辽宁高二高中数学开学考试带答案解析

辽宁高二高中数学开学考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.若是任意实数，且，则（）
A．B．C．D．
2.在正方体中，直线与平面所成的角的大小为（）
A．900B．600C．450D．300
3.已知条件，条件，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.已知三点不共线，对平面外的任一点,下列条件中能确定点与点一定共面的是( )
A．
B．
C．
D．
5.下列有关命题的说法错误的是 ( )
A．命题“若则”的逆否命题为：“若, 则”.
B．“”是“”的充分不必要条件.
C．若为假命题，则、均为假命题.
D．对于命题：使得. 则：均有
6.设变量满足，设，则的取值范围是( )．
A．[，]B．[，3]C．[，3]D．[，＋∞)
7.已知在上是减函数，则满足＞的实数的取值范围是( )．
A．(－∞，1)B．(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(1，2)
8.设等比数列{}的前项和为若，则＝ ( )
A．3:4B．2:3C．1:2D．1:3
9.已知点在抛物线上，那么点到点（2，－1）的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，
点的坐标为（）
A．B．C．D．
10.若不等式，对恒成立,则关于的不等式的解集为 ( )
A．B．
C．D．
11.已知椭圆与双曲线有相同的焦点和，若是的等比
中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
12.已知的顶点、分别为双曲线的左右焦点，顶点在双曲线上，则的
值等于
A．B．C．D．
二、填空题
1.已知, (为两两互相垂直的单位向量)，那么= .
2.在等差数列中，若，则该数列的前2009项的和是 .
3.已知方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是_________________.
4.若不等式在上的解集是空集，则的取值范围是．
三、解答题
1.若函数在区间（0,1）、（1,2）内各有一个零点，求的取值范围.
2.在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（1）若的面积等于，求；
（2）若，求的面积．
3.已知,设命题函数的定义域为；命题当时,函数恒成立，如果为真命题,为假命题,求的取值范围．
4.已知数列的各项均为正数，为其前项和，且对任意的，有.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
5.在如图的直三棱柱中，，点是的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)求异面直线与所成的角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值；
6.在平面直角坐标系中，的两个顶点、的坐标分别是（-1,0）,(1,0),点是的重心，轴上一点
满足，且.
（1）求的顶点的轨迹的方程；
（2）不过点的直线与轨迹交于不同的两点、,当时，求与的关系，并证明直线过定点.
辽宁高二高中数学开学考试答案及解析
一、选择题
1.若是任意实数，且，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为是单调减函数，且，所以.
【考点】本小题主要考查函数的单调性.
点评：比较大小时经常用到函数的单调性，必要时要借助0，1等作中间量.
2.在正方体中，直线与平面所成的角的大小为（）
A．900B．600C．450D．300
【答案】D
【解析】连接交于点，连接,则为直线与平面所成的角，在中，,所以直线与平面所成的角的大小为
【考点】本小题主要考查直线与平面所成的角.
点评：考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题.
3.已知条件，条件，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】所以；，所以，
所以是的充分不必要条件.
【考点】本小题主要考查不等式是求解，充要条件的判断.
点评：要判断充分条件、必要条件，首先要分清谁是条件谁是结论，再就是分清谁能推出谁.
4.已知三点不共线，对平面外的任一点,下列条件中能确定点与点一定共面的是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】中等号右边的系数，所以向量共面，根据共面向
量定理知与点共面.
【考点】本小题主要考查共面向量定理的应用.
点评：答案D中结论实际上是共面向量定理的推论，这个推理应用十分广泛，要灵活应用.
5.下列有关命题的说法错误的是 ( )
A．命题“若则”的逆否命题为：“若, 则”.
B．“”是“”的充分不必要条件.
C．若为假命题，则、均为假命题.
D．对于命题：使得. 则：均有
【答案】C
【解析】根据原命题与逆否命题的关系知A正确；由充要条件的判断知B正确；由复合命题的真值表知C不正确；根据含有一个量词的命题的否定知D正确.
【考点】本小题主要考查四种命题，充要条件，复合命题，含有一个量词的命题的否定.
点评：对于此类问题，要根据结论仔细判断，此类问题一般难度较低.
6.设变量满足，设，则的取值范围是( )．
A．[，]B．[，3]C．[，3]D．[，＋∞)
【答案】C
【解析】画出可行域，可行域为一个三角形，，而表示可行域的点与原点连线的斜率，根据图
象可知，在处取到最小值，在处取到最小值，所以才最小值为，最大值为，所以的
取值范围是[，3].
【考点】本小题主要考查线性规划.
点评：解决线性规划问题的前提是正确画出可行域，而如果不是线性目标函数的话，要进行恰当转化，如转化为斜率、距离等.
7.已知在上是减函数，则满足＞的实数的取值范围是( )．
A．(－∞，1)B．(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(1，2)
【答案】C
【解析】因为在上是减函数，所以由＞可知，解得实数的取值范围是(－∞，1)∪(2，
＋∞).
【考点】本小题主要考查函数单调性的应用.
点评：应用函数的单调性解抽象不等式，关键是根据函数的单调性去掉，然后求解不等式时要求解正确.
8.设等比数列{}的前项和为若，则＝ ( )
A．3:4B．2:3C．1:2D．1:3
【答案】A
【解析】等比数列{}中，成等比数列，因为，所以,可以求得，所以=3：4.
【考点】本小题主要考查等比数列的性质.
点评：等比数列中，成等比数列这条性质经常用到，要灵活应用.
9.已知点在抛物线上，那么点到点（2，－1）的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，
点的坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】已知（2，－1）在抛物线内部，而抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点到
点（2，－1）的距离与点到抛物线焦点距离之和的最小值为点到准线的距离，而抛物线的准线为，
所以点的纵坐标为-1，代入抛物线方程知点P的坐标为.
【考点】本小题主要考查抛物线的简单性质.
点评：抛物线上的点最重要的一条性质就是抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以在求解最值时经常利用这条性质进行转化.
10.若不等式，对恒成立,则关于的不等式的解集为 ( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为不等式，对恒成立,所以，所以是减函数，
所以由可得，解得不等式的解集为.
【考点】本小题主要考查不等式的求解，函数的单调性.
点评：解决本小题的关键在于根据已知条件判断出，进而利用指数函数的单调性进行求解.
11.已知椭圆与双曲线有相同的焦点和，若是的等比
中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为椭圆与双曲线有相同的焦点和，所以
，又因为是的等比中项，是与的等差中项，所以，三式联立可知椭圆的离心率为.
【考点】本小题主要考查椭圆，双曲线的基本运算.
点评：解决椭圆，双曲线的混合运算时，要注意它们的区别和联系，尤其是椭圆中双曲线中
12.已知的顶点、分别为双曲线的左右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】易求双曲线的离心率为，在中，利用正弦定理和双曲线的定义知
【考点】本小题主要考查双曲线的定义，正弦定理.
点评：解决本小题的关键是根据正弦定理和双曲线的定义将要求解的量转化为双曲线离心率的倒数，圆锥曲线的定义在解题中经常用到，要灵活应用.
二、填空题
1.已知, (为两两互相垂直的单位向量)，那么= .
【答案】–65
【解析】由,可以解得，
，所以
【考点】本小题主要考查向量的运算.
点评：由已知条件可以求出向量的坐标，进而根据向量是数量积运算公式可以求解，难度较低，运算要仔细.
2.在等差数列中，若，则该数列的前2009项的和是 .
【答案】2009
【解析】因为是等差数列，根据等差数列的性质可知
所以该数列的前2009项的和是
【考点】本小题主要考查等差数列的性质.
点评：等差数列的性质在解题过程中应用十分广泛，要牢固掌握，灵活应用.
3.已知方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是_________________.
【答案】
【解析】因为方程有一个正根和一个负根，所以两根之积小于零，根据根与系数的关系可知，解得实数的取值范围是.
【考点】本小题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系.
点评：本题考查一元二次方程根与分布，由根的数字特征转化为关于参数的不等式求解参数的范围这是此类题的特征．
4.若不等式在上的解集是空集，则的取值范围是．
【答案】
【解析】不等式在上的解集是空集，所以的最小值大于，而
，所以
【考点】本小题主要考查一元二次不等式求解问题.
点评：恒成立问题是高中数学经常考查的内容，解决恒成立问题经常转化为最值问题解决.
三、解答题
1.若函数在区间（0,1）、（1,2）内各有一个零点，求的取值范围.
【答案】
【解析】因为函数在区间（0,1）、（1,2）内各有一个零点，
所以有，
其表示的平面区域为，……4分
表示与区域中的点连线的斜率. ……5分
可以求出,, ……9分
故的取值范围是. ……10分
【考点】本小题主要考查函数的零点，线性规划.
点评：根据函数的零点情况将问题转化为线性规划问题是解决本小题的关键，而求解线性规划问题时也要适当转化，如本小题就将问题转化成了斜率问题进行求解.
2.在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（1）若的面积等于，求；
（2）若，求的面积．
【答案】（1），（2）
【解析】（1）由余弦定理得，，
又因为的面积等于，所以，解得，……4分
联立方程组
解得，．……6分
（1）由正弦定理，已知条件化为，……8分
联立方程组
解得，．
所以的面积．……12分
【考点】本小题主要考查正弦定理，余弦定理.
点评：正弦定理和余弦定理在解三角形中应用十分广泛，利用正弦定理时，要注意解的个数的判断.
3.已知,设命题函数的定义域为；命题当时,函数恒成立，如果为真命题,为假命题,求的取值范围．
【答案】
【解析】由，
对命题函数的定义域为可知，
，解得；……4分
对命题当时,函数恒成立，
即函数在的最小值大于，
因为当时，，所以,即，……8分
由题意可知，当可得；当可得；……11分
综上所述的取值范围为. ……12分
【考点】本小题主要考查复合命题的真假的判断和应用.
点评：解决此类问题时，一般是先将两个命题为真命题的条件求出来，再根据复合命题的真值表进行判断，如果某个命题为假命题，则取补集即可.
4.已知数列的各项均为正数，为其前项和，且对任意的，有.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由已知得，
∴当时，；
∴，即，
∴当时，；
∴数列为等比数列，且公比；……4分
又当时，，即，∴；
∴. ……8分
（2）∵，
∴，……10分
∴的前项和
. ……12分
【考点】本小题主要考查等比数列的判定和应用以及裂项法求和.
点评：判定等差数列或等比数列时，不要忘记验证是否符合；裂项法是求和的主要方法之一，要正确裂项，准确计算.
5.在如图的直三棱柱中，，点是的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)求异面直线与所成的角的余弦值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值；
【答案】（1）建立空间直角坐标系，利用向量证明，进而用线面平行的判定定理即可证明；
（2）
（3）
【解析】因为已知直三棱柱的底面三边分别是3、4、5，
所以两两互相垂直，
如图以为坐标原点,直线分别为轴、轴、轴
建立空间直角标系，……2分
则，，.
（1）设与的交点为，连接,则
则
∴∥，∵内，平面
∴∥平面；……4分
（2）∵∴，
. ……6分
∴；
∴所求角的余弦值为 . ……8分
（3）设平面的一个法向量，则有：
，解得，. ……10分
设直线与平面所成角为. 则，
所以直线与平面所成角的正弦值为. ……12分
（其它方法仿此酌情给分）
【考点】本小题主要考查线面平行，异面直线所成的角和线面角.
点评：解决立体几何问题，可以用判定定理和性质定理，也可以建立空间直角坐标系用向量方法证明，但是用向量方法时，也要依据相应的判定定理和性质定理，定理中需要的条件要一一列举出来，一个也不能少.
6.在平面直角坐标系中，的两个顶点、的坐标分别是（-1,0）,(1,0),点是的重心，轴上一点
满足，且.
（1）求的顶点的轨迹的方程；
（2）不过点的直线与轨迹交于不同的两点、,当时，求与的关系，并证明直线过定点.
【答案】(1) (2) ,直线过定点
【解析】（1）设点坐标为，
因为为的重心，故点坐标为.
由点在轴上且知，点的坐标为, ……2分
因为，所以，即.
故的顶点的轨迹的方程是. ……4分
(2)设直线与的两交点为.
由消去得，
则,
且,. ……8分
因为，所以,
故，
整理得.解得. ……10分
①当时=，直线过点（-1，0）不合题意舍去。

②当时，=，直线过点.
综上所述,直线过定点. ……12分
【考点】本小题主要考查椭圆标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系.
点评：求曲线方程时，不要忘记验证是否有限制条件；解决直线与圆锥曲线的位置关系时，一般离不开直线方程与圆锥曲线方程联立方程组，此时不要忘记验证判别式大于零.。