圆锥曲线的综合问题

圆锥曲线的综合问题
题型一：曲线中的存在性问题
1、（2007宁夏理19题）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(02)，且斜率为k 的直线l 与
椭圆2
212
x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；
（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量
O P O Q +
与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
2、（08陕西卷20）已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两 点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ． （Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；
（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =
，若存在，求k 的值；若不存在，说明
理由．
3、直线1ax y -= 与曲线2221x y -=相交于P 、Q 两点。

（1）当 a 为何值时，2
21PQ a =+；
（2）是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点O ？若存在，求出的值，若不存在， 请说明理由。

4、已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为33，过右焦点F 的直线l 与C 相交于A 、 B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2
2
（I ）求a ，b 的值；
（II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+
成立？若存在，
求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由。

5、已知直线经过椭圆22
22:1(0)
x y C a b a b +=>>的左顶点A 和上D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点。

点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，
x A
y 1
1 2 M N B O
直线,AS BS 与直线
10
:3l x =
分别交于,M N 两点。

（I ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求线段MN 的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB ∆的面积为1
5？
若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由
专题二：圆锥曲线中的定点、定值问题
6、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，
最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为 直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
7、已知椭圆C 的离心率3
e 2
=，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线x my 1=+与椭圆C 交于P 、Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点S 。

试问：当m 变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结 论；若不是，请说明理由。

8、已知椭圆1
222
=+y x 的左焦点为F ，O 为坐标原点。

（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；
（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.
9、已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2
4x y =的焦点，离心率25
e =， 过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点。

（I ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥
，求m 的取值范围； （Ⅲ）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N
三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由。

10、已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为21-，
离心率为2
e 2
=﹒
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）过点()1,0作直线 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，MP MQ ⋅
为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒
11、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 和圆O ：222b y x =+，过椭圆上一点P 引圆O 的两
条切线，切点分别为A 和B 。

（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e
②若椭圆上存在点P ，使得∠APB=90º，求椭圆离心率e 的取值范围 （2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交与点M 、N ，求证：2
22
2OM
b ON
a +
为定值。

练习
1、已知平面上一定点C （4,0）和一条直线L:x=1，P 为该平面上一动点，做l PQ ⊥，垂足 为Q ，且（PC +2PQ )(PC -2PQ )=0
（1）问点P 在什么曲线上，并求出曲线的方程
（2）设直线L ：y=kx+1与（1）中的曲线交于不同的两点A,B ，是否存在实数k ，使得以线 段AB 为直径的圆经过点D （0，-2）?若存在，求出k 的值。

若不存在，说明理由。

2、在平面直角坐标系XOY 中，已知三角形ABC 的顶点A,B 的坐标A(-3,0),B(3,0)，△ABC 的周长为16
（1）求顶点C 的轨迹方程
（2）过点A 做直线，与（1）中的曲线交于M,N 两点，试判断|BM |·|BN |是否存在最小值？ 若存在，求出最小值。

若不存在，说明理由。