2020年江苏省淮安市淮阴区开明中学中考数学模拟试卷(二)(附答案详解)

2020年江苏省淮安市淮阴区开明中学中考数学模拟试卷
（二）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1.若一个数的相反数是2，则这个数是()
A. 2
B. −2
C. 1
2D. −1
2
2.下列计算正确的是()
A. 2a⋅3a=6a
B. 6a÷2a=3a
C. (−a3)2=a6
D. (−2a)3=−6a3
3.如图所示的工件的主视图是()
A.
B.
C.
D.
4.每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮
纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为()
A. 1.05×105
B. 1.05×10−5
C. 0.105×10−5
D. 10.5×10−4
5.某校航模兴趣小组共有30位同学，他们的年龄分布如下表：
年龄/岁 1314 15 16
人数 5 15
由于表格污损，15和16岁人数不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是()
A. 平均数、中位数
B. 众数、中位数
C. 平均数、方差
D. 中位数、方差
6.如图，将两块直角三角尺的直角顶点成如图的位置，
若∠BOC=70°，则∠AOD的度数为()
A. 100°
B. 110°
C. 120°
D. 150°
7.将二次函数y=−x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所
得图象的函数表达式为()
A. y=−(x−2)2+3
B. y=−(x−2)2−3
C. y=−(x+2)2+3
D. y=−(x+2)2−3
8.如下尺规方法作图中，能够确定点D是BC的中点的是()
A. B.
C. D.
二、判断题（本大题共1小题，共3.0分）
9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OB、OC，若OB=BC，则
∠BAC的度数是______ ．
三、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
中，自变量x的取值范围是______．
10.函数：y=1
x+1
11.分解因式x2−4的结果是______ ．
12.甲、乙两人进行射击比赛，两人10次射击成绩的平均数都是8.8环，方差分别为s甲2=
0.63，s乙2=0.51，则甲、乙两人成绩较稳定的是______．
13.已知m+n=1，mn=−2，则(m−1)(n−1)=______．
14.在平面直角坐标系中，点P的坐标为P(−2,3)，将点P沿着x轴进行翻折，点P的
对应点记为Q，则点Q的坐标为______．
15.已知扇形的圆心角为120°，半径为6cm，则该扇形的弧长为______ cm(结果保留π)．
16.如图，点O(0,0)、B(0,1)是正方形OBB1C的两个顶点，
以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1，再以正方形
OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2，…，
依次下去，则对角线OB2020的长=______．
四、解答题（本大题共11小题，共102.0分）
17.(1)计算：(√5−π)0−6sin30°+(1
2
)−2；
(2)解不等式组：{4x>2x−6 x−1≤x+1
3
．
18.先化简，再求值：(1−1
x )÷x2−2x+1
x
，其中x=√2+1．
19.如图，已知平行四边形ABCD，E是AD边上的中点，
连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F.求证：D是线段CF的中点．
20.为了“天更蓝，水更绿”某市政府加大了对空气污染的治理力度，经过几年的努力，
空气质量明显改善，现收集了该市连续30天的空气质量情况作为样本，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：
空气污染指数(ω) 30 40 70 80 90 110 120 140
天数(t) 1 2 3 5 7 6 4 2
说明：环境空气质量指数(AQI)技术规定：ω≤50时，空气质量为优；51≤ω≤100时，空气质量为良；101≤ω≤150时，空气质量为轻度污染；151≤ω≤200时，空气质量为中度污染，…
根据上述信息，解答下列问题：
(1)直接写出空气污染指数这组数据的众数______，中位数______；
(2)请补全空气质量天数条形统计图；
(3)根据已完成的条形统计图，制作相应的扇形统计图；
(4)健康专家温馨提示：空气污染指数在100以下适合做户外运动．请根据以上信
息，估计该市居民一年(以365天计)中有多少天适合做户外运动？
21.动画片《小猪佩奇》风靡全球，受到孩子们的喜爱，现有4张角色卡片，分别是A
佩奇，B乔治，C佩奇妈妈，D佩奇爸爸(四张卡片除字母和图案外，其余完全相同)，姐弟两人做游戏，他们将这四张卡片混在一起，背面朝上放好．
(1)姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A佩奇的概率为______；
(2)若姐姐先随机抽取一张卡片，放回后让弟弟再随机抽取一张卡片，请用列表或
画树状图的方法求出佩奇和乔治刚好都被抽到的概率．
x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=x的22.如图，已知函数y=−1
2
图象交于点M，点M的横坐标为2，在x轴的正半轴上有一点P(a,0)，过点P作x
x+b和y=x的图象于点C、D．
轴的垂线，分别交函数y=−1
2
(1)求点A的坐标；
(2)若CD=6，求a的值．
23.如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处
测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是45°，若坡角∠FAE=30°，求大树的高度(结果保留根号)
24.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC
于点E．
(1)试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)过点D作DF⊥AB于点F，若，DF=3，求图中阴影部分的面积．
25.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增
加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于30元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若降价3元，则平均每天销售数量为______件；
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售可获得最大利润，最大利润为多
少元？
26.问题呈现
数学兴趣小组的学生在课外研究的时候遇到了这样的一道题目：
如图1，△ABC中，∠ABC=30°，AB=6，BC=8，连接BE，若△ACE为等边三角形，求BE的长．
问题解决
爱动脑筋的小明经过思考后，想到了如下的思路：
如图2，以AB为边，向△ABC的外侧作等边△ABD，再连接CD，顺着小明的思路，请你完成下面的问题．
(1)①BE与CD有什么数量关系？证明你的结论．
②求出BE的长．
类比应用
(2)如图3，已知△ABC为等腰直角三角形，∠CAB=90°，D为△ABC外一点，且满
足AD=3，CD=2，∠ADC=45°，连接BD，求BD的长．
拓展提升
(3)如图4，四边形ABCD中，∠CAB=90°，∠ADC=∠ACB=α，CD=3，AD=4，
若tanα=4
，则线段BD的长=______．
3
27.如图1，抛物线y=ax2+bx−2与x轴交于点A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于
点C，经过点B的直线交y轴于点E(0,2)．
(1)该抛物线的解析式为______；
(2)如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线上位于线段
AD下方的一个动点，连结PA，BA，ED，PD．
①求出点D的坐标；
②求四边形EAPD面积的最大值以及此时点P的坐标；
(3)如图3，连结AC，将△AOC绕点O逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为△A′OC′，
在旋转过程中，直线OC′与直线BE交于点Q，若△BOQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−2的相反数是2，
故选：B．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2.【答案】C
【解析】解：A、原式=6a2，故A不符合题意．
B、原式=3，故B不符合题意．
C、原式=a6，故C符合题意．
D、原式=−8a3，故D不符合题意．
故选：C．
根据整式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
3.【答案】B
【解析】解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．
故选：B．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形，本题找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项，难度适中．
4.【答案】B
【解析】解：0.0000105=1.05×10−5，
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5.【答案】B
【解析】解：因为共有30位同学，
所以14岁有15人，所以14为众数，
第15个数和第16个数都是14，
所以数据的中位数为14．
故选：B．
利用数据有30个，而14占15个，则可得到数据的众数；然后利用中位数的定义可确定这组数据的中位数，从而可对各选项进行判断．
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数、众数．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠AOB=90°，∠BOC=70°，
∴∠AOC=90°−70°=20°，
∵∠AOD=∠AOC+∠COD=110°，
故选：B．
根据图中的角的等量关系即可求出答案．
本题考查余角和补角，直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用直角三角形的性质，本题属于基础题型．
7.【答案】A
【解析】解：抛物线y=−x2的顶点坐标为(0,0)．
向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后的顶点坐标为(2,3)，得到的抛物线的解析式是y=−(x−2)2+3．
故选：A．
根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
8.【答案】D
【解析】解：A、作AB的垂直平分线交BC于D；故不符合题意；
B、过A点作AD⊥BC于D；故不符合题意；
C、过A作∠BAC的角平分线AD交BC于D；故不符合题意；
D、作了BC的垂直平分线得到BC的中点D；故符合题意．
故选：D．
利用基本作图对各选项进行判断．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)是解题的关键．
9.【答案】30°
【解析】
【分析】
由OB=BC，OC=OB，可得△BOC是等边三角形，则可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠BAC的度数．
此题考查了圆周角定理与等边三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【解答】
解：∵OC=OB=BC，
∴∠BOC=60°，
∠BOC=30°．
∴∠BAC=1
2
故答案为：30°．
10.【答案】x≠−1
【解析】解：根据题意可得x+1≠0；
解可得x≠−1；
故答案为x≠−1．
根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式x+1≠0，解可得答案．求解析法表示的函数的自变量取值范围时：当函数表达式是分式时，要注意考虑分式的分母不能为0．
11.【答案】(x+2)(x−2)
【解析】解：x2−4=(x+2)(x−2)．
故答案为：(x+2)(x−2)．
运用平方差公式分解因式即可．
本题考查了运用平方差公式分解因式，牢记a2−b2=(a+b)(a−b)是解题的关键．12.【答案】乙
【解析】解：∵s甲2=0.63，s乙2=0.51，0.51<0.63，
∴射击成绩比较稳定的是乙，
故答案为：乙．
根据方差的定义判断，方差越小数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13.【答案】−1
【解析】解：∵m+n=1，mn=−2，
∴原式=mn−(m+n)+1=−2−1+1=−1．
故答案为：−1．
利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．14.【答案】(−2,−3)
【解析】解：因为点P的坐标为P(−2,3)，将点P沿着x轴进行翻折，点P的对应点记为Q，
则点Q的坐标为(−2,−3)．
故答案为：(−2,−3)．
根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得结果．
本题考查了翻折变换，坐标与图形变化−对称，解决本题的关键是掌握对称的性质．15.【答案】4π
【解析】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为6，
=4π．
∴扇形的弧长是：120×π×6
180
故答案为：4π．
利用弧长公式：l=nπr
求出即可．
180
是解题关键．
此题主要考查了弧长公式的应用，熟练记忆弧长公式l=nπr
180
16.【答案】21010
【解析】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以√2，∴旋转8次则OB旋转一周，
∵从B到B2020经过了2020次变化，
2020÷8=252…4，
∴从B到B2020与B4都在y负半轴上，
∴(√2)2020=21010，
∴点B2020的坐标是(0,−21010).
∴OB2020的长21010，
故答案为21010．
根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转45°，边长都乘以√2，所以可求出从B到B2020的后变化的坐标．
本题考查正方形的性质，正方形的四边相等，四个角都是直角，对角线平分每一组对角，解答本题的关键是总结规律，难度一般．
17.【答案】解：(1)原式=1−6×1
2
+4
=1−3+4
=2；
(2)解不等式4x>2x−6，得：x>−3，
解不等式x−1≤x+1
3
，得：x≤2，
则不等式组的解集为−3<x≤2．
【解析】(1)先计算零指数幂、代入三角函数值、计算负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的混合运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：原式=x−1
x ⋅x (x−1)2
=1
x−1
，
当x=√2+1时，原式=
√2+1−1=√2
2
．
【解析】先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想(即转化)、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠ABE=∠F，
∵E是AD边上的中点，
∴AE=DE，
在△ABE和△DFE中，
{∠ABE=∠F
∠AEB=∠DEF AE=DE
，
∴△ABE≌△DFE(AAS)，
∴FD=AB，
∵AB=CD，
∴DE=CD，
即D是线段CF的中点．
【解析】由在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，易证得△ABE≌△DFE(AAS)，继而证得FD=AB，进而解答即可．
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意平行四边形的对边平行．
20.【答案】解：(1)90；90；
(2)由题意，得
轻度污染的天数为：30−3−15=12天．
补全条形统计图如图．
(3)由题意，得
优所占的百分比为：3÷30=10%，优所占的圆心角的度数为：10%×360=36°，
良所占的百分比为：15÷30=50%，良所占的圆心角的度数为：50%×360=180°，轻度污染所占的百分比为：12÷30=40%，轻度污染所占的圆心角的度数为：
40%×360=144°，
补全扇形统计图如图；
(4)该市居民一年(以365天计)中有适合做户外运动的天数为：18÷30×365=219天．
【解析】
【分析】
本题是一道数据分析试题，考查了中位数，众数的运用，条形统计，扇形统计图的运用，样本数据估计总体数据的运用，解答时根据图表数据求解是关键．
(1)根据众数的定义就可以得出这组数据的众数为90，由30个数据中排在第15和第16两个数的平均数就可以得出中位数为90；
(2)根据统计表的数据计算出轻度污染的天数即可；
(3)由条形统计图分别计算出优、良及轻度污染的百分比及圆心角的度数即可；
(4)利用样本估计总体的方法，求出30天中空气污染指数在100以下的比值，再由这个比值乘以365天就可以求出结论．
【解答】
解：(1)在这组数据中90出现的次数最多7次，故这组数据的众数为90；在这组数据中排在最中间的两个数是90，90，这两个数的平均数是90，所以这组数据的中位数是90；故答案为：90，90．
(2)见答案；
(3)见答案；
(4)见答案．
21.【答案】1
4
【解析】解：(1)姐姐从中随机抽取一张卡片，恰好抽到A佩奇的概率为1
4
；
故答案为：1
4
．
(2)根据题意画图如下：
共有16种等可能的情况数，其中佩奇和乔治刚好都被抽到的有2种，
则佩奇和乔治刚好都被抽到的概率是2
16=1
8
．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：(1)∵点M在函数y=x的图象上，且点M的横坐标为2，
∴y=x=2，
∴点M的坐标为(2,2)，
把M(2,2)代入y=−1
2
x+b得，
−1+b=2，解得b=3，
∴一次函数解析式为y=−1
2
x+3，
当y=−1
2
x+3=0时，x=6，
∴点A的坐标为(6,0)．
(2)∵CD=6，过点P作x轴的垂线，分别交函数y=−1
2
x+3和y=x的图象于点C、D，
∴y D−y C=6，
a+3)=6，解得a=6，
即a−(−1
2
∴a的值为6．
x+b 【解析】(1)把M的横坐标代入函数y=x中，求出M的坐标，再把M点代入y=−1
2
中，求出一次函数解析式，令y=0，求出A点坐标；
(2)直线DP⊥x轴，把x=a代入到两个函数解析式，求当y D−y C=6时a的值即可．本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟练应用待定系数法求函数解析式以及掌握求两点间的距离的方法．
23.【答案】解：如图，过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，
则四边形DHCG为矩形．
故DG=CH，CG=DH，
在直角三角形AHD中，
∵∠DAH=30°，AD=6米，
∴DH=3米，AH=3√3米，
∴CG=3米，
设BC为x米，
=x米，
在直角三角形ABC中，AC=BC
tan∠BAC
∴DG=(3√3+x)米，BG=(x−3)米，
在直角三角形BDG中，∵BG=DG⋅tan30°，
∴x−3=(3√3+x)×√3
，
3
解得：x=9+3√3，
∴BC=(9+3√3)米．
答：大树的高度为(9+3√3)米．
【解析】本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．
过点D作DG⊥BC于G，DH⊥CE于H，设BC为x米，根据矩形的性质得出DG=CH，CG=DH，再利用锐角三角函数的性质求x的值即可．
24.【答案】解：(1)DE与⊙O相切，
理由：连接DO，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EBD=∠DBO，
∴∠EBD=∠BDO，
∴DO//BE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB=∠EDO=90°，
∴DE与⊙O相切；
(2)∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，
∴DE=DF=3，
∵BE=3√3，
∴BD=√32+(3√3)2=6，
∵sin∠DBF=3
6=1
2
，
∴∠DBA=30°，∴∠DOF=60°，
∴sin60°=DF
DO =3
DO
=√3
2
，
∴DO=2√3，则FO=√3，
故图中阴影部分的面积为：60π×(2√3)2
360−1
2
×√3×3=2π−3√3
2
．
【解析】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO的长是解题关键．
(1)直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；
(2)利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．
25.【答案】26
【解析】解：(1)若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．
故答案为：26；
(2)设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元，
则：y=(40−n)(20+2n)−2n2+60n+800=−2(n−15)2+1250，
a=−2<0，
∴y有最大值1250，
当n=15时，y有最大值=1250元，
此时每件利润为25元，符合题意．
即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．
(1)销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，20加上2乘以3即可；
(2)设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元，根据题意列出二次函数，从而求得其最大值．
本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题时需要考虑问题的实际意义，本题属于中档题．
26.【答案】4√34
3
【解析】(1)①BE=CD．
证明：如图2，∵△ABD
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和△ACE都是等边三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°，∴∠BAE=∠DAC=60°+∠BAC，
∴△BAE≌△DAC(SAS)，
∴BE=CD．
②如图2，∵∠ABC=30°，∠ABD=60°，
∴∠CBD=90°，
∵BD=AB=6，BC=8，
∴CD=√62+82=10，
∴BE=CD =10．
(2)如图3，以AD为直角边向△ADC外作Rt△ADE，使∠DAE=90°，AE=AD，
∵∠CAB=90°，
∴∠DAB=∠EAC=90°+∠DAC，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
∵∠ADE=∠AED=45°，∠ADC=45°，
∴∠CDE=90°，
∵AD=AE=3，
∴DE2=32+32=18，
∵CD2=22=4，
∴CE=√DE2+CD2=√18+4=√22，
∴BD=CE=√22．
(3)如图4，以AD为直角边向△ADC外作Rt△ADE，使∠DAE=90°，AE=CD=3，
∵AD=4，
∴AD
AE =4
3
，DE=√AE2+AD2=√32+42=5，
∵∠CAB=90°，∠ADC=∠ACB=α，tanα=4
3
，
∴AB
AC =tanα=4
3
，
∵AD
AE =AB
AC
，∠BAD=∠CAE=90°+∠DAC，
第22页，共26页
∴△BAD∽△CAE，
∴BD
CE =AD
AE
=4
3
；
由AD
AE =AB
AC
得，AD
AB
=AE
AC
，
∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴△DAE∽△BAC，
∴∠ADE=∠ABC，
∴∠CDE=∠ADE+∠ADC=∠ABC+∠ACB=90°，∴CE=√DE2+CD2=√52+32=√34，
∴BD=4
3CE=4
3
×√34=4√34
3
，
故答案为：4√34
3
．
(1)①由等边三角形的性质得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°，可根据“边角边“证明△BAE≌△DAC，得BE=CD；
②由∠ABC=30°，∠ABD=60°，得∠CBD=90°，再根据勾股定理求出CD的长，即得到BE的长；
(2)以AD为直角边向△ADC外作Rt△ADE，使∠DAE=90°，AE=AD，按照(1)的思路，即可求得BD的长；
(3)以AD为直角边向△ADC外作Rt△ADE，使∠DAE=90°，AE=CD=3，可证明△BAD∽△CAE及△DAE∽△BAC，再按照(1)的思路，即可求得BD的长．
此题重点考查旋转的特征、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理以及探究类问题的求解等知识与方法，解题的关键是正确地作出辅助线，此题难度较大，属于考试压轴题．
27.【答案】y=1
2x2−3
2
x−2
【解析】解(1)由题意得，
{a−b−2=0
16a+4b−2=0，
∴{a=1
2
b=−3
2
，
∴y=1
2x2−3
2
x−2，
第23页，共26页
第24页，共26页 故答案是y =12x 2−32x −2；
(2)①∵E(0,2)，B(4,0)，
∴直线BE 的解析式是：y =−12x +2，
∵AD//BE ，且A(−1,0)，
∴直线AD 的解析式是：y =−12x −12，
由{y =−12x −12y =12x 2−32x −2得， {x 1=−1y 1=0，{x 2=3y 2=−2
， ∴D(3,−2)；
②如图2，作PF//CE 交AD 于F ，
∵E(0,2)，D(3,−2)，
∴直线DE 的解析式是：y =−43x +2，
∴DE 与x 轴的交点Q(32,0)，
∴AQ =AO +OQ =52
， ∴S △ADE =12×AQ ×(y E −y D )
=12×52×[2−(−2)]=5，
设P(x,12x 2−32x −2)，F(x,−12x −12)，
∴PF =(−12x −12)−(12x 2−32x −2)
=−12x 2+x +32，
第25页，共26页 ∴S △PAD =12×PF ×(x D −x A )
=12×(−12x 2+x +32)×4 =−x 2+2x +3 =−(x −1)2+4，
∴S 四边形EAPD =S △PAD +S △ADE
=−(x −1)2+9，
∵当x =1时，S 四边形EAPD 最大=9， 此时P(1,−3)；
(3)如图3，
①当QA =QB 时(图中Q 1)， Q 1(2,1)，
②当BQ =OB 时(图中Q 2，Q 3)，
设Q(a,−12a +2)，
由OQ =OB 得，即OQ 2=OB 2，
∴(4−a)2+(−12a +2)2=42，
∴a 1=
20−8√55，a =20+8√55， ∴Q 2(20−8√55,4√55)，Q 3(20+8√55,−4√55
)， ③当OQ =OB 时，(图中Q 4)，
由OQ 2=OB 2，
∴a 2+(−1
2a +2)2=16，
∴a3=4，a4=−12
5
，
∴Q4(−12
5,16
5
)，
综上所述，当Q(2,1)，(20−8√5
5,4√5
5
)，(20+8√5
5
,−4√5
5
)，(−12
5
,16
5
)时，△BOQ为等腰三角
形．
(1)把A、B两点坐标代入函数关系式即可；
(2)①求出AD的函数关系式，与二次函数关系式联立方程组解得；
②设P点坐标，求出四边形EAPD函数解析式，求其最值即可；
(3)分为OQ=OB，BQ=OB，OB=OQ三种情况，列方程求得．
本题考查了二次函数及其性质，等腰三角形有关知识，解决问题的关键是正确分类列出方程组．
第26页，共26页。