同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(23)

习题12-9
1.求下列各微分方程的通解:
(1)2y''+y'-y=2e x;
解微分方程的特征方程为
2r2+r-1=0,
其根为,r2=-1,故对应的齐次方程的通解为
.
因为f(x)=2e x,λ=1不是特征方程的根,
故原方程的特解设为
y*=Ae x,
代入原方程得
2Ae x+Ae x-Ae x=2e x,
解得A=1,从而y*=e x.
因此,原方程的通解为
.
(2)y''+a2y=e x;
解微分方程的特征方程为
r2+a2=0,
其根为r=±ai,故对应的齐次方程的通解为
Y=C1cos ax+C2sin ax.
因为f(x)=e x,λ=1不是特征方程的根,
故原方程的特解设为
y*=Ae x,
代入原方程得
Ae x+a2Ae x=e x,
解得,从而.
因此,原方程的通解为
.
(3)2y''+5y'=5x2-2x-1;
解微分方程的特征方程为
2r2+5r=0,
其根为r1=0,,故对应的齐次方程的通解为
.
因为f(x)=5x2-2x-1,λ=0是特征方程的单根,故原方程的特解设为
y*=x(Ax2+Bx+C),
代入原方程并整理得
15Ax2+(12A+10B)x+(4B+5C)=5x2-2x-1,比较系数得,,,从而.
因此,原方程的通解为
.
(4)y''+3y'+2y=3xe-x;
解微分方程的特征方程为
r2+3r+2=0,
其根为r1=-1,r2=-2,故对应的齐次方程的通解为
Y=C1e-x+C2e-2x.
因为f(x)=3xe-x,λ=-1是特征方程的单根,
故原方程的特解设为
y*=x(Ax+B)e-x,
代入原方程并整理得
2Ax+(2A+B)=3x,
比较系数得,B=-3,从而.
因此,原方程的通解为
.
(5)y''-2y'+5y=e x sin2x;
解微分方程的特征方程为
r2-2r+5=0,
其根为r1, 2=1±2i,故对应的齐次方程的通解为
Y=e x(C1cos2x+C2sin2x).
因为f(x)=e x sin2x,λ+iω=1+2i是特征方程的根,
故原方程的特解设为
y*=xe x(A cos2x+B sin2x),
代入原方程得
e x[4B cos2x-4A sin2x]=e x sin2x,
比较系数得,B=0,从而.
因此,原方程的通解为
.
(6)y''-6y'+9y=(x+1)e3x;
解微分方程的特征方程为
r2-6r+9=0,
其根为r1=r2=3,故对应的齐次方程的通解为
Y=e3x(C1+C2x).
因为f(x)=(x+1)e3x,λ=3是特征方程的重根,
故原方程的特解设为
y*=x2e3x(Ax+B),
代入原方程得
e3x(6Ax+2B)=e3x(x+1),
比较系数得,,从而.
因此,原方程的通解为
.
(7)y''+5y'+4y=3-2x;
解微分方程的特征方程为
r2+5r+4=0,
其根为r1=-1,r2=-4,故对应的齐次方程的通解为Y=C1e-x+C2e-4x.
因为f(x)=3-2x=(3-2x)e0x,λ=0不是特征方程的根,
故原方程的特解设为
y*=Ax+B,
代入原方程得
4Ax+(5A+4B)=-2x+3,
比较系数得,,从而.
因此,原方程的通解为
.
(8)y''+4y=x cos x;
解微分方程的特征方程为
r2+4=0,
其根为r=±2i,故对应的齐次方程的通解为
Y=C1cos2x+C2sin2x.
因为f(x)= x cos x=e0x(x⋅cos x+0⋅sin x),λ+iω=i不是特征方程的根,故原方程的特解设为
y*=(Ax+B)cos x+(Cx+D)sin x,
代入原方程得
(3Ax+3B+2C)cos x+(3Cx-2A+3D)sin x=x cos x,
比较系数得,B=0,C=0,,从而.
因此,原方程的通解为
.
(9)y''+y=e x+cos x;
解微分方程的特征方程为
r2+1=0,
其根为r=±i,故对应的齐次方程的通解为
Y=C1cos x+C2sin x.
因为f(x)=f1(x)+f2(x),其中f1(x)=e x,f2(x)=cos x,而
方程y''+y=e x具有Ae x形式的特解;
方程y''+y=cos x具有x(B cos x+C sin x)形式的特解,
故原方程的特解设为
y*=Ae x+x(B cos x+C sin x),
代入原方程得
2Ae x+2C cos x-2B sin x=e x+cos x,
比较系数得,B=0,,从而.
因此,原方程的通解为
.
(10)y''-y=sin2x.
解微分方程的特征方程为
r2-1=0,
其根为r1=-1,r2=1,故对应的齐次方程的通解为
Y=C1e-x+C2e x.
因为,而
方程的特解为常数A;
方程具有B cos2x+C sin2x形式的特解,
故原方程的特解设为
y*=A+B cos2x+C sin2x,
代入原方程得
,
比较系数得,,C=0,从而.
因此,原方程的通解为
.
2.求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:
(1)y''+y+sin x=0,y|x=π=1,y'|x=π=1;
解微分方程的特征方程为
r2+1=0,
其根为r=±i,故对应的齐次方程的通解为
Y=C1cos x+C2sin x.
因为f(x)=-sin2x=e0x(0⋅cos2x-sin2x),λ+iω=i是特征方程的根,故原方程的特解设为
y*=A cos2x+B sin2x,
代入原方程得
-3A cos 2x-3B sin2x=-sin2x,
解得A=0,,从而.
因此,原方程的通解为
.
由y|x=π=1,y'|x=π=1得C1=-1,,
故满足初始条件的特解为
.
(2)y''-3y'+2y=5,y|x=0=1,y'|x=0=2;
解微分方程的特征方程为
r2-3r+2=0,
其根为r1=1,r2=2,故对应的齐次方程的通解为
Y=C1e x+C2e2x.
容易看出为非齐次方程的一个特解,
故原方程的通解为
.
由y|x=0=1,y'|x=0=2得
,
解之得C1=-5,.因此满足初始条件的特解为
.
(3)y''-10y'+9y=e2x,,;
解微分方程的特征方程为
r2-10r+9=0,
其根为r1=1,r2=9,故对应的齐次方程的通解为
Y=C1e x+C2e9x.
因为f(x)=e2x,λ=2不是特征方程的根,
故原方程的特解设为
y*=Ae2x,
代入原方程得
(4A-20A+9A)e2x=e2x,
解得,从而.
因此,原方程的通解为
.
由,得.
因此满足初始条件的特解为
.
(4)y''-y=4xe x,y|x=0=0,y'|x=0=1;
解微分方程的特征方程为
r2-1=0,
其根为r1=-1,r2=1,故对应的齐次方程的通解为
Y=C1e-x+C2e x.
因为f(x)=4xe x,λ=1是特征方程的单根,
故原方程的特解设为
y*=xe x(Ax+B),
代入原方程得
(4Ax+2A+2B)e x=4xe x,
比较系数得A=1,B=-1,从而y*=xe x(x-1).
因此,原方程的通解为
y*=C1e-x+C2e x+xe x(x-1).
由y|x=0=0,y'|x=0=1得
,
解之得C1=1,C2=-1.因此满足初始条件的特解为
y=e-x-e x+xe x(x-1).
(5)y''-4y'=5,y|x=0=1,y'|x=0=0.
解微分方程的特征方程为
r2-4r=0,
其根为r1=0,r2=4,故对应的齐次方程的通解为
Y=C1+C2e4x.
因为f(x)=5=5e0⋅x,λ=0是特征方程的单根,
故原方程的特解设为
y*=Ax,
代入原方程得
-4A=5,,
从而.
因此,原方程的通解为
.
由y|x=0=1,y'|x=0=0得,.
因此满足初始条件的特解为
.
3.大炮以仰角α、初速度v0发射炮弹,若不计空气阻力,求弹道曲线.
解取炮口为原点,炮弹前进的水平方向为x轴,铅直向上为y轴,弹道运动的微分方程为
且满足初始条件
.
易得满足方程和初始条件的解(弹道曲线)为
⎪⎩
⎪⎨⎧-⋅=⋅=20021sin cos gt t v y t v x αα. 4. 在R 、L 、C 含源串联电路中, 电动势为E 的电源对电容器C 充电. 已知E =20V , C =0.2μF(微法), L =0.1H(亨), R =1000Ω, 试求合上开关K 后电流i (t )及电压u c (t ).
解 (1)列方程. 由回路定律可知
,
即 ,
且当t =0时, u c =0, u c '=0.
已知R =1000Ω, L =0.1H , C =0.2μF , 故
,
,
.
因此微分方程为.
(2)解方程. 微分方程的特征方程为r 2+104r +5⋅107=0,
其根为r 1, 2=-5⨯103±5⨯103i . 因此对应的齐次方程的通解为
.
由观察法易知y *=20为非齐次方程的一个特解.
因此非齐次方程的通解为
.
由t =0时, u c =0, u c '=0, 得C 1=-20, C 2=-20. 因此
(V),
(A).
5. 一链条悬挂在一钉子上, 起动时一端离开钉子8m 另一端离开钉子12m , 分别在以下两种情况下求链条滑下来所需的时间:
(1)若不计钉子对链条所产生的摩擦力;
解 设在时刻t 时, 链条上较长的一段垂下x m , 且设链条的密度为ρ, 则向下拉链条下滑的作用力
F =x ρg -(20-x )ρg =2ρg (x -10).
由牛顿第二定律, 有
20ρx ''=2ρg (x -10), 即.
微分方程的特征方程为
,
其根为,, 故对应的齐次方程的通解为
.
由观察法易知x *=10为非齐次方程的一个特解, 故通解为
.
由x (0)=12及x '(0)=0得C 1=C 2=1. 因此特解为
当x=20,即链条完全滑下来时有,
解之得所需时间
s.
(2)若摩擦力为1m长的链条的重量.
解此时向下拉链条的作用力变为
F=xρg-(20-x)ρg-1ρg=2ρgx-21ρg
由牛顿第二定律,有
20ρx''=2ρgx-21ρg,即.
微分方程的通解为
.
由x(0)=12及x'(0)=0得.因此特解为
.
当x=20,即链条完全滑下来时有,
解之得所需时间
s.
6.设函数ϕ(x)连续,且满足
,
求ϕ(x).
解等式两边对x求导得
,
再求导得微分方程
ϕ''(x)=e x-ϕ(x),即ϕ''(x)+ϕ(x)=e x.
微分方程的特征方程为
r2+1=0,
其根为r1, 2=±i,故对应的齐次方程的通解为
ϕ=C1cos x+C2sin x.
易知是非齐次方程的一个特解,
故非齐次方程的通解为
.
由所给等式知ϕ(0)=1,ϕ'(0)=1,由此得.
因此
.
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