【走向高考】2020年高考数学总复习 7-2基本不等式课后作业 北师大版

【走向高考】2020年高考数学总复习 7-2基本不等式课后作业 北师大版
一、选择题
1．(文)设x >0，则y ＝3－3x －1
x
的最大值是( )
A ．3
B ．3－2 2
C ．3－2 3
D ．－1
[答案] C
[解析] y ＝3－3x －1x
＝3－⎝ ⎛⎭
⎪⎫3x ＋1x ≤3－2
3x ·1
x
＝3－23，
当且仅当3x ＝1x ，即x ＝3
3
时取等号．
(理)若x ，y >0，且x ＋2y ＝3，则1x ＋1
y
的最小值是( )
A ．2
B.32 C ．1＋
22
3
D ．3＋2 2
[答案] C
[解析] 1x ＋1y ＝x ＋2y 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋1y ＝
13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y x ＋x y ＋2≥13·⎝ ⎛⎭
⎪⎫3＋22y x ·x y ＝1＋223，当且仅当x y ＝2y x ，即x 2＝2y 2
，x ＝2y ，x ＝32－3，y ＝3－
32
2
时，等号成立．
2．(2020·重庆理，7)已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4
b
的最小值是( )
A.7
2 B ．4 C.92 D ．5
[答案] C
[解析] 本题主要考查基本不等式在求最值中的应用． ∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b
2
＝1，
∴y＝1
a
＋
4
b
＝
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
1
a
＋
4
b⎝
⎛⎭⎪⎫
a
2
＋
b
2
＝
5
2
＋
2a
b
＋
b
2a
，
∵a>0，b>0，∴2a
b
＋
b
2a
≥2
2a
b
·
b
2a
＝2，当且仅当
2a
b
＝
b
2a
，且a＋b＝2，即a＝
2
3
，b＝
4
3
时取得
等号，∴y的最小值是9
2
，选C.
3．(文)设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则1
a
＋
1
b
的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D.1 4
[答案] B
[解析]本小题主要考查等比中项的概念及均值不等式的应用．根据题意得3a·3b＝3，∴a＋b＝1，
∴1
a
＋
1
b
＝
a＋b
a
＋
a＋b
b
＝2＋
b
a
＋
a
b
≥4.
当a＝b＝1
2
时“＝”成立．故选B.
(理)在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是( )
A．y＝x＋4
x
B．y＝lg x＋
1
lg x
C．y＝x2＋1＋
1
x2＋1
D．y＝x2－2x＋3
[答案] D
[解析]对于A，y＝x＋4
x
≥2x·
4
x
＝4(当x＝2时取等号)；
对于B，∵x>0，∴lg x∈R，
∴y＝lg x＋
1
lg x
≥2(当x＝10时等号成立)或y≤－2(x＝
1
10
时取等号)；
对于C，∵y＝x2＋1＋
1
x2＋1
≥2(当x2＋1＝1，即x＝0时取等号)，而x>0，∴y>2；
对于D，y＝(x－1)2＋2≥2(当x＝1时取等号)．
4．(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|1gx|，若a≠b，且f(a)＝f(b)，则a＋b的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
[答案] C
[解析]该题考查数形结合的思想和均值不等式．
作出y＝|lg x|的图像，
∵a≠b，不妨设a<b.
又f(a)＝f(b)，
∴0<a<1，b>1，
即－lg a＝lg b，即lg ab＝0，
∴ab＝1，∵a≠b，∴由均值不等式a＋b>2ab＝2.
5．(文)(2020·东营模拟)已知x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值是( )
A．33
9 B．1＋2 2
C．6 D．7 [答案] D
[解析]∵3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1
≥23x＋3y＋1＝2×3＋1＝7，(当且仅当x＝3y＝1等号成立) ∴所求最小值为7.
(理)若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则1
a
＋
1
b
的最
小值为( )
A.1
4
B.
1
2
C．2 D．4
[答案] D
[解析]圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，
∴1
a
＋
1
b
＝
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
1
a
＋
1
b(
a＋b)＝1＋1＋
b
a
＋
a
b
≥2＋2
b a ×a b ＝4 (等号在a ＝b ＝1
2
时成立)． 6．(文)某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为9000元，年维修费第一年是2000元，以后逐年递增2000元．问这种汽车使用________年时，它的年平均费用最小( )
A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
[答案] B
[解析] 设汽车使用n 年时，年平均费用为y ，则 y ＝
10＋0.2n ＋
n n －1
2
×0.2＋0.9n n
＝10＋n ＋0.1n 2
n ＝10n ＋n 10
＋1≥2＋1＝3，当且仅当n ＝10
时，年平均费用y 最小，选B.
(理)(2020·重庆理)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.9
2 D.112
[答案] B
[解析] ∵2xy ＝8－(x ＋2y )， 故8－(x ＋2y )≤(
x ＋2y
2
)2
，
∴(x ＋2y )2
＋4(x ＋2y )－32≥0 解得x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍去) ∴x ＋2y 的最小值为4. 二、填空题
7．(2020·山东威海模拟)已知x >0，y >0，lg2x ＋lg8y
＝lg2，则1x ＋13y 的最小值是________．
[答案] 4
[解析] 由已知易得x ＋3y ＝1， 所以1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋13y ·(x ＋3y )
＝2＋3y x ＋x
3y
≥2＋2
3y
x ·x
3y
＝4， 当且仅当3y x ＝x
3y
时取得等号．
8．(文)设点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图像上运动，则log 2m ＋log 2n 的最大值是
________．
[答案] －2
[解析] ∵(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限的图像上运动， ∴m ＋n ＝1且m >0，n >0. ∴mn ≤⎝
⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝14
，当且仅当m ＝n 时等号成立．
∴log 2m ＋log 2n ＝log 2(m ·n )≤log 21
4＝－2.
∴log 2m ＋log 2n 最大值为－2.
(理)已知a ＞0，b ＞0，且a 2
＋b 2
＝2，则a b 2
＋1的最大值为____________． [答案] 3
2
[解析] ∵a 2
＋b 2
＝2，a ＞0，b ＞0， ∴a b 2
＋1＝a
2b 2
＋1≤
a 2＋
b 2＋12
＝3
2
. 当且仅当a 2
＝b 2
＋1，即a ＝62，b ＝2
2
时，等号成立． 三、解答题
9．(1)已知x >0，求f (x )＝12
x
＋3x 的最小值．
(2)已知x <3，求f (x )＝
4
x －3
＋x 的最大值． [分析] (1)由于x >0，且12
x
·3x ＝36是常数，
故可直接利用基本不等式求值． (2)由于
4x －3·x 不是常数，故需利用拆、凑项将原函数变为f (x )＝4x －3
＋(x －3)＋3，然后再用基本不等式求解．
[解析] (1)∵x >0， ∴f (x )＝12
x ＋3x ≥2
12
x
·3x ＝12，
当且仅当3x ＝12
x
，即x ＝2时取等号．
∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3， ∴x －3<0.
∴f (x )＝
4x －3＋x ＝4x －3
＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤43－x ＋3－x ＋3
≤－24
3－x
·3－x ＋3 ＝－1. 当且仅当
4
3－x
＝3－x ，即x ＝1时取等号． ∴f (x )的最大值为－1.
一、选择题
1．(文)(2020·上海理，15)若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2
＋b 2
>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b
>2ab
D.b a ＋a
b
≥2
[答案] D
[解析] 本题考查不等式的性质、基本不等式，可用排除法逐项判断． 用排除法：A ：a ＝b 时不满足；
B ：a <0，b <0时不满足；
C ：a <0，b <0时不满足；
D ：b a >0，a b >0，b a ＋a b ≥2
b a ·a
b
＝2. (理)(2020·北京文，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产
x 件，则平均仓储时间为x
8
天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备
费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A ．60件
B ．80件
C ．100件
D ．120件
[答案] B
[解析] 本题主要考查函数的应用问题．建立模型，运用均值不等式解决实际问题．
由题意知仓储x 件需要的仓储费为x 2
8，所以平均费用为y ＝x 8＋800
x ≥2
x 8×800
x
＝20，当且仅当x ＝80等号成立．
2．设a 、b 、c 都是正实数，且a 、b 满足1a ＋9
b
＝1，则使a ＋b ≥c 恒成立的c 的取值范围是( )
A ．(0,8]
B ．(0,10]
C ．(0,12]
D ．(0,16]
[答案] D
[解析] 解法1：∵a 、b 都是正实数，且1a ＋9
b
＝1，
∴a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋9b
＝10＋b a
＋9a
b
≥10＋2
b a ·9a
b
＝16， 当且仅当b a ＝9a
b
即b ＝3a 时等号成立，
此时a ＝4，b ＝12，∴(a ＋b )min ＝16. ∵a ＋b ≥c 恒成立，∴0<c ≤16. 解法2：由1a ＋9
b
＝1得b ＋9a ＝ab ，
∴(a －1)(b －9)＝9，
又∵1a ＋9
b
＝1，a >0，b >0，∴a >1，b >9，
∴(a －1)(b －9)≤⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤a －1＋b －9 22
∴a ＋b ≥16，等号在a －1＝b －9＝3时成立， ∴要使a ＋b ≥c 恒成立，应有0<c ≤16. 二、填空题
3．(文)(2020·湖南理，10)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x
2＋4y 2
)的最小值为________．
[答案] 9
[解析] 本小题考查内容为基本不等式的应用．
⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋2×2＝9，当且仅当1x 2y 2＝4x 2y 2时等号成立． (理)(2020·江苏卷，8)在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x
的图
像交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．
[答案] 4
[解析] 由题意，P ，Q 关于(0,0)对称，设直线PQ ：y ＝kx (k >0)，从而P (
2
k
，2k )，Q (－
2
k
，
－2k)．
则PQ＝8
k2
＋8k2≥4，当且仅当k＝1时，(PQ)min＝4.
4．(文)(2020·浙江文)若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．[答案]18
[解析]本题考查了均值不等式在求解最值中的应用．
∵x，y∈R＋，∴xy＝2x＋y＋6≥22xy＋6
即(xy)2－22·xy－6≥0，
解得xy≥32，∴xy≥18
∴xy的最小值为18.
(理)(2020·山东理)若对任意x>0，
x
x2＋3x＋1
≤a恒成立，则a的取值范围是________．
[答案]a≥1 5
[解析]
x
x2＋3x＋1
＝
1
x＋
1
x
＋3
≤
1
5
，故a≥
1
5
.
三、解答题
5．(1)设0<x<2，求函数y＝3x8－3x的最大值；
(2)求
3
a－4
＋a的取值范围．
[解析](1)∵0<x<2，∴0<3x<6,2<8－3x<8，
∴y＝3x8－3x≤3x＋8－3x
2
＝
8
2
＝4，
当且仅当3x＝8－3x，即x＝4
3
时取等号，
∴当x＝4
3
时，y＝3x8－3x的最大值是4.
(2)显然a≠4，
当a>4时，a－4>0，
∴
3
a－4
＋a＝
3
a－4
＋(a－4)＋4
≥2
3
a－4
×a－4＋4＝23＋4，
当且仅当
3
a－4
＝a－4，即a＝4＋3时取等号；
当a <4时，a －4<0， ∴
3a －4＋a ＝3a －4
＋(a －4)＋4 ＝－[34－a ＋(4－a )]＋4
≤－23
4－a
×4－a ＋4＝－23＋4， 当且仅当3
4－a
＝4－a ，即a ＝4－3时取等号． ∴
3
a －4
＋a 的取值范围是(－∞，－23＋4]∪[23＋4，＋∞)． 6．已知a ，b >0，求证：a b 2＋b a 2≥4
a ＋
b .
[证明] ∵a b 2＋b a
2≥2a b 2·b a 2
＝2
1
ab
>0，a ＋b ≥2ab >0，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b
2＋b a 2(a ＋b )≥21
ab
·2ab ＝4.
∴a b 2＋b a 2≥
4
a ＋b
.
当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧
a b 2＝b a
2，
a ＝
b ，
取等号。

即a ＝b 时，不等式等号成立．
7．(2020·泰安模拟)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2
，水池所有墙的厚度忽略不计.
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
[分析] (1)由题意设出未知量，构造函数关系式，变形转化利用基本不等式求最值，得出结论； (2)先由限制条件确定x 的范围，然后判断(1)中函数的单调性，利用单调性求最值，得出结论． [解析] (1)设污水处理池的宽为x (x >0)米，则长为
162
x
米．
则总造价
f (x )＝400×⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x ＋
2×162x
＋248×2x ＋80×162
＝1296x ＋
1296×100
x
＋12960
＝1296⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋100x ＋12960(x >0) ≥1296×2
x ·
100
x
＋12960＝38880(元)，
当且仅当x ＝
100
x
(x >0)，
即x ＝10时取等号．
∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元． (2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪
⎧
0<x ≤160<162
x ≤16，
∴101
8≤x ≤16.
设g (x )＝x ＋
100
x (101
8
≤x ≤16)， 由函数性质易知g (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1018，16上是增函数，
∴当x ＝1018时(此时162
x
＝16)，
g (x )有最小值，即f (x )有最小值1296×(1018＋
800
81
)＋12960＝38882(元)． ∴当长为16米，宽为101
8
米时，总造价最低，为38882元．
[点评] (1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；(2)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数单调性求解．本题第(2)问中易误写成g (x )＝x ＋
100
x
≥20.
原因是忽略了等号成立的条件，此时等号不成立．。