江苏高考数学一轮复习《简单图形的极坐标方程》 教程学案

第14课__简单图形的极坐标方程____
1. 了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；了解简单曲线的极坐标方程的求法．
2. 理解简单图形(过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆)的极坐标方程.
1. 阅读：选修44第6～10页．
2. 解悟：①理解极径、极角的意义及范围；②在极坐标系中，推导简单图形；③重解第9页例2、3，体会解题方法并注意解题规范．
3. 践习：在教材空白处，完成第17页习题第6、7、10、11题.
基础诊断
1. 在极坐标系中，已知两点A ⎝⎛⎭⎫6，π6，B ⎝⎛⎭⎫6，2π
3，则AB 中点的极坐标为________. 2. 在极坐标系中，已知两点P ⎝⎛⎭⎫5，5π4，Q ⎝⎛⎭⎫1，π
4，则线段PQ 的长度为________． 3. 已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π
4，则该圆的半径r ＝________ ，圆心的极坐标为__________．
4. 点A ⎝⎛⎭⎫5，2π
3关于极点的对称点的极坐标是________，关于极轴的对称点极坐标是________，关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________. (其中ρ>0，0<θ<2π)
范例导航
考向
求直线的极坐标方程
例1 (1) 在极坐标系中，求过点P(4，－2π
3)且与极轴垂直的直线的极坐标方程；
(2) 在极坐标系中，求过点P ⎝⎛⎭⎫2，π
2且与极轴平行的直线的极坐标方程．
在极坐标系中，已知点P 到极点O 的距离等于它到点Q(2，0)的距离，求动点P 的轨迹的极坐标方程．
考向
求曲线的极坐标方程
例2 在极坐标系中，已知圆C 的圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π
6，半径r ＝3，求圆C 的极坐标方程．
已知点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π
2，求以点P 为圆心且过极点的圆的极坐标方程．
考向
极坐标方程的应用
例3 已知两个圆的极坐标方程分别是ρ＝6cos θ和ρ＝8sin θ，求这两个圆的圆心距．
自测反馈
1. 设曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ⎝⎛⎭⎫ρ≥0，0≤θ<π
2，则C 1，C 2的交点的极坐标为________.
2. 极坐标方程ρ2cos 2θ＝16表示的曲线是______________．
3. 已知抛物线的极坐标方程为ρ＝4
1－cos θ
，则此抛物线的准线的极坐标方程为
________．
4. 点M ⎝⎛⎭⎫4，π3到直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π
3＝2上的点的距离的最小值为________．
1. 要正确理解点的极坐标的概念，曲线的极坐标方程的概念，注意与直角坐标系的区别和联系．
2. 在处理问题的过程中，要选择恰当的坐标系，也可以将题目所给的坐标系进行转化，以便于问题的处理．
3. 你还有哪些体悟，写下来：
第14课 简单图形的极坐标方程
基础诊断
1. ⎝⎛⎭⎫32，5π12 解析：设AB 中点的极坐标为(ρ，θ)，则θ＝ π6＋2π32＝5π12
，ρ＝6×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2π3－π62＝32，故AB 中点的极坐标为⎝
⎛⎭⎫32，5π12. 2. 6 解析：点P ⎝⎛⎭⎫5，5π4化为直角坐标为点P(5cos 5π4，5sin 5π4)即点P ⎝⎛⎭⎫
－522，－522.同理点Q 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫22
，2
2，所以PQ ＝
⎝⎛⎭⎫－522
－222＋⎝⎛⎭⎫－522－222
＝6.
3. 2 ⎝⎛⎭⎫2，π4 解析：圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，即ρ2＝4×22ρ(cos θ＋sin θ)，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝22x ＋22y ，化为圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，所以半径r ＝2，圆心为(2，2)，化为极坐标为⎝⎛⎭
⎫2，π
4. 4. ⎝⎛⎭⎫5，5π3 ⎝⎛⎭⎫5，4π3 ⎝⎛⎭⎫5，π
3 解析：因为ρ>0，0<θ<2π，所以点A 关于极点对称的点的θ＝2π3＋π＝5π3，极坐标为⎝⎛⎭⎫5，5π3；点A 关于极轴对称的点的θ＝2π－2π3＝4π
3
，极坐标为⎝⎛⎭⎫5，4π3；点A 关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的θ＝π－2π3＝π3
，极坐标为⎝⎛⎭⎫5，π3.
范例导航
例1 解析：(1) 点P ⎝⎛⎭⎫4，－2π
3在直角坐标系下的坐标为(－2，－23)，则过点P(－2，－23)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝－2，即为ρcos θ＝－2.
(2) 点P ⎝⎛⎭⎫2，π
2在直角坐标系下的坐标为(0，2)，则过点P(0，2)且与x 轴平行的直线方程为y ＝2，即为ρsin θ＝2.
解析：点P 的轨迹是过点(1，0)且垂直于极轴的直线，其方程为ρcos θ＝1.
【注】 在极坐标系下，曲线极坐标方程的求法与在直角坐标系下曲线方程求法类似地，也有定义法、直接法、相关点法等．
(1) 如何求曲线的极坐标方程？本题是利用定义法．
(2) 本题也可先化为直角坐标求出直线方程再还原为直线的极坐标方程．
例2 解析：圆心C ⎝⎛⎭⎫3，π6在直角坐标系的坐标为⎝⎛⎭⎫332，32，所以圆C 的方程为⎝
⎛⎭⎫x －3322
＋⎝⎛⎭⎫y －322
＝9，化为一般式为x 2－33x ＋274＋y 2－3y ＋9
4
＝9，即x 2＋y 2＝33x ＋3y ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝⎛⎭
⎫θ－π
6.
解析：点P ⎝⎛⎭⎫2，π
2在直角坐标系的坐标为(0，2)，由此可得圆P 的半径r ＝2，则圆P 的方程为x 2＋(y －2)2＝4，化为一般式为x 2＋y 2＝4y ，则圆P 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
例3 解析：ρ＝6cos θ表示以点(3，0)为圆心，3为半径的圆，ρ＝8sin θ表示以点(0，4)为圆心，4为半径的圆，所以这两个圆的圆心距为5.
【注】 本题在极坐标系下可直接利用两个圆的位置关系求解，也可以化为直角坐标方程．
自测反馈
1. ⎝⎛⎭⎫23，π
6 解析：曲线C 1：ρcos θ＝3化为直角坐标方程为x ＝3，曲线C 2：ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，又因为ρ≥0，0≤θ<π
2，所以C 1，C 2的交点为(3，3)，
所以交点化为极坐标⎝
⎛⎭⎫23，π6. 2. 双曲线x 2－y 2＝16 解析：方程ρ2cos 2θ＝16，ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝16可化为直角坐标方程x 2－y 2＝16.
3. ρcos θ＝－4 解析：由ρ＝4
1－cos θ得ρ－ρcos θ＝4，即x 2＋y 2－x ＝4，化简得y 2
＝8x ＋16，其准线方程为x ＝－4，所以准线的极坐标方程为ρcos θ＝－4.
4. 2 解析：点M ⎝⎛⎭⎫4，π3化为直角坐标为(2，23)，直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π
3＝2化为直角方程为x ＋3y －4＝0，所以点M 到直线的距离的最小值为2.。