos30F Mg =︒=，故选项B 正确，A 、C 、D 错误．
6．如图所示，在倾斜的滑杆上套一个质量为m 的圆环，
圆环通过轻绳拉着一个质量为M 的物体，在圆环沿滑杆向下滑动的过程中，悬挂物体的轻绳始终处于竖直方向，则（ ）
A ．环只受三个力作用
B ．环一定受四个力作用
C ．物体做匀加速运动
D ．悬绳对物体的拉力小于物体的重力
【答案】B
【详解】ABC ．悬挂物体的轻绳始终处于竖直方向，可知整体沿斜面向下做匀速运动，受力平衡，则环受重力、细绳的拉力、滑杆对圆环的支持力和摩擦力，共4个力作用，选项B 正确，AC 错误；
D ．因物体受力平衡，可知悬绳对物体的拉力等于物体的重力，选项D 错误。

故选B 。

7．如图所示，a 、b 两个小球穿在一根光滑的固定杆上，并且通过一条细绳跨过定滑轮连接。

已知b 球质量为m ，杆与水平面成角θ，不计所有摩擦，重力加速度为g 。

当两球静止时，Oa 绳与杆的夹角也为θ，Ob 绳沿竖直方向，则下列说法正确的是（ ）
A ．a 可能受到2个力的作用
B ．b 可能受到3个力的作用
C ．绳子对a 的拉力等于mg
D ．a 的重力为sin mg
【答案】C
【详解】A ．对a 进行分析，a 受到重力、绳子的拉力和杆对a 的弹力，一共受到3个力的作用，故A 错误；
B ．对b 进行分析，b 受到重力和绳子的拉力。

根据平衡条件可知杆对b 没有弹力，否则不能平衡，所以b 只受到两个力的作用，故B 错误；
C ．对b 分析可知绳子拉力T mg =，同一根绳子拉力相同，所以绳子对a 的拉力等于mg ，故C 正确；
D ．分别对a 、b 两球进行分析，如图所示
由正弦定理有()
sin sin 90a m g T θθ︒=+解得a 的重力为tan a a mg G m g θ==故D 错误。

故选C 。

8．如图所示，一个质量为m 的滑块静止置于倾角为30°的粗糙斜面上，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P 点，另一端系在滑块上，弹簧与竖直方向的夹角为30°。

则（ ）
A ．滑块一定受到三个力作用
B ．弹簧一定处于压缩状态
C ．斜面对滑块的摩擦力大小一定等于12
mg D ．斜面对滑块的支持力大小可能为零
【答案】C
【详解】ABD ．以滑块为研究对象，进行分析受力，一定受重力作用，斜面和弹簧只能给滑
块垂直斜面方向的力，因为滑块处于静止状态，所以滑块一定受到斜面的摩擦力作用，而弹力是摩擦力产生的必要条件，故滑块一定还受到斜面的支持力作用，而无法确定弹簧是伸长、压缩或是原长，滑块可能受弹簧的弹力，也可能弹力为零，故ABD错误；
C．摩擦力与重力沿斜面向下的分力平衡，则摩擦力f=mg sin30°=1
2
mg故C正确。

故选C。

9．如图所示，M、N两物体叠放在一起，在竖直向上的恒力F作用下，沿竖直墙壁一起向上做匀速直线运动，则关于两物体受力情况的说法正确的是（）
A．物体M受到4个力B．物体N可能受到4个力
C．物体M与N之间一定有摩擦力D．物体M与墙之间一定有摩擦力
【答案】AC
【详解】AD．将M、N作为一个整体，可知墙壁对M一定不存在弹力，否则不可能平衡，由于弹力是摩擦力的前提，因此墙壁与M之间一定没有摩擦力，因此M一定受到4个力的作用，D错误，A正确。

BC．对N进行受力分析如图所示
可知N一定受重力mg，M对N的弹力F N，M对N的摩擦力f，3个力的作用，才能处于平衡状态，B错误，C正确；故选AC。