宁夏吴忠中学2020学年高二数学上学期开学考试试题(含解析)

【详解】sin 5 ，cos 1 sin2 12 .
13
13
由任意角的三角函数的定义可得 cos 3 ， sin 4 .
5
5
当 cos 12 时，
13
cos cos cos cos sin sin
-6-
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【详解】对于 A 选项，若 ， ，则 与 平行或相交，A 选项错误；
-2-
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对于 B 选项，若 m ， n ，则 m//n ，B 选项正确； 对于 C 选项，若 m// ， n// ，则 m 与 n 平行、相交或异面，C 选项错误； 对于 D 选项，若 m// ， m// ，则 与 平行或相交，D 选项错误.
故选：B. 【点睛】本题主要考查空间直线和平面、平面和平面平行或垂直的位置关系的判断，要求熟 练掌握相应的判定定理和性质定理．
5.函数
y
ln
cos
x
π 2
x
π 2
的图象是(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由偶函数排除 B、D, 考点：函数的图象与性质．
排除 C.故选 A.
13.已知幂函数 f x k x 的图象过点 (1 , 2) ，则 k _______．
2
【答案】 0
【解析】 试题分析：因为是幂函数，所以 考点：幂函数的定义.
，得 2 (1) ， 1，k 0 . 2
1 14.化简 cos2 80
1 cos2 10
1 cos 20
__________.
【解析】
圆方程可化为
(x a)2 ( y 1)2 a2 1
a2 1 圆 心 C(a,1) 到 直 线 的 距 离 d
a2 1
3 a2 1 a2 7 S (7 1) 6 ，故选 D. 2
12.对实数
a
和
b
，定义运算“
”：
a
b
a, b,
a a
b b
1 1
，设函数
f x x2 2 x x2 ， x R ，若函数 y f x c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，
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12 13
3 5
5 13
4 5
56 65
；
当 cos 12 时，
13
cos cos cos cos sin sin
12 13
3 5
5 13
4 5
16 65
.
综上所述， cos
56
16
或
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宁夏吴忠中学 2020 学年高二数学上学期开学考试试题（含解析）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分.在每小题给出的四个选项中，有且只 有一项是符合题目要求的把答案填涂在答题卡上）
点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，一般外接球需要求球心和半径，
首先应确定球心的位置，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边
形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离
相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，
y
f
x 的最小正周期为T
4
7 12
3
，
2 T
2，
f
x
sin 2x
，
f
3
sin
2
3
0
，
sin
2 3
0，
由于函数 y f x 在 x 附近单调递减，则 2 2k k Z ，
3
3
3
2k
k
Z
， 2
2
，则
k
0 ，
3
，所以，
f
x
sin
2x
3
，
因此，为了得到函数 y f x 的图象，只需将函数 y sin 2x 的图象上所有点向左平移 个 6
由题意
f (17 )
f (17
6 )
f ( )
f
(
)
2
sin
1，故选 C．
3
3
3
3
6
7.各侧棱长都相等，底面是正多边形的棱锥称为正棱锥，正三棱锥 P ABC 的侧棱长为 a ，
侧面都是直角三角形，且四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A. 2 a2
B. 2 a2
C. 3 a2
就是其外接球的球心，有时也可利用补体法得到半径．
8.函数 f x sin x （其中 ）的图象如图所示，为了得到 y f x 的图象，
2 只需把 y sin x 的图象上所有点（ ）
A. 向左平移 个单位长度
3 C. 向右平移 个单位长度 3 【答案】B
【解析】
【分析】
B. 向左平移 个单位长度
俯视图分别为（ ）
A. ①和② 【答案】C 【解析】 【分析】
B. ①和③
C. ④和②
D. ③和②
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在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论． 【详解】在坐标系中，标出已知的四个点，
,
2
1,
3 4
.
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故选：B.
【点睛】本题考查了利用函数的零点个数求参数，解题的关键就是作出函数的图象，考查数
形结合思想的应用，属于中档题．
二、填空题（本大题 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把正确答案填在题中横线上）
8 【答案】 1 cos 40
【解析】
【分析】
通分，利用二倍角的正弦、余弦的降幂公式可化简所求代数式.
【
详
解
】
1 cos2 80
1 cos2 10
1 cos 20
sin
1 2 10
1 cos2 10
1 cos 20
cos2 10 sin2 10 sin2 10 cos2 10 cos 20
6.已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数，对任意 x R ，都有 f x 2 f x ，当
x 0,
时，
f
x
2 sin
x 2
，则
f
17 3
（
）
1
A.
2
B. 3
C. 1
2
【答案】C
【解析】
D. 3
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根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②， 故选：C. 【点睛】本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．
10.已知角
的顶点与原点
O
重合，始边与
x
轴的非负半轴重合，它的终边过点
P
3 5
,
4 5
.
角 满足 sin 5 ，则 cos 的值为（
单位长度.
故选：B.
【点睛】本题考查了利用函数图象求函数解析式，以及三角函数图象变换，考查计算能力，
属于中等题.
9.在如图所示的空间直角坐标系 O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是 0, 0, 2 、
2, 2, 0 、1, 2,1 、2, 2, 2 ，给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和
D. 3 a2
【答案】D 【解析】
因为侧棱长为 a 的正三棱锥 P﹣ABC 的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，三
棱锥的正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，它们有相同的外接球，球的直径就是正方
体的对角线，正方体的对角线长为：
3a ；所以球的表面积为为 D．
若 x2 2
x x2
1 ，即
2x2
x
3
0 ，解得
x
1或
x
3 2
..
f
x
x
2
2, 1
x
3 2
.
x
x
2
,
x
1或x
3 2
作出函数 y f x 的图象如下图所示：
如图所示，当 c 2 或 1 c 3 时，直线 y c 与函数 y f x 的图象有两个交点，
4
因此，实数
c
的取值范围是
则实数 c 的取值范围是（ ）
A.
,
2
1,
3 2
B.
,
2
1,
3 4
C.
1,
1 4
1 4
,
D.
1,
3 4
1 4
,
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【答案】B 【解析】 【分析】
令 f x c 0 得 f x c ，将问题转化为直线 y c 与函数 y f x 的图象有两个交点，
6 D. 向右平移 个单位长度 6
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首先根据函数 y f x 的图象求出该函数的周期，进一步利用函数经过的点的坐标求出函数
的解析式，然后利用函数图象的平移变换可得出结果．
【详解】由图象可知，函数
1.已知集合 A 1, 2,3 ，集合 B x, y x A, x y A ，则符合条件的集合 B 的子集个
数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 8
D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
列举出集合 B 中的运算，利用子集个数公式可得出结果.
【详解】 A 1, 2,3 ， B x, y x A, x y A 2,1,3, 2,3,1，
13
A. 56 或 16 65 65
16
B.
65
16 65
【答案】A
）
C. 56 65
56
D. 或
65
【解析】
【分析】
利用三角函数的定义可得出 cos 和 sin 的值，分 cos 12 和 cos 12 两
13
13
种情况讨论，利用两角差的余弦公式可求得 cos 的值.
并根据定义得出 y f x 的解析式，作出函数 y f x 的图象即可得出答案．
【详解】令 f x c 0 得 f x c ，将问题转化为直线 y c 与函数 y f x 的图象有两
个交点，
若 x2 2 x x2 1 ，即 2x2 x 3 0 ，解得 1 x 3 . 2
因此，符合条件的集合 B 的子集个数为 23 8 .
故选：C.
【点睛】本题考查集合子集个数的计算，解答的关键就是求出集合的元素个数，考查计算能
力，属于基础题.
2.若函数 f x 2x a 的单调递增区间是 3, ，则 a 的值为（ ）
A. 6
B. 2
C. 2
D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
.
65 65
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数求值，涉及两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于中等
题.
11.已知直线 y ax 与圆 C：x2 y2 2ax 2y 2 0 交于两点 A, B ，且 CAB 为等边
三角形，则圆 C 的面积为
A. 49
B. 36
C. 7
D. 6
【答案】D
4.已知 m 、 n 是两条不同直线， 、 、 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 //
B. 若 m ， n ，则 m//n
C. 若 m// ， n// ，则 m//n
D. 若 m// ， m// ，则 //
【答案】B 【解析】
【分析】
利用面面垂直的性质定理可判断 A 选项的正误；利用线面垂直的性质定理可判断 B 选项的正 误；利用线面平行的性质定理可判断 C 选项的正误；利用线面平行和面面平行的性质定理可 判断 D 选项的正误.综合可得出结论.
a 2
,
，
a 3 ，解得 a 6 . 2
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数的单调区间求参数，考查计算能力，属于基础题.
3.已知直线 l1 : x 2 y 1 0 ， l2 : 2x my 5 0 ， l3 : nx 3y 1 0 ，若 l1 //l2 且 l1 l3 ，则
m n 的值为（ ）
将函数 y f x 的解析式表示为分段函数的形式，求出该函数的单调递增区间，即可得出实
数 a 的值.
【详解】
f
x
2x a
2x a, x 2x a,
a 2
xa 2
，则函数
f
x
2x a
的单调递增区间为
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A. 10
B. 2
C. 2
D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】
根据直线平行与垂直求出实数 m 、 n 的值，进而可计算出 m n 的值.
【详解】 Q
l1 //l2 ，则
2 1
m 2
5 1
，解得
m
4
， l1
l3 ，则 n 6
0 ，解得 n
6
.
因此， m n 10 .
故选：D.
【点睛】本题考查根据两直线平行与垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.