金融数学课件--(11)随机利率

随机利率 Stochastic interest rates
孟生旺
中国人民大学统计学院
随机利率

随机利率：利率是随机波动的， 即未来的利率是一组随机 变量。 如果能够对未来利率的概率分布作出一定假设，那么就可 以得到未来的利率水平和与之相关的现金流的一些结论。


把利率视为随机变量，并定义随机变量 it 为适用于时刻 t-1 至时刻 t 的利率。

在上例中，我们已经计算得到的期望累积值为1.1069，故
E P V n E A V n 0 .9 0 4 1 1 .1 0 6 9 1 .0 0 0 7 1
可见在本例中，期望现值乘以期望累积值并不等于1。
独立同分布假设下的累积值和现值

如果利率 i1 , i 2 , i n 是独立同分布的随机变量，它们具有

2 设诸 it 的方差为 s2，即 var( it ) s 表示累积值 AVn的方差。
，则可以用 i 和 s2来

累积值AVn的二阶原点矩为
E A Vn
2

1 i 2 1 i 2 1 i 2 E 1 2 n


t 1 n
n
2 E 1 it
n n

其中
1 v E 1 it
，t =1，2，…，n。

在通常情况下
1 1 E 1 it 1 E it
，即 v
1 1 i
。

注意，期望现值并不等于为了在时刻 n 获得单位1的期望 累积值而在0时刻必须进行的投资。下面的例子可以说明 这一点。
2
2

将后式代入前式中，可以得到累积值 AVn 的二阶原点矩为：
E A Vn
2


t 1
n
1 2 i s i
2
2

2 i s i
2
2

1 i

2
s
2
n

因此，如果利率 it 是独立同分布的，则累积值 AVn 的方差 可以表示为：

（1）试计算现在投资单位1在两年末的期望累积值。
（2）试计算现在投资单位1在两年末的累积值的方差。
解： AV2的完整分布如下：
(i1 ，i2) (0.03，0.03) (0.05，0.05) (0.07，0.07) 概率 (0.2)(0.2)=0.04 (0.5)(0.5)=0.25 (0.3)(0.3)=0.09 AV2 (AV2)2
相同的期望值 i E it
期望累积值可以表示为：
，t = 1，2，…，n，则 n 年末的
E A V n 1 E ( i1 ) 1 E ( i 2 ) 1 E ( i n )
1 E ( i1 )
n
(1 i )
n
例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，相应的 概率分别为0.2、0.5和0.3。试计算现在投资的单位1在时 刻2的期望累积值。 解：未来的利率是独立同分布的，故期望值为：
var A V n E A V n
2
E AV
n
2
1 i

2
s 1 i
2
n

2n

如果诸利率 it 是独立同分布的，则现值 PVn 的期望值可以 表示为：
E P Vn E 1 v 1 it
1 1 1 0 .2 0 .5 0 .3 1 .0 3 1 .0 5 1 .0 7
0.950739

接下来再计算期望现值 E P V 2 就十分方便了：
E P V2 v
2
0 .9 0 3 9 0 5
var ln (1 it ) var t

2

则 (1 it ) 的期望和方差分别为：
E 1 it e

可见，在第2年末支付1元，它的期望现值是0.903905元。 显然，在第2年末1元期望累积值的现值，不等于第2年末 支付1元的期望现值。
对数正态模型

在对数正态模型中，我们通常假设 ln (1 it ) 服从正态分布， 这相当于假设连续利率 服从正态分布，这是因为 t
t ln(1 it )
例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，而相应 的概率分别为0.2、0.5和0.3。利率一旦被确定，将在今后 两年保持不变。 （1）试计算现在投资单位1在两年末的期望累积值。 （2）试计算现在投资单位1在两年末的累积值的方差。
解： 两年末的累积值 AV2具有下述分布：
i1 ，i2 0.03 概率 0.2 AV2 (AV2)2
(1.03)(1.03)=1.0609 1.06092=1.125509 (1.05)(1.05)=1.1025 1.10252=1.215506 (1.07)(1.07)=1.1449 1.14492=1.310796
(0.03，0.05)或(0.05，0.03) 2(0.2)(0.5)=0.20 (1.03)(1.05)=1.0815 1.08152=1.169642 (0.03，0.07)或(0.07，0.03) 2(0.2)(0.3)=0.12 (1.03)(1.07)=1.1021 1.10212=1.214624 (0.05，0.07)或(0.07，0.05) 2(0.5)(0.3)=0.30 (1.05)(1.07)=1.1235 1.12352=1.262252

(2) 两年末累积值的二阶矩为：
2 E A V2 E

(1 i1 )(1 i 2 )
2


(1 .1 2 5 5 0 9 )(0 .2 ) (1 .2 1 5 5 0 6 )(0 .5) (1 .3 1 0 7 9 6 )(0 .3)
例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，相应的 概率分别为0.2、0.5和0.3。 (1) 为了使得第2年末的期望累积值为1元，现在必须投 资多少? (2) 在第2年末支付1元，它的期望现值是多少?
解：(1) 假设现在投资X，则第2年末的期望累积值为：
X E A V 2 X 1 i

现值

如果假设利率为一个随机变量 it，那么在时刻 n 到期的单 位1，在时刻 0 的现值 PVn 为：
1 1 P Vn 1 i1 1 i 2 1 1 in
可见，现值 PVn 本身也是一个随机变量。

如果已知所有时刻的利率的概率分布，就可以计算在时刻 0 的期望现值。 注意，虽然现值和累积值的乘积等于1，即

( A V2 ) 2 概 率
1.22523

因此累积值的方差为：
var A V 2 E A V 2
2
E AV
2 2
2
1 .2 2 5 2 3 1 .1 0 6 7 0 .0 0 0 4 3

从上述两例可以看出，固定利率模型中的期望累积值 (1.1069)要大于变动利率模型中的期望累积值 (1.1067)。 在固定利率模型中，当第一年的利率水平为最高的7%时， 第二年的利率水平也固定在最高的7%。这可认为是对利 率水平的有效分配，因为第一年末的累积值越高，第二年 所应获得的利息收入就应越高，也就是说，当第一年末的 累积值达到最高时，第二年的利率也应达到最高。

t 1
n
E 1 2 it it
2



t 1
1 2 i E i t 2

随机利率 it 的方差 s2 为
s E it
2 2
E i
t
2
E it
2
i
2

故 it 的二阶原点矩为
E it
2

s i
累积值

如果假设利率为一个随机变量 it ，那么现在投资单位1， 经过 n 年后，其累积值 AVn为：
A V n (1 i1 )(1 i 2 ) (1 i n )
可见 AVn也是一随机变量。

当随机变量的概率分布 it 已知时，便可以计算累积值AVn 的期望和方差。

固定利率模型(fixed interest rate model)：初始利率将在第 一年被确定，而随后的利率将被固定在这个利率水平之 上。
E P V2 1 E (1 i1 )(1 i 2 ) 1 1 1 (0 .2 ) (0 .5) (0 .3) 2 2 2 1 .0 3 1 .0 5 1 .0 7 0 .9 0 4 0 7

2
X 1 .0 5 2
2
令第2年末的期望累积值为1元，则有：
X 1 .0 5 2 1
2
解得 X 0.903584
即：如果现在投资0.903584元，则第2年末的期望累积值为 1元。
(2) 为了计算第2年末支付的1元的期望现值，首先计算 v ：
1 v E 1 it
(1.03)(1.03) =1.0609 1.06092 = 1.125509
0.05
0.07
0.5
0.3
(1.05)(1.05)=1.1025 1.10252 = 1.215506
(1.07)(1.07)=1.1449 1.14492 = 1.310796

(1) 两年末累积值的期望为：
E A V 2 E (1 i1 )(1 i 2 ) (1 .0 6 0 9 )(0 .2 ) (1 .1 0 2 5)(0 .5) (1 .1 4 4 9 )(0 .3) 1 .1 0 6 9
E it 0.2 0.03 0.5 0.05 0.3 0.07 0.052

时刻2的期望累积值为：
E A V 2 (1 i ) 1 .0 5 2 1 .1 0 6 7
2 2

结果与上例相同。显然，通过期望利率i 来解 E A V n 要 方便得多。
1 .2 2 6 0 9

因此累积值的方差为：
var A V 2） E A V 2 ） E A V 2） （ （ （
2 2
1 .2 2 6 0 9 1 .1 0 6 9 0 .0 0 0 8 7
2

变动利率模型(varying interest rate model)：各年的利率水 平是相互独立的。 例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，相应 的概率分别为0.2、0.5和0.3。

这里的随机变量是时刻 t-1 至时刻 t 的利息力。

注意：
t
t
时刻 t 附近无限短的时间内的利息力。 随机变量（应用于一个时间区间）

假设 (1 it ) 服从对数正态分布，且 ln (1 it ) 具有如下的均 值和方差： E ln (1 it ) E t
(1) 两年末累积值的期望为：
E A V 2 E (1 i1 )(1 i 2 )
AV
2
概率

1 .1 0 6பைடு நூலகம்7
(2) 两年末累积值的二阶矩为：
A V 2 E E 2
(1 i )(1 i )
2 1 2
P Vn A Vn 1


但这并不意味着期望累积值 E A V n 和 会具有同样的代数关系。在一般情况下
E P Vn E A Vn 1
E P Vn
期望现值
例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，相应的 概率分别为0.2、0.5和0.3。利率一旦被确定，将在今后两 年保持不变。请计算时刻2的单位1在时刻0的期望现值。 解：