(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.1 直线的方程课件 理

∵kAP＝12－ －01＝1，kBP＝
3－0 0－1 ＝－
3，
∴k∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞).
解析答案
引申探究
1.若将题(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.
解 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0， 3)，
∴kAP＝2－1－－01＝13，
3－0 kBP＝0－－1＝ 3.
解析答案
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6.若直线 l 范围是 [－
的斜率为
3，0)∪
k，倾斜角为 33，1 .
α，而
α∈6π，π4∪23π，π，则
k
的取值
解析 当π6≤α<π4时， 33≤tan α<1， ∴ 33≤k<1.
当23π≤α<π 时，－ 3≤tan α<0.
直线的倾斜角和斜率的关系： (1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率. (2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应法则：
Α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k0
k>0
不存在
k<0
失误与防范
与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1)明确直线方程各种形式的适用条件 点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂 直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线. (2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距 有关的问题中，要注意讨论截距是否为零. (3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论， 即应对斜率是否存在加以讨论.
若l的倾斜角为α，则tan α≤1.
又∵α∈[0，π)，∴α∈0，4π∪2π，π.
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解析答案
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题型分类 深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 是
(1) 直 线 2xcos α － y － 3 ＝ 0 α∈π6，π3 的 倾 斜 角 的 取 值 范 围 .
解析答案
(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)
解析答案
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解析 设 f′(x)＝a(x－1)2＋ 3 (a>0)， ∴k≥ 3. 切线的倾斜角的取值范围是3π，π2.
3π，π2
解析答案
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3.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关 系为 k1＜k3＜k2 . 解析 直线l1的倾斜角α1是钝角， 故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3， 所以0＜k3＜k2， 因此k1＜k3＜k2.
∴k∈[－
3，0)∪
33，1.
解析答案
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7.一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，
则此直线的方程为
.
解析答案
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8. 若 ab>0 ， 且 A(a,0) 、 B(0 ， b) 、 C( － 2 ， － 2) 三 点 共 线 ， 则 ab 的 最 小 值 为.
解 由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式. 设倾斜角为 α，则 sin α＝ 1100(0<α<π)，
从而 cos α＝±31010，则 k＝tan α＝±13. 故所求直线方程为 y＝±13(x＋4). 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
解析答案
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
0，6π∪56π，π
解析
由 xcos α＋
3y＋2＝0
得直线斜率
k＝－
3 3 cos
α.
∵－1≤cos α≤1，
∴－
33≤k≤
3 3.
设直线的倾斜角为
θ，则－
33≤tan
θ≤
3 3.
结合正切函数在0，2π∪2π，π上的图象可知，0≤θ≤π6或56π≤θ<π.
解析答案
解析答案
题型二 求直线的方程
例2 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 1100；
解 由题设知截距不为 0，设直线方程为ax＋12－y a＝1，
又直线过点(－3,4)， 从而－a3＋124－a＝1，解得 a＝－4 或 a＝9. 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
解析答案
(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.
解 当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；
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解析答案
2.如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过第 三 象限. 解析 由已知得直线 Ax＋By＋C＝0 在 x 轴上的截距－CA>0， 在 y 轴上的截距－CB>0， 故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限.
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解析答案
3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0. 解析 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0； 当截距不为 0 时，设直线方程为ax＋ay＝1， 则2a＋3a＝1，解得 a＝5， 所以直线方程为x＋y－5＝0. 综上，直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
第九章 平面解析几何
§9.1 直线的方程
内容 索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 易错警示系列 思想方法 感悟提高 练出高分
基础知识 自主学习
1
知识梳理
1.直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的 直线绕着交点按 逆时针 方向旋转到和直线重合时所转过的 最小正角 称为 这条直线的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l倾斜角的范围是 [0°，180°) .
答案
2.斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝ tan α.
y2－y1
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝ x2－x1 .
答案
3.直线方程的五种形式
名称 点斜 式 斜截 式
方程
y－y1＝k(x－x1)
____y_＝_k_x_＋_b____
解析答案
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9.设直线l：(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y－2m＋6＝0 (m≠－1)，根据下 列条件分别确定m的值： (1)直线l在x轴上的截距为－3；
解析答案
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解析答案
4.(教材改编)若过点A(m,4)与点B(1，m)的直线与直线x－2y＋4＝0平行， 则m的值为 3 . 解析 ∵4m－－m1＝21， ∴m＝3.
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解析答案
5.直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围 为 0，4π∪2π，π . 解析 直线 l 的斜率 k＝m12－－21＝1－m2≤1.
易错分析
解析答案
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围. 解 将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2， ∴－a－a2＋≤10>0， 或－ a－a2＋≤10，＝0， ∴a≤－1. 综上可知a的取值范围是a≤－1.
[11 分]
[13分] [14分]
解析答案
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思想方法 感悟提高
方法与技巧
yy2－－yy11＝xx2－－xx11
___ax＋__by＝__1__
适用范围 不含直线x＝x1 不含垂直于x轴的直线
两点 Ax＋By＋C＝0(A，B不面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( × ) (4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( × ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × ) (6)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.( × )
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练出高分
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1.若A(m，－m－3)，B(2，m－1))，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC 的斜率的三倍，则实数m的值为1或2.
解析
4－－m－3 4－m－1 由 kAC＝3kBC，得 －1－m ＝3· －1－2 ，
解得m＝1或m＝2，经验证均符合题意.
思维升华
解析答案
跟踪训练3
(1) (2014·四川)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线 mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则PA·PB的最大值是 .
解析答案
解析答案
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易错警示系列
易错警示系列 11.求直线方程忽视零截距致误
典例 (14分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0 (a∈R). (1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程； 易错分析 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况.
解析答案
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4.斜率为2的直线经过(3,5)，(a,7)，(－1，b)三点，则a＋b＝ 1 .
解析
7a－－53＝2， 根据题意，得－b－ 1－53＝2，
解得ab＝ ＝4－，3，
故a＋b＝1.
解析答案
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跟踪训练2
解析答案
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线 y＝3x的倾斜角的2倍. 解 由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α， 则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3， ∴tan 2α＝1－2tatannα2 α＝－43. 又直线经过点A(－1，－3)， 因此所求直线方程为 y＋3＝－43(x＋1)， 即3x＋4y＋15＝0.
解析答案
题型三 直线方程的综合应用 命题点1 与基本不等式相结合求最值问题
例3 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别 交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及 此时直线l的方程.
解析答案
命题点2 由直线方程解决参数问题
例4 已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时， 直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值. 解 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2 的横截距为a2＋2， 所以四边形的面积 S＝12×2×(2－a)＋21×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122 ＋145， 当 a＝12时，面积最小.
如图可知，直线 l 斜率的取值范围为13，
3.
解析答案
2.将题(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的 范围. 解 如图： 直线PA的倾斜角为45°， 直线PB的倾斜角为135°， 由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).
思维升华
解析答案
跟踪训练1
答案
(7)不经过原点的直线都可以用 ax＋by＝1表示.( × )
(8)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程
(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( √ )
答案
2
考点自测
1.直线 3 x－y＋a＝0的倾斜角为 60°. 解析 化直线方程为 y＝ 3x＋a， ∴k＝tan α＝ 3. ∵0°≤α<180°， ∴α＝60°.
当斜率存在时，设其为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋(10－5k)＝0.
|10－5k| 由点线距离公式，得 k2＋1 ＝5，解得
k＝34.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
思维升华
解析答案
求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)直线l的斜率为1. 解 由题意知2m2＋m－1≠0，
m2－2m－3 且－2m2＋m－1＝1，解得
m＝34.
解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
10.已知点P(2，－1). (1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程；
解析答案
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