华科数理方程ppt完整版每章都有

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上午12时3分
流入的热量导致V 内的温度发生变化 u ( x , y , z , t 1 )u ( x , y , z , t 2 ) ,温度发生变化需要的热量为：
Q2


V
c u ( x , y , z , t 2 ) u ( x , y , z , t1 ) d V
t2
对第一方程两边取旋度， 得：
H ( E ) t
H t
根据矢量运算：
H
2 H ( H ) H
H
2
) 由此得： H ( t t
2
H
2
即：
H
2
t
J D x
式中J称为扩散通量.常用单位是g/(cm2.s)或mol/(cm2.s)； C x 是同一时刻沿轴的浓度梯度；D是比例系数，称为扩散系数。
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质量守恒与扩散方程
扩散过程
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扩散通量J的方向与 浓度降低的方向一致
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质量守恒与扩散方程 如图所示，在扩散方向上取体积元 A x , J x 和 J x x 分 别表示流入和流出体积元的扩散通量，则在Δt 时间内， 体积元中扩散物质的积累量为
ds dx
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u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gds m a x x
u ( x, t) u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gdx dx 2 x x t
2
u ( x dx, t )
u ( x, t )
a
2
T
u
2

t
2
a
2
u
2
x
2
g
………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
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例1 时变电磁场与三维波动方程
从麦克斯韦方程出发：
D H Jc t B E t D v B 0
1.1.4 质量守恒与连续性方程
所要研究的物理量：时刻t流体在位臵M(x,y,z)处的密度 假设流体在无源的区域内流动，流速为 v {u , v , w } n
( x, y, z, t)
在dt 时间内从dS 流入V 的质量为： dM v n dSdt 从时刻t1到t2通过S 流入V 的质量为 t2 M dt v n dS
2
u ( x, t ) u ( x, t) 其中： dx dx 2 x x x x x 2 2 u ( x, t) u ( x, t) [T g ] dx dx 忽略重力作用： 2 2 x t 2 2 2 2 u u 2 u ( x, t) u ( x, t) a 2 2 T g 2 2 t x t 令： x --齐次方程
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弦振动的相关模拟
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简化假设： (1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 (2)横向振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。 牛顿运动定律： y 横向： T co s T ' co s ' 纵向： T sin T ' sin ' g d s m a 其中：co s 1 co s ' 1
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1.1.1 牛顿运动定律与弦振动方程
一、 基本物理定律与典型方程的建立
条件：均匀柔软的不可拉伸细弦，在平衡位置附近作微小 横振动。不受外力影响。
研究对象：u ( x , t ) 弦线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。
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弦振动的相关模拟
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波 的 传 播 的 相 关 模 拟
Q1
u dQ 1 k u ( n ) dSdt k u n dSdt k dSdt n
[
t1
t2
k u n dS ] dt
S

t1 V
t2
(k u )dV dt
高斯公式(矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分)
S
V
n
M
c t d t d V 由热量守恒定律得：
t1 t1 V V
u
t2
c
u t
dVdt
S
热场
t2
( k u ) d V d t 由 V 及 t1 , t 2 的任意性知
Q1 Q 2
t1 t1 V V
t2
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1.1.2 能量守恒与热传导方程
傅立叶试验定律：在任意时刻，各向同性的连续
S
V
n
介质内任意位臵处的热流密度在数值上与该点的
温度梯度成正比，而方向相反，即 q ku
S
M
其中k为导热系数，公式中的负号表示热量的传递 方向与温度梯度方向相反。
热场
根据傅立叶试验定律， t 时间内从dS 流入V 的热量为： 在d 从时刻t1到t2通过S 流入V 的热量为
二、 各种定解条件的数学描述
1、初始条件——描述系统的初始状态
A、 波动方程的初始条件
u |t 0 ( x ) (x)
t0
系统各点的初位移
系统各点的初速度
B、热传导方程的初始条件 初始时刻的温度分布： u ( M , t ) | ( M ) C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 不含初始条件，只含边界条件条件

t2 t1
(
V
t t2

t t1
) dV
2
即
t1

V
( v )dV dt

V
[ t ( v )] d V d t 0
由区域和时间段的任意性以及被积函数的连续性， 得到连续性方程 t ( v ) 0 如果流速为常向量，则得到传输方程 t v 0 如果流体不可压缩，即流体密度为常数，则有
对应地，称(1)为齐次热传导方程。 称f为非齐次项(自由项)。
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质量守恒与扩散方程
1858年,菲克(Fick)参照了傅里叶于1822年建立的导热方程,
获得了描述物质从高浓度区向低浓度区迁移的定量公式:菲克 第一定律。假设有一单相固溶体,横截面积为A,浓度C不均匀, 在dt时间内,沿法向通过点x处截面A所迁移的物质的量与该处 的浓度梯度成正比： C dm C D( ) m At Adt x x 由扩散通量的定义:单位时间内通过单位横截面的粒子数，有 C 菲克第一定律 （1）
而
C ( x, t t) C ( x, t) t
m C ( x, t t ) Ax C ( x, t ) Ax 于是
J x J x x x
m ( J x A J x x A ) t
C t

x
J x
即扩散物质的浓度满足扩散方程：
C t
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(D
C x
)
扩散流通过微小体积的情况
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2 质量守恒与扩散方程 C C D 如果扩散系数为常数，则上式可写成 2 t x 一般称以下两式为菲克第二定律： 2 C C C C (D ) D 2 t x x t x 1.1.3 静电位势与拉普拉斯方程
)]
Hale Waihona Puke 上午12时3分对均匀且各向同性物体，即物体的热物性参数 c , , k 均为常数，则有
u t k c 2 u a u (1)
k c
S
V
n
M
a
2

为热扩散系数。
u t
S
热场
(2)
如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程
2 a u f ( x, y, z )
sin tan u ( x, t ) x u ( x dx, t ) x
M '
T '
ds
M
'

T
gds
x x dx
x
sin ' tan '
T T '
m ds
2
u ( x, t) u ( x dx, t ) u ( x, t ) T g d s m a 其中： a 2 x x t
t1 S
dS V
高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分） t2 M ( v ) d V d t
t1 V
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流入的质量导致V 内的浓度发生变化 ( x , y , z , t1 ) ( x , y , z , t 2 ) 从而，V 内的质量增量满足 t
2
t
2

1

(
H
2
x
2

H
2
y

2

H
2
z
2
2
)
——磁场的三维波动方程
同理可得：
E
2
1
t
2

E
——电场的三维波动方程
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1.1.2 能量守恒与热传导方程
热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不 n S 均匀时，有热量从高温处流向低温处。 M V 热传导现象中所要研究的物理量是温度。 S 温度与那些量有关呢？例如，手握铁棒放在炉火 烧，火中的一端温度高，手握的一端温度低，这 热场 说明温度分布与位臵有关；同时，手握的一端也 会慢慢变烫，即温度分布与时间有关。 给定一空间内物体 G，设其上的点 ( x, y, z ) 在时刻t 的温 度为 u( x, y, z , t ) ,研究温度 u( x, y, z , t ) 的运动规律。
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1.1.2 能量守恒与热传导方程
两个物理定律 1、热量守恒定律:
S
V
n
温度变化吸 通过边界流 热源放出 收的热量 入的热量 的热量
2、傅里叶(Fourier)热传导定律(试验定律):
M
S
热场
傅立叶试验定律是傅立叶在1822年出版的著作《热 的解析理论》中提出的。傅立叶是导热理论的奠基人，他 通过实验，分析和总结了物体内的导热规律，建立了傅立 叶试验定律，从而揭示了导热热流与局部温度梯度间的内 在联系。
div v v 0
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同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条
件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。 初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。 边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况 的条件。 其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。
在没有场源的自由空间： c 0, v 0 J
H
E t H t
D E B H
E E 0 H 0
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E H t E E 0 H 0
确定所要研究的物理量：电势u 根据物理规律建立微分方程： u E 对方程进行化简：
u / 泊松方程
2
E /
2 E ( u ) u u /
u 0 拉普拉斯方程
2
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c
u t
dVdt
u t

1 c
(k u )
1
由此得到热传导方程：
u t c x x y y z 它反映了导热物体内的能量守恒关系。
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c x
[

(k
u x
)

y
(k
u y
)
z
(k
u z
)]

1
[

(k
u
)

(k
u
)

(k
u z
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
一、 二、 三、 四、 基本物理定律与典型方程的建立 各种定解条件的数学描述 偏微分方程定解问题的基本概念 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 数学物理方程定解问题的提法
数学物理方程与特殊函数
泛定方程（传输方程、波动方程、热传导方程、 定解问题：拉普拉斯方程等） 定解条件（初始条件，边界条件）