2014高考数学(文)二轮专题复习与测试练习题：专题2 第2课时 三角变换与解三角形含解析

第一部分专题二第2课时
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
1．(2013·新课标卷Ⅱ)已知sin 2α＝2
3
,则cos2错误!＝( )
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
解析：∵sin 2α＝错误!，∴cos2错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

答案：A
2．(2013·合肥质量检测)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c，若C＝错误!，3a＝2c＝6，则b的值为( ）
A． 3 B．错误!
C．错误!－1 D．1＋错误!
解析: 因为3a＝2c＝6，所以a＝2，c＝3，由余弦定理知cos C ＝错误!,即cos 错误!＝错误!＝错误!＝错误!，得b＝1＋错误!.
答案：D
3．在△ABC中,若0＜tan A·tan B＜1，那么△ABC一定是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．形状不确定
解析：由0＜tan A·tan B＜1，可知tan A＞0,tan B＞0，即A，B为锐角，tan(A＋B）＝错误!＞0，即tan（π－C)＝－tan C＞0,所以tan C＜0，所以C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．故选B。

答案: B
4．在△ABC中，∠ABC＝错误!，AB＝错误!，BC＝3,则sin∠BAC ＝（）
A．错误!B．错误!
C．错误!D．错误!
解析: 由余弦定理可得AC＝错误!
＝错误!＝错误!，于是由正弦定理可得错误!＝错误!，于是sin∠BAC ＝错误!＝错误!。

答案：C
5．(2013·贵州六盘水二模)已知cos α＝错误!,cos（α＋β）＝－错误!，且α，β∈错误!，则cos（α－β）的值等于( ）
A．－错误!B．错误!
C．－错误!D．错误!
解析：∵α∈错误!，∴2α∈（0，π)．
∵cos α＝错误!，∴cos 2α＝2cos2α－1＝－错误!，
∴sin 2α＝错误!＝错误!,
而α，β∈错误!,∴α＋β∈(0，π)，
∴sin（α＋β）＝错误!＝错误!,
∴cos(α－β）＝cos［2α－(α＋β）］
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin（α＋β）
＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!。

答案: D
6．(2013·山西晋中名校高三联合测试)对于集合{a1，a2，…，a n｝和常数a0,定义：ω＝错误!为集合｛a1，a2,…，a n}相对a0的“正弦方差”，则集合错误!相对a0的“正弦方差”为（）
A．错误!B．错误!
C．错误!D．与a0有关的一个值
解析：集合错误!相对a0的“正弦方差”
ω＝错误!
＝错误!
＝错误!
＝错误!
＝错误!
＝错误!。

答案：A
7．已知直线l:x tan a－y－3tan β＝0的斜率为2,在y轴上的截距为1，则tan（α＋β)＝________。

解析：依题意得tan α＝2，－3tan β＝1,即tan β＝－错误!，
tan(α＋β）＝错误!＝错误!＝1.
答案: 1
8．(2013·福建卷）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝错误!，AB＝3错误!,AD＝3,则BD的长为________．
解析：∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD）＝cos∠BAD＝错误!，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos∠BAD，
∴BD2＝18＋9－2×3错误!×3×错误!＝3
∴BD＝错误!.
答案: 3
9．已知△ABC中，BC＝1，AB＝错误!，AC＝错误!，点P是△ABC 的外接圆上的一个动点，则错误!·错误!的最大值是________．解析：由余弦定理得cos A＝错误!＝错误!，则sin A＝错误!,结合正弦定理可得△ABC的外接圆直径2r＝错误!＝3.如图，建立平面直角坐标系,设B错误!,C错误!，
P错误!，则错误!＝错误!,错误!＝(1，0），
所以错误!·错误!＝错误!cos θ＋错误!，易知错误!·错误!的最大值是2.
答案：2
10．在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos2错误!＋c cos2错误!＝错误!b。

（1)求证：a，b，c成等差数列；
(2）若∠B＝60°，b＝4，求△ABC的面积．
解析：（1)a cos2错误!＋c cos2错误!＝a·错误!＋c·错误!＝错误!b，
即a(1＋cos C）＋c(1＋cos A)＝3b.
由正弦定理得：
sin A＋sin A cos C＋sin C＋cos A sin C＝3sin B，
即sin A＋sin C＋sin（A＋C)＝3sin B，
∴sin A＋sin C＝2sin B。

由正弦定理得，a＋c＝2b,
故a，b，c成等差数列．
（2)由∠B＝60°，b＝4及余弦定理得：
42＝a2＋c2－2ac cos 60°，
∴(a＋c）2－3ac＝16，
又由（1）知a＋c＝2b,代入上式得4b2－3ac＝16，解得ac＝16，∴△ABC的面积S＝错误!ac sin B＝错误!ac sin 60°＝4错误!。

11．已知函数f（x)＝2cos2错误!－错误!sin x。

（1)求函数f（x)的最小正周期和值域;
(2）若α为第二象限角，且f错误!＝错误!，求错误!的值．
解析: （1)因为f（x）＝1＋cos x－3sin x＝1＋2cos错误!，
所以函数f（x）的最小正周期为2π，值域为[－1,3］．
(2)因为f错误!＝错误!，
所以1＋2cos α＝错误!，即cos α＝－错误!。

又因为α为第二象限角，所以sin α＝错误!。

因为错误!＝错误!
＝错误!＝错误!，
所以原式＝错误!＝错误!＝错误!。

12．（2013·辽宁五校联合体考试)设函数f(x)＝错误!＋2cos2x.
（1）求f(x)的最大值，并写出使f(x)取最大值时x的集合；
(2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f （B＋C）＝错误!,b＋c＝2，求a的最小值．
解析：(1）∵f(x）＝cos错误!＋2cos2x＝cos错误!＋1，
∴f(x)的最大值为2。

f(x)取最大值时，cos错误!＝1,2x＋错误!＝2kπ（k∈Z)，
故x的集合为{x|x＝kπ－错误!,k∈Z｝．
（2）由f(B＋C）＝cos错误!＋1＝错误!，
可得cos错误!＝错误!,
由A∈（0,π)，可得A＝错误!。

在△ABC中,由余弦定理，
得a2＝b2＋c2－2bc cos错误!＝(b＋c）2－3bc,
由b＋c＝2知bc≤错误!2＝1，当b＝c＝1时bc取最大值,此时a 取最小值1。