(常考题)人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(有答案解析)(3)

一、选择题
1．下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） A ．()sin f x x = B ．lg y x = C ．()f x x =-
D ．()cos f x x =
2．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进103米后到点E ，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为（ ）米．
A ．10
B ．102
C ．15
D ．152
3．已知函数()31
sin cos 2
f x x x ωω=
-（0>ω）的图象与直线1y =的相邻两个交点距离等于π，则()f x 的图象的一条对称轴是（ ） A ．12
x π
=-
B ．12x π
=
C ．3
x π
=-
D ．3
x π=
4．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）
A ．()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．()2sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
D ．()sin 23πf x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
5．cos45sin15sin 45cos15︒︒-︒︒=（ ）. A ．1
B ．12
-
C
D ．
12
6．已知函数()2sin 46f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则（ ）
A ．()f x 的最小正周期为π
B ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象关于直线6
x π
=对称
D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 7．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若2
sin 3
α=，则()cos αβ-=（ ） A ．
19
B
．
9
C ．19
-
D
．9
-
8．若4cos 5θ=-
，θ是第三象限的角，则
1tan
21tan 2
θ
θ-=+（ ） A ．
12
B ．12
-
C ．
35
D ．-2
9．sin 20cos10cos160sin10-=（ ） A
． B ．
12
C ．12
-
D
．
2
10．若1sin 63
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）.
A ．7
9-
B ．13
-
C ．
13
D ．
79
11．已知3cos()45x π
-=-，177124x ππ<<，则2sin 22sin 1tan x x
x
-+的值为（ ） A ．
28
75
B ．21100-
C ．2875
-
D ．
21100
12．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）
A ．向右平移π
6
个单位长度 B ．向左平移π
6
个单位长度 C ．向右平移π
2
个单位长度 D ．向左平移
π
2
个单位长度 二、填空题
13．已知定义在[],a a -上的函数()cos sin f x x x =-是减函数，其中0a >，则当a 取最大值时，()f x 的值域是______.
14．方程2sin 2cos 20x x ++=的解集为________.
15．化简cos()sin()
2sin()cos()
π
ααπααπ+-=--___________.
16．设函数()cos 2sin f x x x =+，下述四个结论正确结论的编号是__________. ①()f x 是偶函数； ②()f x 的最小正周期为π； ③()f x 的最小值为0； ④()f x 在[]0,2π上有3个零点. 17．先将函数()()()cos 0,y x ϕϕπ=+∈的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵
坐标不变)，再向左平移
3π
个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ=________. 18．已知2sin 3
θ=-，3,2πθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则tan θ=______．
19．已知：3sin 25πα⎛⎫+= ⎪
⎝
⎭，且α为第四象限角，则cos 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭___________． 20．已知tan 2α=，则cos 22πα⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
___________. 三、解答题
21．已知函数()2sin 24cos cos 644f x x x x πππ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当,612x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时，求函数()f x 的值域. 22．已知向量2(cos ,sin )m x a x =，(3,cos )n x =-，函数3
()f x m n =⋅-. （1）若1a =，当[0,]2
x π∈时，求()f x 的值域； （2）若()f x 为偶函数，求方程3
()4
f x =-在区间[,]-ππ上的解. 23．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭，在,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上有最小值，无最大值，且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. （1）求()f x 的最小正周期；
（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛
⎫
<< ⎪⎝
⎭
个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12
min
7
x x π
-=
，求ϕ的值.
24．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的图象的相邻两条对称轴之间的距离为4π，且()23
f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
恒成立. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）将函数()f x 图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2，再向右平移3
π个单位长度得到()g x 的图象，求()g x 图象的对称中心.
25．已知函数()sin 1f x x x =++. （Ⅰ）设[0,2π]α∈，且()1f α=，求α的值； （Ⅱ）将函数(2)y f x =的图像向左平移
π
6
个单位长度，得到函数()y g x =的图像. 当ππ
[,]22
x ∈-时，求满足()2g x ≤的实数x 的集合.
26．已知函数())2sin cos 3
f x x x x π
=
--．
（1）求()f x 的最小正周期、最大值、最小值； （2）求函数的单调区间；
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据基本初等函数的性质，以及函数奇偶性的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】
对于A 中，函数()sin f x x =，根据正弦函数的性质，可得函数()sin f x x =在[]1,1-上单调递增，不符合题意；
对于B 中，函数lg y x =，满足()()lg lg f x x x f x -=-==，所以函数lg y x =为偶函数，不符合题意；
对于C 中，函数()f x x =-，根据一次函数的性质，可得函数()f x x =-为奇函数，且在
[]1,1-上单调递减函数，符合题意；
对于D 中，函数()cos f x x =，满足()()cos()cos f x x x f x -=-==，所以函数
()cos f x x =为偶函数，不符合题意.
故选：C.
2．C
解析：C 【分析】
由,2,4PCA PDA PEA θθθ∠=∠=∠=，得PDE △是等腰三角形，且可求得230θ=︒，在直角PEA 中易得塔高PA ． 【详解】
由题知,2CPD PCD DPE PDE θθ∠=∠=∠=∠= ∴30PE DE PD CD ====
∴等腰EPD △的230θ︒=，∴460θ︒= ∴Rt PAE
中，AE =15PA =． 故选：C ．
3．D
解析：D 【分析】
首先化简函数，根据条件确定函数的周期，求ω，再求函数的对称轴. 【详解】
()()sin 06f x x πωω⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭，
max 1y =，由题意可知T π=，22π
πωω
∴
=⇒=，
()sin 26f x x π⎛
⎫∴=- ⎪⎝
⎭，
令2,6
2
x k k Z π
π
π-
=
+∈，解得：3
2
k x π
π
=
+
，k Z ∈ 当0k =时，3
x π
=.
故选：D
4．A
解析：A 【分析】
利用图象可得出()max A f x =，求出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点
,26π⎛⎫
⎪⎝⎭
代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值，进而可得出函数()f x 的解析式.
【详解】
由图象可得()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为2236T πππ⎛⎫
=⨯-=
⎪⎝⎭
， 22T
π
ω∴=
=，()()2sin 2f x x ϕ∴=+， 又2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=⨯+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，可得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 2
2
π
π
ϕ-
<<
，56
3
6π
π
πϕ∴-
<
+<
，32ππϕ∴+=，解得6
π
=ϕ， 因此，()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
. 故选：A. 【点睛】
方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min
:2
f x f x b A -=
，()()max min
2
f x f x b +=
；
（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2T
πω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.
解析：B 【分析】
根据两角差的正弦公式，准确运算，即可求解. 【详解】
由()1cos 45sin15sin 45cos15sin 1545sin 302
︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=-. 故选：B.
6．B
解析：B 【分析】
对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令
242,2
6
2k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫
⎪⎝⎭
可判断； 对D ，计算24f π⎛⎫
⎪⎝⎭
可判断.
【详解】 对于A ，
()2sin 46f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242
T ππ==，故A 错误；
对于B ，令242,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，解得
,26212
k k x k Z ππππ
-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦
，故B 正确；
对于C ，
2sin 412666f πππ⎛⎫
⨯+=≠± ⎪⎝=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对
称，故C 错误；
对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫
⎪⎝⎭
对
称. 故选B. 【点睛】
方法点睛：判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法： （1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2
x k k Z π
ωϕπ+=+∈可求得对
称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；
（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若
()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心.
解析：C 【分析】
由对称写出两角的关系，然后利用诱导公式和二倍角公式计算． 【详解】
由题意2,k k Z αβππ+=+∈，即2k βππα=+-，
2
221cos()cos(22)cos(2)cos 22sin 12139k αβαπππααα⎛⎫
-=--=-=-=-=⨯-=-
⎪⎝⎭
．
故选：C ．
8．D
解析：D 【分析】
根据4cos 5θ=-
，θ是第三象限的角，先利用半角公式求得tan 2θ，然后代入
1tan
21tan 2
θ
θ-+求解. 【详解】
因为θ为第三象限角， 所以
2
θ
可能为二､四象限角，
所以tan 32θ===-， 所以
1tan
1322131tan
2
θ
θ-+==--+. 故选：D.
9．B
解析：B 【分析】
利用诱导公式cos160cos 20=-，再利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】
sin 20cos10cos160sin10-
()sin 20cos10cos 18020sin10=--
sin 20cos10cos 20sin10=+()
sin 2010=+
sin30=12
=
故选：B
10．A
解析：A 【分析】 根据1sin 63
πα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，利用诱导公式得到cos 3πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭，再由
2cos 2cos 233
ππαα⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用二倍角公式求解. 【详解】
因为1sin sin 623
3πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1
cos 33
πα⎛⎫+=
⎪⎝⎭， 所以227cos 2cos 22cos 133
39πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
故选：A
11．A
解析：A 【分析】 根据
177124x ππ
<<以及3cos()45x π-=-求出4sin()45
x π-=-，进而求出4tan()43
x π-=，根据诱导公式和二倍角的余弦公式得7
sin 225x =-，然后利用恒等变换
公式将2sin 22sin 1tan x x
x
-+化简为sin 2tan()4x x π-⋅-后，代入计算可得结果.
【详解】
因为
177124x ππ
<<，所以73642
x πππ<-<， 因为3cos()45x π
-
=-，
所以4
sin()45
x π-===-， sin()4tan()4cos()4x x x π
ππ--=
=-4535
--43=，
sin 2cos(2)cos 2()24x x x ππ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦2972cos 12142525x π⎛
⎫=--=⨯-=- ⎪⎝
⎭，
所以
2sin 22sin 1tan x x x
-+2sin (cos sin )
sin 1cos x x x x x
-=
+2sin cos (cos sin )cos sin )x x x x x x -=+
sin 2(1tan )1tan x x x -=+tan
tan 4sin 21tan tan 4
x
x x π
π-=⋅+sin 2tan()4x x π=-⋅-7428()25375=--⨯=.
故选：A 【点睛】
本题考查了同角公式，考查了诱导公式，考查了二倍角的正弦公式，考查了两角差的正切公式，属于中档题.
12．A
解析：A 【分析】
首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：
541246T πππ=-=，所以223T ππω
==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24
k ϕπ
=+π，k Z ∈. 又因为2
π
ϕ<
，所以4
π
ϕ=
，()sin 34f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
. 因为
4436
π
π
π-
-
=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6
个单位长度.
故选：A 二、填空题
13．【分析】先求出函数单调减区间的一般形式根据函数在的单调性可得利用整体法可求当取最大值时的值域【详解】令则故的减区间为由题设可得为的子集故且故故当时故故的值域为故答案为：【点睛】关键点点睛：正弦型函数
解析：⎡⎣
【分析】
先求出函数单调减区间的一般形式，根据函数在[],a a -的单调性可得max 4
a π
=，利用整
体法可求当a 取最大值时，()f x 的值域． 【详解】
(
)cos sin 4f x x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，
令22,2
4
2k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+∈，则322,4
4
k x k k Z π
π
ππ-≤≤+
∈， 故()f x 的减区间为32,2,4
4k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦， 由题设可得[],a a -为32,2,4
4k k k Z π
πππ⎡
⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
的子集， 故0k =且4340a a a ππ⎧-≥-⎪⎪
⎪≤⎨⎪
>⎪⎪⎩
，故04a π<≤，故max 4a π=，
当44x ππ-
≤≤时，024x ππ-≤-≤
，故0sin 4x π⎛
⎫≤-≤ ⎪⎝
⎭
故()f x
的值域为⎡⎣．
故答案为：⎡⎣．
【点睛】
关键点点睛：正弦型函数在给定范围（含参数）上的单调性可由单调区间的一般形式得到参数满足的条件，这是解决此类问题的通法．
14．【分析】原方程化为关于的一元二次方程求得即可求解【详解】由得即解得或（舍去）所以故答案为： 解析：{}2,x x k k Z ππ=+∈
【分析】
原方程化为关于cos x 的一元二次方程，求得cos 1x =-，即可求解. 【详解】
由2sin 2cos 20x x ++= 得21cos 2cos 20x x -++=， 即2cos 2cos 30x x --=，
解得cos 1x =-或cos 3x =（舍去），
所以2,x k k Z ππ=+∈
故答案为：{}
2,x x k k Z ππ=+∈
15．【分析】利用诱导公式直接化简即可【详解】故答案为： 解析：tan α-
【分析】
利用诱导公式直接化简即可. 【详解】
cos()sin()
(sin )(sin )2tan sin()cos()sin (cos )
π
αααααπααπαα+--⋅-==----，
故答案为：tan α-.
16．①②③【分析】对①根据即可判断①正确对②根据函数和的最小正周期即可判断②正确对③首先得到再利用二次函数的性质即可判断③正确对④令解方程即可判断④错误【详解】对①因为函数的定义域为所以是偶函数故①正确
解析：①②③ 【分析】
对①，根据()()f x f x -=即可判断①正确，对②，根据函数cos 2y x =和sin y x
=的最小正周期即可判断②正确，对③，首先得到()2
192sin 48f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝
⎭，再利用二
次函数的性质即可判断③正确，对④，令()cos 2sin 0f x x x =+=，解方程即可判断④错误. 【详解】
对①，因为函数()f x 的定义域为R ，
()()()cos 2sin =cos 2sin f x x x x x f x -=-+-+=，
所以()f x 是偶函数，故①正确；
对②，因为cos 2cos2y x x ==，最小正周期为π，
sin y x =的最小正周期为π，
所以函数()cos 2sin f x x x =+的最小正周期为π，故②正确； 对③，()2
cos 2sin cos2sin 12sin sin f x x x x x x x =+=+=-+
2
192sin 48x ⎛
⎫=--+ ⎪⎝
⎭.
因为0sin 1x ≤≤，当sin 1x =时，()f x 取得最小值为0，故③正确.
对④，令()cos 2sin 0f x x x =+=，即2
12sin sin 0x x -+=，
解得sin 1x =或1
sin 2
x =-
（舍去）. 当[]0,2x π∈时，sin 1x =，解得2
x π=
或32
x π=
， 所以()f x 在[]0,2π上有2个零点.故④错误. 故选：①②③
17．【分析】由题意利用函数的图象变换规律三角函数的图象的对称性求得的值【详解】先将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)可得的图象；再向左平移个单位长度可得函数的图象根据所得函数图象关 解析：
56
π 【分析】
由题意利用函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得ϕ的值. 【详解】
先将函数()
()()cos 0,y x ϕϕπ=+∈的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标
不变)，可得1cos 2y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
的图象；
再向左平移
3π个单位长度，可得函数1cos 26y x πϕ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
的图象，
根据所得函数图象关于y 轴对称，可得6
k π
ϕπ+=，k Z ∈，
因为()0,ϕπ∈，所以1k =，56
π
ϕ=. 故答案为：56
π. 【点睛】
关键点点睛：熟练掌握函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性是解题关键..
18．【分析】根据角的范围和同角三角函数的关系求得从而求得答案【详解】因为所以所以故答案为：
【分析】
根据角的范围和同角三角函数的关系求得cos θ，从而求得答案. 【详解】
因为2sin 3θ=-
，3,
2πθπ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以cos 0θ<，
cos θ===，
所以sin tan cos θθθ==
，
. 19．【分析】由诱导公式求得然后由平方关系求得再由两角和的余弦公式可得结论【详解】由已知又为第四象限角∴∴故答案为：
【分析】
由诱导公式求得cos α，然后由平方关系求得sin α，再由两角和的余弦公式可得结论． 【详解】 由已知3sin cos 25παα⎛⎫
+== ⎪
⎝
⎭，又α为第四象限角，∴4
sin 5
α=-，
∴34cos cos cos sin sin ()444525210
πππααα⎛
⎫
+=-=⨯--⨯= ⎪
⎝
⎭
． 20．【分析】本题首先可通过三角恒等变换将转化为然后代入即可得出结果【详解】因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题能否合理利用同角三角函数关系诱导公式二倍角公式是解决本题的关键考查计算
解析：4
5
【分析】
本题首先可通过三角恒等变换将cos 22πα⎛
⎫- ⎪⎝⎭转化为22tan tan 1
αα+，然后代入tan 2α=即可得
出结果. 【详解】 因为tan 2α=， 所以2222sin cos 2tan 4
cos 2sin 22sin cos tan 15
παααααααα⎛
⎫
-==== ⎪++⎝
⎭， 故答案为：45
. 【点睛】
关键点点睛：本题考查给值求值问题，能否合理利用同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
三、解答题
21．（1）单调递增区间为：,36k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈；单调递减区间为：
2
,63k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈；（2）⎡-⎣. 【分析】
（1）利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，进而根据正弦函数的单调性即可求解. （2）由题意可求范围2,663x π
ππ⎡⎤
+∈-⎢⎥⎣⎦
，利用正弦函数的性质即可求解其值域. 【详解】
解：（1）()2sin 24cos cos 644f x x x x πππ⎛⎫
⎛⎫⎛
⎫=-
++- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
122cos 24(cos sin )(cos sin )2222x x x x x x ⎛⎫=-+⨯-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭
2cos 22cos 2x x x =-+
2cos2x x =+
2sin 26x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
，k Z ∈，解得3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，k Z ∈，
令32222
6
2
k x k π
π
πππ+
≤+
≤+
，k Z ∈，解得263k x k ππ
ππ+≤≤+，k Z ∈，
故函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈，
单调递减区间为：2,63k k ππππ⎡
⎤++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈.
（2）当,612x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，2,663x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，
可得1sin 226x π⎛
⎫-
≤+≤
⎪⎝⎭
，
可得12sin 26x π⎛
⎫
-≤+
≤ ⎪⎝
⎭
()f x 的值域为⎡-⎣.
22．（1）[-；（2）75,1212
x ππ=±
±. 【分析】
（1）将()f x 化为()cos(2)6
f x x π
=+，然后可得答案； （2）由()f x 为偶函数可求出0a =，然后可得答案. 【详解】
（1）2()sin cos 2sin 22
a f x x a x x x x =-=-
当1a =，1()cos 2sin 2cos(2)226
f x x x x π
=-=+
由7[0,
],2[,],cos(2)[1,2
66662
x x x π
π
πππ∈∴+
∈∴+∈-
所以()f x 的值域为[-
（2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=恒成立
2sin 22sin 222
a a x x x x +=-成立，整理得sin 20,0a x a =∴=
所以由3()24f x x =
=-得cos 2x =又752[2,2],,1212
x x ππ
ππ∈-∴=±± 23．（1）37π；（2）
14
π
. 【分析】
（1）题意说明周期6
T π
≥
，4
x π
=
是最小值点，由最小值点得ω表达式，由6
T π
≥
得ω
的范围，从而得ω的值；
（2）
()()122f x g x -=∣∣说明()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值.对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314
π
，由此可得． 【详解】
（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫
=+> ⎪⎝
⎭，在,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上有最小值，无最大值， 可知：
23
6
T π
π
π
ω
-
≤=
，故有012ω<≤.
又6
x π
=与3
x π
=
在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
4
x π
∴=
时，函数取到最小值.
2,()432
k k Z πππ
ωπ∴+=-+∈ 故有10
83
k ω=-
+， 又因为012ω<≤，所以143
ω=
. 所以函数()f x 的最小正周期为
37
π. （2）由
()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314
π. ∴有12min
314
x x π
ϕ-+=. 即314714
πππϕ=
-=.
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的周期，解题关键是由足()()122f x g x -=得出12,x x 是函数的最值点，一个是最大值点，一个是最小值点，由此分析其其差的最小值与周期结合可得结论．
24．（1）()12sin 4f x x ϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭；（2）()2,03k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭
. 【分析】
（1）由题意知()f x 的最小正周期为8π求ω，根据函数不等式及ϕ的范围求ϕ，写出解析式；
（2）有函数平移知2()(2)3
g x f x π
=-，进而由函数性质求对称中心即可. 【详解】
（1）因为函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为4π，所以函数()f x 的最小正周期是8π. ∴
28π
πω
=，解得14ω=
，所以()12sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又()23f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
恒成立， ∴2122sin 2343f ππϕ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=⨯+=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，得()262k k Z ππϕπ+=+∈，即
()23
k k Z πϕπ=
+∈.由2
π
ϕ<
知，3
π
ϕ=
，
∴()2sin 43x f x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭. （2）将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2，再向右平移3
π个单位长度后得到()2sin 26x g x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
的图象.
由
()26x k k Z ππ+=∈，得()23
x k k Z π
π=-+∈. 所以函数()g x 图象的对称中心为()2,03k k Z ππ⎛⎫
-+∈ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
关键点点睛：三角函数相邻对称轴的距离为最小正周期的一半，结合2||
T π
ω=
即可求ω，由函数不等式结合其最值求ϕ；写出函数平移后的解析式，根据函数性质求对称中心. 25．（Ⅰ）2=3
απ或53
π；（Ⅱ）{|24x x ππ-≤≤-或}122x ππ≤≤.
【分析】
（Ⅰ）化简得()2sin()13f x x π
=+
+，则可得sin(+)03
π
α=，即可求出；
（Ⅱ）由题可得2()2sin 2+
13g x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，不等式化为21sin(2)32x π+≤，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】
解：（Ⅰ）由()sin 2sin()13
1f x x x x π
=++=++，
由()=2sin()113f π
αα+
+=，得sin(+)03
π
α=，
又[0,2]απ∈， 得2=3
απ或
5
3
π； （Ⅱ）由题知，2sin(23
(2)1)x f x π
+
=+
2()2sin 2++12sin 2+
1633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫
=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭
⎣⎦， 由()2g x ≤，得21
sin(2)32
x π+≤， ∴72+22+2,636
k x k k Z πππ
ππ-
≤+≤∈， 22x π
π
-≤≤
，2523
33
x π
ππ-
≤+
≤， ∴223
3
6
x π
π
π
-
≤+
≤
，或
5252633
x πππ≤+≤， ∴2
4
x π
π
-
≤≤-
，或
122x π
π
≤≤
， 即所求x 的集合为{|2
4
x x π
π
-≤≤-
或
}122
x ππ
≤≤. 【点睛】
关键点睛：本题考查三角函数的性质，解题的关键是根据图象变换得出
2()2sin 2+
13g x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝⎭
，将不等式化为21sin(2)32x π+≤，即可根据正弦函数的性质求解. 26．（1）T π=，最大值1，最小值-1；（2）在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
上单调递增；()7,12
12k k k Z π
πππ⎡
⎤
++
∈⎢⎥⎣
⎦
上单调递减； 【分析】
（1）利用两角差余弦公式、两角和正弦公式化简函数式，进而求()f x 的最小正周期、最大值、最小值；
（2）利用()sin()f x A x ωϕ=+的性质求函数的单调区间即可. 【详解】
（1）())2sin cos sin(2)33
f x x x x x π
π
=--=+， ∴2||
T π
πω=
=，且最大值、最小值分别为1，-1； （2）由题意，当22223
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
时，()f x 单调递增，
∴51212
k x k ππ
ππ-
≤≤+，k Z ∈，()f x 单调递增；
当32222
3
2
k x k π
π
π
ππ+≤+
≤+
时，()f x 单调递减， ∴71212
k x k π
π
ππ+
≤≤+
，k Z ∈，()f x 单调递减； 综上，当()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
，()f x 单调递增； ()7,1212k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦，()f x 单调递减； 【点睛】
关键点点睛：应用两角和差公式化简三角函数式并求最小正周期、最值；根据
()sin()f x A x ωϕ=+性质确定三角函数的单调区间.。