2020年高考一轮复习数学(文)教学课件第三章 导数及其应用第二节 导数与函数的单调性

三、基础小题强化——功底牢一点
一判一判对的打“√”，错的打“×”
(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)>0.( × )
(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间
内没有单调性．
(√ )
(3)在(a，b)内 f′(x)≤0 且 f′(x)＝0 的根有有限个，则 f(x)在
()
A．(0,1)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(－∞，0)，(1，＋∞)
解析：函数的定义域是(0，＋∞)，且 f′(x)＝1－1x＝x－x 1，
令 f′(x)<0，得 0<x<1，故 f(x)的单调递减区间为(0,1)． 答案：A
3．若函数 f(x)＝kx－ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则 k 的
(2)由(1)知 f(x)＝13x3－a2x2＋1， 则 g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在 x∈(－2，－1)， 使不等式 g′(x)＝x2－ax＋2<0 成立，
即 x∈(－2，－1)时，a<x＋2xmax＝－2 2， 当且仅当 x＝2x，即 x＝－ 2时等号成立． 所以满足要求的 a 的取值范围是(－∞，－2 2)．
讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等 式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)在某区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数 f(x)在此区间上 为增(减)函数的充分不必要条件．
(2)可导函数 f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对 ∀x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且 f′(x)在(a，b)上的 任何子区间内都不恒为零．
解：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． 因为 f(x)＝aln x＋x2，所以 f′(x)＝ax＋2x＝2x2x＋a. ①当 a>0 时，f′(x)>0， 所以函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当 a<0 时，令 f′(x)＝0，解得 x＝ －a2(负值舍去)，
当 0<x<
－2a时，f′(x)<0，所以函数
所以 k≥1. 答案：D
(三)填一填 4．函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间为________．
解析：f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex. 令 f′(x)>0，解得 x>2.故所求单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 5．已知函数 f(x)＝－x3＋ax2－x－1 在 R 上单调递减，则实数 a 的取值范围是________． 解析：由题意知 f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0 在 R 上恒成立， 所以 Δ＝4a2－12≤0，解得－ 3≤a≤ 3.
[解题技法] 利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 求出单调区间． (2)当方程 f′(x)＝0 可解时，解出方程的实根，依照实根 把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间 f′(x)的符号， 从而确定单调区间． (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据 f′(x)结构特 征，利用图象与性质确定 f′(x)的符号，从而确定单调区间． [提醒] 若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间 不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．
取值范围是
()
A．(－∞，－2]
B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：因为 f(x)＝kx－ln x，所以 f′(x)＝k－1x.因为 f(x)在区间
(1，＋∞)上单调递增，所以当 x>1 时，f′(x)＝k－1x≥0 恒成
立，即 k≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为 x>1，所以 0<1x<1，
又∵y＝x＋2x在(－2，－ 2)内单调递增，在(－ 2，－1)内 单调递减，
∴y＝x＋2x的值域为(－3，－2 2)， ∴实数 a 的取值范围是[－2 2，＋∞)， ∴函数 g(x)在(－2，－1)内单调时，a 的取值范围是(－∞， －3]∪[－2 2，＋∞)， 故 g(x)在(－2，－1)上不单调时，实数 a 的取值范围是(－3， －2 2)．
2020年高考一轮复习 数学（文）教学课件
第二 节 导数与函数的单调性
课前自修区
基础相对薄弱，一轮复习更需重视
基础知识的强化和落实
课堂讲练区
考点不宜整合太大，挖掘过深
否则会挫伤学习的积极性
课时跟踪检测
课 前自 修区
一、基础知识批注——理解深一点
函数的单调性与导数的关系 函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)若 f′(x)>0，则 f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数； (2)若 f′(x)<0，则 f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数； (3)若恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在区间(a，b)内是常数函数．
他条件不变，求实数 a 的值． 解：∵g(x)的单调递减区间为(－2，－1)，
∴x1＝－2，x2＝－1 是 g′(x)＝0 的两个根，
∴(－2)＋(－1)＝a，即 a＝－3.
3.[变条件]本例(2)变为：若 g(x)在(－2，－1)内不单调，其他条
件不变，求实数 a 的取值范围． 解：由 1 知 g(x)在(－2，－1)内为减函数时，实数 a 的取值 范围是(－∞，－3]． 若 g(x)在(－2，－1)内为增函数，则 a≥x＋2x在(－2，－1)内 恒成立，
[题组训练] 1．若幂函数 f(x)的图象过点 22，12，则函数 g(x)＝exf(x)的单调
递减区间为
()
A．(－∞，0)
B．(－∞，－2)
C．(－2，－1)
D．(－2,0)
解析：设幂函数 f(x)＝xα，因为图象过点 22，12，所以12＝ 22α， α＝2，所以 f(x)＝x2，故 g(x)＝exx2，令 g′(x)＝exx2＋2exx＝
[解题技法] 由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)由可导函数 f(x)在 D 上单调递增(或递减)求参数范围问 题，可转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)对 x∈D 恒成立问题，再 参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是 f′(x)>0(或 f′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单 调性问题转化成不等式问题．
(3)若已知 f(x)在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时， 可先求出 f(x)的单调区间，令 I 是其单调区间的子集，从而可 求出参数的取值范围．
考点二 利用导数求函数的单调区间
[典例] (2018·湘东五校联考节选)已知函数 f(x)＝(ln x－k－1) x(k∈R)．当 x>1 时，求 f(x)的单调区间．
[解] f′(x)＝1x·x＋ln x－k－1＝ln x－k， ①当 k≤0 时，因为 x>1，所以 f′(x)＝ln x－k>0， 所以函数 f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间． ②当 k>0 时，令 ln x－k＝0，解得 x＝ek， 当 1<x<ek 时，f′(x)<0；当 x>ek 时，f′(x)>0. 所以函数 f(x)的单调递减区间是(1，ek)，单调递增区间是(ek， ＋∞)． 综上所述，当 k≤0 时，函数 f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)， 无单调递减区间；当 k>0 时，函数 f(x)的单调递减区间是(1，ek)， 单调递增区间是(ek，＋∞)．
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ex(x2＋2x)<0，得－2<x<0，故函数 g(x)的单调递减区间为(－2,0)．
答案：D
2．已知函数 f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中 a∈R ，且曲线 y＝f(x) 在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝12x. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间． 解：(1)对 f(x)求导得 f′(x)＝14－xa2－1x， 由 f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y＝12x， 知 f′(1)＝－34－a＝－2，解得 a＝54. (2)由(1)知 f(x)＝x4＋45x－ln x－32(x>0)， 则 f′(x)＝x2－44xx2－5，令 f′(x)＝0，解得 x＝－1 或 x＝5， 因为 x＝－1 不在 f(x)的定义域(0，＋∞)内，所以舍去． 当 x∈(0,5)时，f′(x)<0，故 f(x)在(0,5)内单调递减； 当 x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故 f(x)在(5，＋∞)内单调递增． 故 f(x)的单调递减区间是(0,5)，单调递增区间是(5，＋∞)．
(a，b)内是减函数．
(√)
(二)选一选 1．函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π)上的单调性是
()
A．先增后减
B．先减后增
C．增函数
D．减函数
解析：∵f′(x)＝－sin x－1＜0，
∴f(x)在(0，π)上是减函数，故选 D. 答案：D 2．函数 f(x)＝x－ln x 的单调递减区间为
f(x)在0，

－2a上单调递减；
当 x>
－2a时，f′(x)>0，所以函数
f(x)在

－a2，＋∞上单调递增．
综上所述，当 a>0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当 a<0 时，函数 f(x)在0，

调递增．
－a2上单调递减，在
－a2，＋∞上单
[变透练清] 1.[变条件]本例(2)变为：若 g(x)在(－2，－1)内为减函数，其他条
件不变，求实数 a 的取值范围． 解：∵g′(x)＝x2－ax＋2，且 g(x)在(－2，－1)内为减函数，
∴x2－ax＋2≤0 在(－2，－1)内恒成立，
∴gg′′－－21≤≤00，， 即41＋＋2aa＋＋22≤≤00，， 解得 a≤－3. 即实数 a 的取值范围是(－∞，－3]． 2.[变条件]本例(2)变为：若 g(x)的单调递减区间为(－2，－1)，其
考点三 函数单调性的应用
[典例] 设函数 f(x)＝13x3－a2x2＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点 (0，f(0))处的切线方程为 y＝1.
(1)求 b，c 的值； (2)设函数 g(x)＝f(x)＋2x，且 g(x)在区间(－2，－1)内存在单 调递减区间，求实数 a 的取值范围． [解] (1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得ff′0＝0＝1，0， 即cb＝＝10，.
∴函数 f(x)在1a，＋∞上单调递增，在0，1a上单调递减． 综上所述，当 a<0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当 a>0 时，函数 f(x)在1a，＋∞上单调递增，在0，1a上 单调递减．
[解题技法] 讨论函数 f(x)单调性的步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求导数 f′(x)，并求方程 f′(x)＝0 的根； (3)利用 f′(x)＝0 的根将函数的定义域分成若干个子区 间，在这些子区间上讨论 f′(x)的正负，由符号确定 f(x)在该 区间上的单调性． [提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取 值对不等式解集的影响进行分类讨论．
答案：[－ 3， 3 ]
课 堂讲 练区
考点一 利用导数研究函数的单调性
[典例] 已知函数 f(x)＝ln x＋a1x－1a(a∈R 且 a≠0)，讨论函 数 f(x)的单调性．
[解] f′(x)＝axa－x21(x>0)， ①当 a<0 时，f′(x)>0 恒成立， ∴函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当 a>0 时，由 f′(x)＝axa－x21>0，得 x>1a； 由 f′(x)＝axa－x21<0，得 0<x<1a，
[题组训练] 1．函数 f(x)＝ex－x＋1 1在定义域内为________函数(填“增”
或“减”)． 解析：由已知得函数 f(x)的定义域为{x|x≠－1}． ∵f(x)＝ex－x＋1 1，∴f′(x)＝ex＋x＋1 12>0. ∴f(x)在定义域内为增函数． 答案：增
2．已知函数 f(x)＝aln x＋x2(a∈R 且 a≠0)，讨论函数 f(x)的单调性．