第五章长期趋势变动预测法(经济预测与决策-兰州大学,

模型的特点：
环比发展数度为常数。即：
Yˆ t Yˆ t -1
aˆbˆ t aˆbˆ t 1
bˆ
可化为对数线性模型：
lg Yˆ t lg aˆ t lg bˆ
(5 -18)
二、指数曲线模型的建立
指数曲线模型中的参数可通过最小平方 法或三点法得到。 本节利用最小平方法建立指数曲线模型。

根据最小二乘准则，有：
125
81
1991 -7 9.56
135
49
1992 -5 13.07
137
25
1993 -3 16.75
128
9
1994 -1 21.62
129
1
1995 1 28.34
131
1
1996 3 39.86
141
9
1997 5 54.16
136
25
1998 7 74.84
138
49
1999 9 94.38
3.求解参数（五项加权平均）
cˆ 2(Y1 2Y2 Y3 ) (N 5)2
bˆ Y3 Y1 3N 7 cˆ
N5
3
aˆ
Y1
11 3
bˆ
121 cˆ 9
(5 -11) (5 -12) (5 -13）
求解参数（三项加权平均）
39 aˆ Y1 7 bˆ 49 cˆ
N3 3 bˆ Y3 Y1 3N 5 cˆ
1.选点
当时间序列的项数N为奇数时，并且 N15时，在时间序列的首尾两端及 正中各取五项，分别求出加权平均 数，权数根据时期的远近，分别取1、 2、3、4、5，以加重近期信息在平 均数中的比重。
选点
当时间序列的项数为奇数时，并且 9N<15时，在时间序列的首尾两端 及正中各取三项，，权数根据时期 的远近，分别取1、2、3，分别求出 三个加权平均数。
第一节 直线趋势模型预测法 第二节 二次曲线模型预测法 第三节 指数曲线模型预测法
第一节 直线趋势模型预测法
一、直线趋势模型 二、直线趋势模型的建立
一、直线趋势模型
当时间序列的发展趋势呈线性时，可采 用直线趋势模型进行预测。 直线趋势模型为：
Yˆ t aˆ bˆ t
直线趋势模型的特点
一阶差分Yˆ t为一常数，即： Yˆ t Yˆ t - Yˆ t-1 bˆ。
分析时间序列的环比发展速度，可 见各环比发展速度值大体相等，因 此采用指数曲线模型进行预测。
经过计算得到：
t2=572， lgYt=17.01， t lgYt=35.67。
表5-4 分析计算表
年份 t 存款余额Yt 环比发展速度(%) t2
1989 -11 5.67
121
1990 -9 7.09
例5-1
某地1992-2000年化肥销售量如表 5-1所 示，试用最小平方法预测2004年该地的 化肥销售量。
表5-1
年份
1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
单位：吨
销售量
一阶差分
Y
Y
265
297
32
333
36
370
37
405
35
443
38
474
0
计算表
Yt 265 297 333 370 405 443 474 508 541 3636
tYt
t2
-1060 16
-891 9
-666 4
-370 1
00
443 1
948 4
1524 9
2160 16
2092 60
根据式（5-6）、（5-7），得：
aˆ 3636 404 9
bˆ 2092 34.87 60
估计参数
aˆ 10lg aˆ 101.4175 26.1517 bˆ 10lg bˆ 100.0624 1.1545
建立指数曲线模型：
Yˆ t 26.1517 1.1545t
预测
2001年时，t=13，所以预测2001年居民 储蓄存款余额：
Yˆ 13 26.1517 1.154513 169.2860(亿元)
,
Y2
) ，M 3 (N
4 3
, Y3 )。
三项加权平均数的计算式
三项加权平均时，三个点的坐标为：
7 M1 ( 3
,
Y1 )，M 2
(
N 2
5 6
,
Y2
) ，M 3 (N
2 3
, Y3 )。
2.建立方程组
对应于五项加权平均可建立如 下联立方程组，见：式 (5 - 9)
对应于三项加权平均可建立如 下联立方程组，见：式 (5 -10）
表5-3 水产品收购量 单位：千吨
年份 t 1992 1 1993 2 1994 3 1995 4 1996 5 1997 6 1998 7 1999 8 2000 9
Yt
Yt
2Yt
54.5
64.1 9.6
76.4 12.3 2.7
92.4 16.0 3.7
110.7 18.3 2.3
132.2 21.5 3.2
(N 3)
cˆ
2(Y1
2Y2
2
Y3 )
(5 -16) (5 -15) (5 -14)
例5-2
某地1992-2000年水产品的收购量如 表 5-3所示，试用三点法预测2003年该 地水产品的收购量。
解：
根据时间序列资料计算一阶差分和二阶 差分。从计算结果看，二阶差分序列要 比一阶差分序列平稳。因此，建立二次 曲线模型。
加强做责任心，责任到人，责任到位 才是长 久的发 展。20.1 1.1020.1 1.10Tue sday, November 10,2020 人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。1 5:20:22 15:20:2 215:201 1/10/2020 3:20:22 PM 安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20.1 1.1015:2 0:2215: 20Nov-2010-Nov-20 重于泰山，轻于鸿毛。15:20:2215:20:2 215:20T uesday, November 10,2020 安全在于心细，事故出在麻痹。20.11.1 020.11.1 015:20: 2215:20: 22November 10, 2020 加强自身建设，增强个人的休养。202 0年11 月10日 下午3时 20分20.11.1020.1 1.10 追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2 020年1 1月10日星期 二下午3时20分 22秒15: 20:2220.11.10 专业精神和专业素养，进一步提升离 退休工 作的质 量和水 平。202 0年11 月下午3时20分 20.11.101 5:20November 10, 2020 时间是人类发展的空间。2020年11月1 0日星 期二3时 20分22 秒15:20: 2210 November 2020 科学，你是国力的灵魂；同时又是社 会发展 的标志 。下午3时20分 22秒下 午3时2 0分15: 20:2220.11.10 每天都是美好的一天，新的一天开启 。20.11.1 020.11.1 015:201 5:20:22 15:20:2 2Nov-20 人生不是自发的自我发展，而是一长 串机缘 。事件 和决定 ，这些 机缘、 事件和 决定在 它们实 现的当 时是取 决于我 们的意 志的。2 020年1 1月10日星期 二3时20分22秒 Tuesda y, November 10,2020 感情上的亲密，发展友谊；钱财上的 亲密， 破坏友 谊。20.1 1.10202 0年11 月10日星 期二3时20分2 2秒20.1 1.10
选点
当时间序列的项数为偶数时，可去 掉第一项，余下按项数为奇数时处 理。
求加权平均数
设由远及近的三点坐标分别为：
M1 (t1, Y1 )，M 2 (t 2 , Y2 )，M3 (t 3 , Y3 )。
五项加权平均数的计算式
即五项加权平均时，三个点的坐标为：
M1
(11 3
,
Y1
)，M
2
(
N 2
7 6
156.6 24.4 2.9
183.6 27.0 2.6
214.0 30.4 3.4
中位项数
因为时间序列的项数N=9,所以选择三项 加权平均的三点法估计参数。 时间数列的中位项数d =（N+1） 2=5。
参数值
根据式（5-14）、（5-15）、（5-16）得：
cˆ 1.4528 bˆ 5.4454 aˆ 48.0344
31
508
34
541
33
解：
计算时间序列的一阶差分，列于表5-1中。 从一阶差分的值来看，大体接近，可以 选用直线趋势模型进行预测。模型为：
Yˆ t aˆ bˆ t
t值的确定
时间序列的项数N=9，赋变量t对应于中 位项（1996年）的值为零，等差为1，建 立t的时间序列，各值列于表5-2。
表5-2(部分)
分析
因此，当时间序列的一阶差分Yt近似为 一常数时，或其散点图呈直线趋势，利 用直线趋势模型预测可以得到理想的结 果。
二、直线趋势模型的建立
直线趋势模型建立的关键是根据时间序 列资料估计各参数的值。常用的方法有 最小平方法、折扣最小平方法等。 本节将介绍最小平方法。
最小平方法的基本原则
同回归分析预测法中的最小二乘法 一样，这里所介绍的最小平方法的 基本原则是在使时间序列的剩余平 方和最小的基础上，估计各参数的 值。
预测
2004年时，t=8，预测2004年的销售量为：
Yˆ 8 404 34.87 8 682.93(吨)
第二节 二次曲线模型预测法
一、二次曲线预测模型 二、二次曲线模型的建立
一、二次曲线预测模型
二次曲线预测模型为：
Yˆ t aˆ bˆ t cˆ t 2
(5 - 8)
模型的特点
该模型的特点是二阶差分为常数。 当时间序列的二阶差分2Yt近似为 常数时，或其散点图近似上凸或下 凹的曲线时，可利用二次曲线模型 来预测。
lg aˆ lgYt N
lg bˆ t lgYt t2
(5 -19) (5 - 20)
求解参数
aˆ 10lg aˆ bˆ 10lg bˆ
(5 - 21) (5 - 22)
例5-3
. 1989年以来某地居民储蓄存款余额数据 如表5-4所示。试预测该地居民2001年的 储蓄存款余额。
分析
126
81
2000 11 129.94
138
121
572
lgYt 0.75 0.85 0.98 1.12 1.22 1.33 1.45 1.60 1.73 1.87 1.97 2.11 17.01
tlgYt -8.29 -7.66 -6.86 -5.81 -3.67 -1.33 1.45 4.80 8.67 13.12 17.77 23.25 35.67
二、二次曲线模型的建立
建立二次曲线模型的关键是根据时 间序列资料估计参数的值。 常用的方法有最小平方法、三点法 等。 本节介绍利用三点法建立二次曲线 模型。
参数估计的基本步骤
在时间序列资料中选取三个代表点； 根据三个点的坐标值建立由三个二 次曲线方程组成的联立方程组；求 解方程组得到三个参数值。
年份 t 1992 -4 1993 -3 1994 -2 1995 -1 1996 0
1997 1
1998 2
1999 3
2000 4
0
计算表
计算Yt、tYt、t2
分别计算Yt、tYt、t2，计算过程见表 5-2。 Yt =3636 tYt=2092 t2=60
表5-2
年份 t 1992 -4 1993 -3 1994 -2 1995 -1 1996 0 1997 1 1998 2 1999 3 2000 4
二次曲线预测模：
Yˆ t 48.0344 5.4454t 1.4528t 2
预测
2003年时，t=12，所以预测2003年水产 品的收购量：
Yˆ 12 322.5824(千吨)
第三节 指数曲线模型预测法
一、指数曲线模型 二、指数曲线模型的建立
一、指数曲线模型
指数曲线的预测模型为：
Yˆ t aˆ bˆ t
最小平方法的估计式
模型中作为自变量的t ，其值是可以设定 的等差数列。通过设定t数列的值，使 t=0，得到参数估计式：
aˆ Yt N
bˆ
tYt t2
（5 6） （5 7）
t值的确定方法
为了使 t =0，对t值的确定可采用以下方 法： (1)当时间序列的项数为奇数时,设中位数 为零,等差为1,建立t的时间序列。即取t的 值为…，-2，-1，0，1，2，…； (2)当时间序列的项数为偶数时,设中位两 数的值分别为-1和1,等差为2,建立t的时间 序列。即取t的值为…，-5，-3，-1，1， 3，5，…。
经济预测与决策
经济预测与决策
第五章 长期趋势变动预测法
长期趋势变动预测法
根据时间序列的发展趋势， 配合适当的数学模型，外推预 测未来的趋势值。
本章学习目的与要求
通过本章的学习，掌握 各种长期趋势变动的预测方 法。
本章学习重点和难点
重点是直线趋势模型预 测法;
难点是二次曲线模型预测 法。
本章内容提示