高中数学人教A版必修一练习：1.3.1 单调性与最大(小)值 第二课时 函数的最大(小)值

第二课时函数的最大(小)值
【选题明细表】
1.函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是( C )
(A)-1,3 (B)0,2 (C)-1,2 (D)3,2
解析:当x∈[-2,2]时,由题图可知,x=-2时,f(x)的最小值为f(-2)= -1;x=1时,f(x)的最大值为2.故选C.
2.若函数y=x2-6x-7,则它在[-2,4]上的最大值、最小值分别是( C )
(A)9,-15 (B)12,-15 (C)9,-16 (D)9,-12
解析:函数的对称轴为x=3,
所以当x=3时,函数取得最小值为-16,
当x=-2时,函数取得最大值为9,故选C.
3.函数f(x)=-x+在[-2,-]上的最大值是( A )
(A) (B)- (C)-2 (D)2
解析:因为f(x)=-x+在[-2,-]上为减函数,
所以当x=-2时取得最大值,且为2-=.故选A.
4.(2018·于都县高一期中)函数f(x)=2-在区间[1,3]上的最大值是( D )
(A)2 (B)3 (C)-1 (D)1
解析:因为函数f(x)=2-在区间[1,3]上为增函数,
所以f(x)max=f(3)=2-1=1.故选D.
5.已知函数f(x)=,x∈[-8,-4),则下列说法正确的是( A )
(A)f(x)有最大值,无最小值
(B)f(x)有最大值,最小值
(C)f(x)有最大值,无最小值
(D)f(x)有最大值2,最小值
解析:f(x)==2+,它在[-8,-4)上单调递减,因此有最大值
f(-8)=,无最小值.故选A.
6.函数f(x)=x 2-2ax+a 在区间(-∞,1)上有最小值,则a 的取值范围是( A )
(A)(-∞,1) (B)(-∞,1] (C)(1,+∞) (D)[1,+∞) 解析:由题意,f(x)=(x-a)2-a 2+a, 所以函数的对称轴为x=a.
若a ≥1,则函数在区间(-∞,1)上是减函数, 因为是开区间,所以没有最小值
所以a<1,此时当x=a 时取得最小值,故选A.
7.已知函数f(x)=2x-3,其中x ∈{x ∈N|1≤x ≤},则函数的最大值为 .
解析:函数f(x)=2x-3为增函数,且x ∈{1,2,3},函数自变量x 的最大值为3,所以函数的最大值为f(3)=3. 答案:3
8.(2017·濮阳高一期末)若函数f(x)=x 2-2x+m,在x ∈[0,3]上的最大值为1,则实数m 的值为 .
解析:函数f(x)=x 2-2x+m=(x-1)2+m-1,其对称轴为x=1, 则f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,3]上单调递增, 则当x=3时,函数有最大值,
即为9-6+m=1,
解得m=-2.
答案:-2
9.记函数f(x)=在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M和m,则等于( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:因为f(x)==2+,
所以f(x)在[3,4]上是减函数.
所以m=f(4)=4,M=f(3)=6.
所以==.故选D.
10.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( A )
(A)1 (B)0 (C)-1 (D)2
解析:函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,
因为x∈[0,1],
所以函数f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上单调递增,
所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=a=-2,
当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3+a=3-2=1.
故选A.
11.(2018·唐山高一月考)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]的最大值为2,则a的值为.
解析:函数f(x)=-x2+2ax+1-a的对称轴为x=a,图象开口向下,
①当a≤0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是减函数,
所以f(x)max=f(0)=1-a,
由1-a=2,得a=-1,
②当0<a≤1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,a]上是增函数,在[a,1]上是减函数,
所以f(x)max=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1,
由a2-a+1=2,解得a=或a=,
因为0<a≤1,
所以两个值都不满足;
③当a>1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是增函数,
所以f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2,
所以a=2.
综上可知,a=-1或a=2.
答案:-1或2
12.(2018·陕西师大附中高一上月考)已知函数
f(x)=
(1)画出函数f(x)的图象;
(2)求函数f(x)的单调区间,并指出在每个单调区间上,它是增函数还
是减函数;
(3)求函数f(x)的最大值和最小值.
解:(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)f(x)的单调区间有[-3,-2),[-2,0),[0,1),[1,3),[3,6].
其中y=f(x)在区间[-3,-2),[0,1),[3,6]上是减函数,在[-2,0),[1,3)上是增函数.
(3)因为f(x)图象的最高点为(3,4),最低点为(6,-5),
所以f(x)的最大值为4,最小值为-5.
13.已知函数f(x)=x2+2mx+1.
(1)若m=1,求f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值;
(2)若f(x)在[-2,2]上为单调函数,求m的取值范围;
(3)若f(x)在区间[-1,2]上的最大值为4,求实数m的值.
解:(1)当m=1时,f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,
所以f(x)在[-1,3]上的最大值是f(3)=16,最小值是f(-1)=0.
(2)因为f(x)在[-2,2]上为单调函数,
所以区间[-2,2]在f(x)对称轴x=-m的一边,
即-m≤-2,或-m≥2,
所以m≥2,或m≤-2.
所以m的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞).
(3)f(-1),f(2)中必有一个最大值,
若f(-1)=2-2m=4,则m=-1,
所以f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,符合f(-1)最大.
若f(2)=5+4m=4,则m=-,
所以f(x)=x2-x+1=(x-)2+,符合f(2)最大.
所以m=-1或m=-.
14.已知函数f(x)=,x∈[1,+∞).
(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围. 解:(1)当a=时,f(x)=x++2.
设1≤x1<x2,
则f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-),
因为1≤x1<x2,
所以x2-x1>0,2x1x2>2,
所以0<<,1->0,
所以f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2).
所以f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,
所以f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=.
(2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立⇔x2+2x+a>0恒成立. 设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),
则函数y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在区间[1,+∞)上是增函数. 所以当x=1时,y取最小值,
即y min=3+a,
于是当且仅当y min=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,
故a>-3,即a的取值范围为(-3,+∞).。