高等几何讲义 第二章射影平面____§1 扩大仿射平面

高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1. 扩大仿射平面 ➢ 引入了无穷远点的平面称为扩大(仿射)平面，
引进了无穷远点的直线称为扩大直线． ➢ 注意：扩大仿射平面作为点的集合已不再是原
来的作为点集的仿射平面或欧氏平面．
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§1. 扩大仿射平面
一点的齐次仿射坐标；
2．若 x3 0，则 (x1, x2, x3)是(非齐次)仿射坐标为 x = x1/x3 , y = x2/x3 的普通点的齐次仿射坐标； 3．齐次仿射坐标为(x1,x2,0)的点称为无穷远点． ➢ 注意：条件 2 给出了普通点的(非齐次)仿射坐标 与齐次仿射坐标之间互化的方法．
答：为一束平行直线．
➢ 直线(1)上的无穷远点为(B, A, 0)．
当直线平行于y轴时，其无穷远点可写为(0,1,0)；
当不平行于 y 轴时，无穷远点可写为 (1,A/B,0)．
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§1. 扩大仿射平面
➢ 因 k A/B 是直线 (1) 的方向数，故 方向数为 k 的直线上的无穷远点为 (1, k, 0)； 方向数为 的直线上的无穷远点为 (0, 1, 0)．
➢ 可见，方向数与无穷远点一一对应． ➢ 几个结论：
1. 每一普通直线上有且仅有唯一无穷远点； 2. 平行直线有同一无穷远点； 3. 不平行直线有不同无穷远点； 4. 两点确定唯一直线． ➢ 符号约定： 齐次坐标为 (x1, x2, x3) 的点记为 x； 点x的任一组确定的齐次坐标记为(x) (x1, x2, x3)．
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§2. 射影平面
➢丛模型
➢ 所谓丛，指三维欧氏空间中 过原点 o 的全体直线和平面 的集合， o 称为丛的中心．
1. 丛的直线对应于 V3 中的 一维子空间；
2. 丛的平面对应于 V3 中的二 维子空间．
a b
lm n
o
➢ 丛是射影平面的一个模型： 丛的直线 射影平面的点； 丛的平面 射影平面的直线．
x、y、 …表示；直线用小写希腊字母 、、…、 、 、 …表示．
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§2. 射影平面
➢射影平面P 2的几何模型
➢ 扩大仿射平面模型 ➢ 若扩大仿射平面上点 x 齐次坐标为(x1, x2, x3)，则
1. 点 x 对应于 V3 中非零向量 (x1, x2, x3) 生成的一 维子空间； 2. 过点 a 和点 b 的直线 ab 对应于由非零向量 (a) 和 (b) 生成的二维子空间； 3. 点 c 与直线 ab 的结合对应于由 (c) 生成的一 维子空间包含在由 (a) 和 (b) 生成的二维子空间．
则有 x1 x2 x2 2 3 1 0， 1 40
故所求直线方程为：4x1 x2 5x3 0．
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§1. 扩大仿射平面
➢ 一般地，记 a、b所连直线为 a b，其坐标方程为
x1 x2 x3 a1 a2 a3 0． b1 b2 b3
其参数方程为：
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§2. 射影平面
➢半球面模型
➢ 规定：对径点合为 一点． 1. 点看作射影点；
2. 大圆及截口都看
作射影直线．
b
a o
a
b
c
k
c/
➢ 以球心为中心，可建立半球面模型与扩大仿射 平面模型的一一对应关系．
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(e) 1(a(1))/ 2(a(2))/ 3(a(3))/， 其中123 0． 令(a(i)) i(a(i))/，则存在性得证．
设a(i)的另一组坐标(a(i))*也满足 (e) (a(1))* (a(2))* (a(3))*，
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(1, 0, 0)、(0, 2, 0)、(0, 0, 3)．
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§2. 射影平面
故又可写成分解式：
(x1, x2, x3) (x1/1)(1, 0, 0) (x2/2)(0, 2, 0)
(x3/3)(0, 0, 3)，
(2.2)
代数形式上，(x1/1, x2/2, x3/3) 与 (x1, x2, x3) 应
1. 非全零有序三数组(x1, x2, x3)； 2. 给定非全零有序三数组(x1, x2, x3)，作
集合{(x1, x2, x3) | 0}；
3. 对二确定的非全零有序三数组(x)、(y)，作
集合{(x) (y) | 2 2 0}．
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表示同一点的坐标．
等价于要求(1, 2, 3 )是点 e(1, 1, 1)的齐次仿射坐标．
➢ 结论：为得到齐次仿射坐标，须以每三点不共线
的四点构成齐次仿射标架 [o(1), o(2), o(3); e]，
其中， o(1)、o(2)是无穷远点，而点 e 的作用则在 于由表达式：(e) (o(1)) (o(2)) (o(3)) 限制点 o(1)、o(2)、o(3)的坐标选取任意性．
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§1. 扩大仿射平面
➢2. 点的齐次仿射坐标
➢ 定义 设 = [O; e1, e2 ]是平面仿射坐标系．在
之下，满足下述条件的有序实数组 (x1, x2, x3) (0, 0, 0) 称为平面上点的齐次仿射坐标：
1．若 0，则 ( x1, x2, x3) 与 (x1, x2, x3)为同
➢3. 直线的齐次仿射坐标方程
➢ 仿射坐标系下，直线的方程为
Ax By C 0．
➢ 扩大直线的齐次仿射坐标方程为：
Ax1 Bx2 Cx3 0 (A、B、C不全为0)． (1)
➢ 无穷远直线： x3 0 ．
(2)
➢ 例．设 0 为非无穷远直线， 0 为无穷远直
线，则 0 (, 为参数)表示什么图形？
§2. 射影平面
➢3. 射影坐标与射影坐标变换
➢ 射影平面上，所有点、所有直线地位应平等，但 无穷远直线仍有特殊性：其方程为 x3 0．
➢ 下面引入射影坐标．为此进行下述分析： ➢ 射影平面上的点 x，在代数上其坐标可分解为：
(x1, x2, x3) x1(1, 0, 0) x2(0,1, 0) x3(0, 0,1), (2.1) 其中，(1, 0, 0)、(0,1, 0)分别是 x 轴、y 轴上的无 穷远点 o(1)、 o(2) 在坐标，(0, 0,1)是仿射坐标系 的原点 o(3) 的坐标． 因 o(1)、o(2)、o(3) 的齐次坐标也可写为：
➢2*. 射影平面 P2 的定义及模型
➢ 射影平面 P 2 的定义 ➢ 射影平面 P2 是由点与直线两类元素组成的集
合．它与向量空间 V3 有下面的关系： 1．P2 的点一一对应于 V3 的一维子空间； 2．P2 的直线一一对应于 V3 的二维子空间； 3．在 P2 中，若点对应的一维子空间包含在直线 对应的二维子空间中，则称点与直线结合． ➢ 在射影平面 P2 中，点用小写英文字母 a、b、…、
a1A1 a2A2 a3A3 0
b1A1 b2A2 b3A3 0
有非零解
a1 b1
a2 b2
a3 b3
0．
c1A1
c2A2
c3A3
0
c1 c2 c3
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§1. 扩大仿射平面 ➢ 注：在代数观点下，可说
三点共线 此三点的坐标三数组线性相关． ➢ 例2 求点 a (2, 3, 1)、b (1, 4, 0) 确定的直线． ➢ 解：设a、b确定的直线上的动点为 x( x1, x2, x3 )，
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§2. 射影平面
➢ 为定义射影坐标，先证明下述引理． ➢ 引理 给定射影平面上每三点不共线的四点 a(i) ( i
1, 2, 3) 和 e，则在齐次仿射标架 下，对 e 的任
意取定的坐标 (e)，存在 a(i) 的唯一一组坐标，使 (e) (a(1)) (a(2)) (a(3)) ． 证明：任取定三点a(i)的齐次仿射坐标(a(i))/．因每 三点不共线，故必有
§2. 射影平面 则有(a(1))* (a(2))* (a(3))* (a(1)) (a(2)) (a(3))．
又因(a(i))* i(a(i))，故 (1 1)(a(1)) (2 1)(a(2)) (3 1)(a(3)) 0．
现因(a(1))、(a(2))、(a(3))线性无关，故
第二章 射影平面____§1. 扩大仿射平面
➢1.中心射影
S
D
A
/
/ C/ B(B/) A/
D/
/
C
设 与 /是二相交平面，S 是不在 和 /上的一定 点，取作射影中心．对上的任意点 A，作直线SA 交 /于 A/．将点 A/ 称作点 A 在 /上的中心射影，
从中心 S 引出的直线 SA 称为投射线．
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§1. 扩大仿射平面
➢ 例1 三点a、b、c共线 它们的齐次坐标满足
a1 a2 a3 b1 b2 b3 = 0． c1 c2 c3
证明：若有至少二点相同，则显然成立．
不同三点共线 存在直线 A1x1 A2x2 A3x3 0， 使三点坐标均满足此方程，即关于 A1、A2、A3 的 齐次线性方程组
x1 x2
a1 a2
b1 b2，、
R
且
2
2
0．
x3
a3
b3
或 (x) (a) (b)，、 R 且 2 2 0．
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§2. 射影平面
➢ 1. 射影平面及其性质 ➢ 将无穷远元素与普通元素平等对待的扩大仿射
平面称为射影平面． ➢ 射影平面上的点称为射影点，简称点， ➢ 射影平面上的直线称为射影直线 ，简称直线． ➢ 对以下几者在几何和代数上的理解：
M
/
/
§1. 扩大仿射平面
➢ 另外，中心射影不是双射．(如上图中的点 M；
再如下图中，直线间的中心射影下，点 P 无对
应点)
S
Q/ /
P
M
P/
M/
Q 分析(原因)：平行直线无交点；平行平面无交线．
➢ 方法：引入无穷远元素，使中心射影成为双射．
➢ 新问题：无穷远元素如何表示？
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1 2 3 1，
故唯一性得证．
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➢ 中心射影具有性质： 1. 将点变成点； 2. 将直线变成直线； 3. 保持点与直线的结合关系．
➢ 这是平行射影也具有的性质． ➢ 但中心射影不保持平行性，这
与平行射影不同！(如图)
S
/
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§1. 扩大仿射平面
§2. 射影平面
➢ 射影平面上直线的特殊性质：
1. 直线是“封闭”的；
II
I a
2. 任二不同直线有且仅有一个
交点． 3. 对射影平面的区域划 分．(如图)
b
普通平面
ac
b
射影平面
I
I
II VI
II
III
III
I II IIΒιβλιοθήκη I普通平面射影平面
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§2. 射影平面
§1. 扩大仿射平面
➢无穷远元素的坐标表示
➢ 分析：平面仿射坐标系下，二直线
(1): A1x + B1y + C1 = 0，(2): A2x + B2y + C2 = 0，
若相交，则交点坐标为：
B1 C1 C1 A1 B2 C2 ， C2 A2 ． A1 B1 A1 B1 A2 B2 A2 B2
注意：此坐标与比值 B1 B2
C1 C2
:
C1 C2
A1 A2
:
A1 A2
B1 B2
是一一对应的．
注意到，所谓坐标不外乎点与数组之间的一种双
射，因此也可将此比值定义为点的一种坐标．
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§1. 扩大仿射平面 ➢ 另外，注意到当一组直线平行于固定方向时，其
中任二直线的三数比值中，前两数比值不变而第 三数为零，且另一组平行直线的此种比值与之必 不同． ➢ 可见此类三数比值与平行直线上的无穷远点是一 一对应的，因而可作为无穷远点的一种坐标．