高等几何课件上课版PPT课件

的仿x 射y变换0,。x y 0, x 2y 1 0
• 2、已知仿射变换
x/ 2x y 1
• 求点 P1(1, 0), P2 (1, 0)
y/
x
y
3
• 的像点，及直线 x y 2 0的像直线。
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4、特殊的仿射变换
正交变换
x'
y'
a11x a21x
a12 y a13 a22 y a23
称为透视仿射对应。 注：透视仿射对应与L的方向无关。若a与b相交，交 点称为自对应点。
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两条直线间的透视仿射对应
a
C B A
o L
A/ B/ C/
b
特征：对应点的连线互相平行
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两个平面间的透视仿射对应
A1 B1
C1
1
M对应点的连线互相平行
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第一章、仿射坐标与仿射变换
2、单比
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例1 证明：两平行直线经过仿射变换后仍变为平行直线
• 证明：设变换为：T:
x' y'
A
x y
a b
,
直线l1
:u
u1
u2
,l2
:
v
v1
v2
l1
//
l2
u
v即
u1 u2
v1 v2
u1' u2'
A
u1 u2
A
v1 v2
A
v1 v2
•且
o', e1' , e2' 在{o;e1, e2}下的坐标分别为： （a13, a23), (a11, a21), (a12, a22 )
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平比行不四变边，形 故POP' 在x P坐Py变标为系平{O行';四e1' ,边e2' }形中O的'P坐x'P标P，y为' 且(保x,y)持单
y/
p/
y py o
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影
} 定义1 : l l'
2、平面到平面的中心射影
均不是一一对应
定义2 : '
中心射影不是双射的原因：存在影消点、影消线 存在影消点、影消线的原因：平行的直线没有交点
如何使得中心射影成为一一对应？
给平行线添加交点！ 38
§ 2.1 射影平面
一、中心射影 二、无穷远元素
非欧几何
经验几何
演绎化
论证几何 （欧氏几何）
（远古─元前600年）
（元前600年─ 400年）
积累了丰富的 经验，但未上 升成系统理论
埃及几何跟希腊逻辑 方法相结合，以抽象 化、逻辑化为特点
几何基础 （公理几何）
解析几何
微分几何
射影几何
拓扑学
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四、几何的发展历史线索
代数曲线
解析几何
(17世纪)
（坐标法）
p
py/
o/
px
x
x/ px/
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一方面 ：, OP' x'e1 y'e2 • 另一方面：
op' oo' o' p' a13e1 a23e2 xe1' ye2' a13e1 a23e2 x(a11e1 a21e2 ) y(a12e1 a22e2 ) (a11x a12 y a13 )e1 (a21x a22 y a23 )e2
• 学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想
• 训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养
• 新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何和其他 学科，提高观点，加深理解，举一反三
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四、几何的发展历史线索
射影几何学是一切的几何学 ──[英] Cayley
代数法 代数几何 代数曲面 代数族 域上多胞形
微分几何
(19世纪)
（分析方法）
张量分析 微分流形、黎曼流形、复流形 大范围微分几何
射影几何
(19世纪)
（综合法、爱尔 兰根纲领代数法）
仿射几何 画法几何
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四、几何的发展历史线索
罗氏几何 非欧几何 （19世纪） 黎曼几何
拓扑学
（几何与代数、 分析相结合， 多样化发展）
研究图形的 正交变换不变性的科学
4
仿射几何
平行射影
透视仿射变换
有限次平行射影的结果
仿射变换
仿射几何 仿射不变性
研究图形的
仿射变换不变性的科学
比如——平行性、两平行 线段的比等等
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射影几何
中心射影
透视变换
有限次中心射影的结果
射影变换
射影几何
研究图形的 射影变换不变性的科学
射影不变性
比如——几条直线共点、 几个点共线等等
分点反号. 二、性质
1、保同素性和结合性 2、保单比不变
3、保平行性
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•1.2 仿射对应与仿射变换
一、概念
设同一平面内有n条直线，a1, a2 ,L , an 如下图 1,2 ,L ,n 是 a1到a2, a2到a3,L , an1到an 的透视仿射对应
经过这一串对应，得到 a1到an 的透视仿射对应，
教师授课助手 学生自修向导——
高等几何多媒体课件
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课程概论
一、高等几何的内容
高等几何
数学与应用数学专业主干课程之一
前三高
数学分析 高等代数
后三高
实变函数 近世代数
高等几何
点集拓扑
综合大学：空间解几＋仿射几何、射影几何, 一个学期
高等几何
射影几何 几何基础 ……
本课程
主要介绍平面射 影几何知识(教材 前五章)
总结：在平面上添加无穷远元素之后，没有破坏点与直线 的关联关系，同时使得中心射影成为一一对应.
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§ 2.1 射影平面
理解约定1.1(1), (2)
1、对应平面上每一方向，有惟一无穷远点. 平行的直线交于同 一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行.
2、每一条通常直线上有且仅有一个无穷远点. 3、平面上添加的无穷远点个数＝过一个通常点的直线数. 4、不平行的直线上的无穷远点不同. 因而，对于通常直线：
目标： 改造空间，使得中心射影成为双射 途径： 给平行直线添加交点 要求： 不破坏下列两个基本关系
两条相异直线确定惟一一个点(交点)
} 点与直线的关联关系
两个相异点确定惟一一条直线(连线)
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§ 2.1 射影平面
二、无穷远元素
约定1.1 (1) 在每一条直线上添加惟一一个点，此点不是该直
线上原有的点. 称为无穷远点(理想点)，记作P∞
1)设 P1, P2 , P 为共线三点
P1
P2
P
称
( P1P2 P)
P1P P2 P
为共线三点 P1, P2 , P
的单比，P1, P2 叫基点
P 叫分点。
uuur uuur P1P, P2P 是有向线段 P1P, P2P 的数量
2). 符号
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§ 1 透视仿射对应
3）单比与定比的区别
(P1P2P)表示一个数, 是有向线段P1P与P2P的比值, 与解几中的定比
点集拓扑 代数拓扑 解析拓扑
分形几何
微分拓扑 微分流形 纤维丛
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五、课程简介
• 周学时2，一个学期，学习第一章～第五章
• 主要参考书：
•梅向明、门淑惠等编《高等几何》,高等教育出版社出版， 2008年; • 朱德祥、朱维宗等编《高等几何》（第二版）,高等教育出 版社出版，2010年; •罗崇善编《高等几何》,高等教育出版社出版,1999年6月； •朱德祥、李忠映、徐学钰等编《高等几何习题解答》。 •周兴和编《高等几何》，科学出版社，2010年
(x1, y1), (x2 , y2 ), (x3, y3)
则单比为
( p1, p2 , p3 )
x3 x1 x3 x2
y3 y1 y3 y2
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25
3、仿射变换的坐标表示
• 已知仿射坐标：{o, e1, e2} 仿射变换为:T
• 变换将 ： {o, e1, e2} {o', e1' , e2' }
(2) 相互平行的直线上添加的无穷远点相同, 不平行的直线上 添加的无穷远点不同.
区别起见，称平面上原有的点为有穷远点(通常点)，记作P
约定1.1 (3) 按约定(1), (2)添加无穷远点之后，平面上全体无
穷远点构成一条直线，称为无穷远直线(理想直线)，记作l∞
区别起见，称平面上原有的直线为有穷远直线(通常直线)，l
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课程概论
一、高等几何的内容 什么是射影几何？
直观描述
鸟瞰下列几何学
欧氏几何
仿射几何
射影几何
十九世纪名言
一切几何学都是射影几何
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欧氏几何(初等几何)
研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数 量(统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)
搬动
正交变换
对图形作有限次的平移、 旋转、轴反射的结果
欧氏几何
所以
x'
y'
a11x a21x
a12 y a22 y
a13 a23
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例1 已知三点O(0,0), E(1,1), P(1, 1) 求仿射变换T使顺 次变为 O1(2,3), E1(2,5), P1(3, 7).
• 练习：1、求使直线x 0, y 0, x 2y 1 0分别变为
三个特殊点：
X=l×l' 自对应点 OU//l', 与l'不相交， U为l上的影消点 OV'//l, 与l不相交， V'为l'上的影消点
影消点的存在，导致两直线间的中心射影不是一个一一对3应6 !
§ 2.1 射影平面
一、中心射影
2、平面到平面的中心射影
定义2 : '
O投射中心(O ') OP 投射线 P' π 上的点P 在π'上的像 P π' 上的点P'在π上的像
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第一章 仿射坐标与仿射变换
本章地位 本章内容
学习射影几何的基础
阐明仿射变换的概念，研 究仿射变换的不变量与不 变性质。
学习注意
仿射变换在初等几何中的 应用
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第一章、仿射坐标与仿射变换
1.1 透视仿射对应
一、概念 1、同一平面内两直线a到b间的透视对应，
设L为平面上另外一直线,a与 b不平行。过a上的点A, B,CL 作与L平行的直线与b交于 A', B', C ',L即得a到b的一个一一映射，
例１、平行四边形经仿射（对应）变换仍变为平行 四边形 例２、两平行线段之比经仿射对应不变 例３、仿射对应保持平形性不变
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1.3 仿射坐标系
１、定义 笛卡尔坐标系在仿射对应下的像叫做
仿射坐标系， (x', y') 叫点 P' 的仿射坐标
记为 P' (x', y' )
２、设共线三点 P1, P2, P3 的仿射坐标为
v1' v2'
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二、重要结论：
• 1、两相交直线经仿射变换后仍为相交直 线。 2、共点直线仍变为共点直线 3、两平行线段之比是仿射不变量。 4、两三角形面积之比是仿射不变量 （证明见课本） 5、两个多边形面积之比是仿射不变量 6、两封闭图形面积之比是仿射不变量
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• 例2、求椭圆的面积
因此 ， 1 : ' 是π'到π的中心射影
三条特殊的线： x ' 自对应直线(不变直线)
u ,U u,OU // ' ， u为由影消点构成的影消线 v' ',V 'v',OV ' // ， v'为由影消点构成的影消线
影消线的存在导致两平面间的中心射影不是一个一一对37应
§ 2.1 射影平面
定义射影平面，引入齐次 坐标，学习对偶原则
附带一个重要定理
Desargues透视定理
学习注意
认真思考，牢固掌握基本 概念，排除传统习惯干扰
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§ 2.1 射影平面
一、中心射影
1、平面上两直线间的中心射影
定义1 : l l'
O投射中心(O l l ')
OP 投射线 P' l 上的点P在l'上的像 P l' 上的点P'在l上的像 因此 ，φ–1: l' → l是 l' 到 l 的中心射影
y
D
设在笛卡尔直角坐标系下椭圆 方程为
A CB
O
x
x2 a2
y2 b2
x' x
1作变换
y
'
a b
y
变为x2
y2
a2
在仿射变换下：o o, B B,C D
s椭 sCOB
s圆 sD0B
,即 s椭 1 ab
1
a2 a2
s椭
ab
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第二章 射影平面
本章地位 本章内容
学习平面射影几何的基础
, a121
a221
a122
a222
1, a11a12
a21a22
0
位似变换
x' y'
kx ky
a13 a23
,
k
0
相似变换
x' y'
ax bx
by ay
d1 d2
,
1
压缩变换
x' ax
y'
by
,
ab
0
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1.4 仿射性质
• 一、定义：图形经过任何仿射变换后都 不变的性质（量），称为图形的仿射性 质（量） •同素性，结合性，平行性是仿射性质。 •单比是仿射不变量。
这个对应称为 a1到an 的仿射对应。
记作： nn1 L 21
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直线间的仿射对应
如图所示：
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平面间的仿射对应
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二、性质
（1）保持同素性和结合性； （2）保持共线三点的单比不变； （3）保持直线的平行性不变。 注：仿射对应下，对应点的连线不一定平行。
为什么？
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定义2.2 若两个平面间的一个点对应（变换）保持同素 性、结合性和共线三点的单比不变，则这个点对应（变 换）称为仿射对应（变换）
射影变换将彻底改变我们原有的几何
空间观念！
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课程概论
一、高等几何的内容
二、高等几何的方法
综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容
解析法
形、数结合，利用代数、分析 的方法研究问题
本课程
以解析法为主，兼用综合法
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课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的方法 三、开课目的