广东省惠州市惠阳高级中学2022年高三数学理模拟试题含解析

广东省惠州市惠阳高级中学2022年高三数学理模拟试
题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知抛物线，过点的直线交抛物线于点、，交y轴于点，若，，则（）
A．－1 B． C．1 D．—2
参考答案：
A
设直线：，代入得，
设，，由,得，同理，所以。

2. 已知，若，则
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
B
因为，所以，，
==
3. “”是“对任意实数，成立”的( )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
C
略
4. 已知全集{1，2，3，4，5，6}，{2，3，5}，{4，5}，则集合
∪=（）
A．{1，4，6} B．{1，2，3，6} C．{1，6} D．{2，3，4，5，6}
参考答案：
C
∪={2，3，4，5}，所以∪={1，6}，选择C。

5. 设函数的导函数为，对任意都有成立，则
A．B．
C．D．的大小不确定
参考答案：
C
略
6. sin160°cos10°+cos20°sin10°=( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】两角和与差的余弦函数；运用诱导公式化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式，求得所给式子的值．
【解答】解：sin160°cos10°+cos20°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin
=sin30°=，
故选：C．
【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式，属于中档题．
7. 函数的值域为
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
C
略
8. 已知双曲线的一条渐
近线与轴的夹角为,则此双曲线的离心率为
A. B. C.2 D.3
参考答案：
C
略
9. 设集合，，则（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
【答案解析】A 解析：, , 选A
【思路点拨】先化简集合M、N,然后再求.
10. 若点和点到直线的距离依次为1和2，则这样的直线有
A．1条B．2条C．3条D．4条
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知两点，，若抛物线上存在点使为等边三角形，则＝_________ ．
参考答案：
12. 在等比数列中，若，，则
.
参考答案：
13. 若变量满足，则的最大值为▲，
= ▲ .
参考答案：
8，
14. 设a＞0，b＞0，且a+b=1，则+的最小值为．
参考答案：
4
【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】根据基本不等式的应用，即可求+的最小值．
【解答】解：∵a+b=1，
∴+=（a+b）（+）=2+，
当且仅当，即a=b=时，取等号．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式成立的三个条件．
15. 在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为_________
参考答案：
【知识点】余弦定理．C8
【答案解析】解析：因为a2+b2=2c2，所以由余弦定理可知，c2=2abcosC，
cosC==×≥．故答案为：．
【思路点拨】通过余弦定理求出cosC的表达式，利用基本不等式求出cosC的最小值．16. 已知集合则
参考答案：
本题考查了交集的运算，属于容易题。

因为集合则.
17. 在这十个数字中任选四个不同的数，则这四个数能构成等差数列的概率是 .
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 为了解某市民众对政府出台楼市限购令的情况，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入（单位：百元）的频数分布及对楼市限购令赞成的人数如下表：
将月收入不低于55的人群称为“高收入族"，月收入低于55的人群称为“非高收入族"．（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，问能否在犯错误的概率不超过
0．01的前提下认为非高收入族赞成楼市限购令?
（2）现从月收入在[15，25）的人群中随机抽取两人，求所抽取的两人都赞成楼市限购令的概率。

附：
参考答案：
略
19. 设数列{a n}，{b n}，{c n}，已知，
．
（1）求b2，c2，b3，c3；
（2）求数列{c n﹣b n}的通项公式；
（3）求证：对任意n∈N*，b n+c n为定值．
参考答案：
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（1）直接由已知可得b2，c2，b3，c3的值；
（2）由a n+1=a n，a1=4，得，然后分别求出b n+1，c n+1，可得
，即数列{c n﹣b n}是首项为2，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式可得数列{c n﹣b n}的通项公式；
（3）由（2）知，，即
，结合b1+c1﹣8=0，可得b n+c n﹣8=0恒成立，即b n+c n为定值8．
【解答】（1）解：由已知可得；
（2）解：∵a n+1=a n，a1=4，∴，
∴，
则，
即数列{c n﹣b n}是首项为2，公比为的等比数列，
∴；
（3）证明：由（2）知，，
∴，
而b1+c1﹣8=0，
∴由上述递推关系可得，当n∈N*时，b n+c n﹣8=0恒成立，
即b n+c n为定值8．
20. 在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1，2，3，4的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出一个球，每个球被取出的可能性相等.
（1）请列出所有可能的结果；
（2）求取出的两个球的编号恰为相邻整数的概率；
（3）求取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4的概率.
参考答案：
（1）解：从甲、乙两个盒子中各取出一个球，所有可能的结果为：
，，，，，，，，，，，
，，，，，
共种情况.
（2）解：设“取出的两个球的编号恰为相邻整数”为事件，
事件的所有可能的结果为：
，，，，，，共种情况，
∴.
（3）解：设“取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于”为事件，
事件的所有可能的结果为：
，，，，，，，，，，，共种情况，
∴.
21. 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用局胜制（即先胜局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.
（Ⅰ）求甲以比获胜的概率；
（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于局的概率；
（Ⅲ）求比赛局数的分布列.
参考答案：
（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是
．………………1分
记“甲以比获胜”为事件，
则
．
………………4分
（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于局”为事件.
因为，乙以比获胜的概率为
，………………6分
乙以比获胜的概率为，………………7分所以
．
………………8分
（Ⅲ）解：设比赛的局数为，则的可能取值为．
，
………………9分
，
………………10分
，
………………11分
．
………………12分
比赛局数的分布列为：
………………13分
略
22. （2016?兴安盟一模）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρsin2θ=cosθ．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线L的参数方程为（t为参数），直线L与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．
参考答案：
【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）利用公式化简ρ2sin2θ=ρcosθ，得到曲线C的直角坐标方程；
（2）把直线的参数方程代入曲线C的普通方程中，得到方程t2+t﹣4=0；
由根与系数的关系得t1+t2，t1t2，求出|AB|=|t1﹣t2|．
【解答】解：（1）把代入ρ2sin2θ=ρcosθ中，
化简，得y2=x，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=x；
（2）把代入曲线C的普通方程y2=x中，
整理得，t2+t﹣4=0，且△＞0总成立；
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，
∵t1+t2=﹣，t1t2=﹣4，
∴|AB|=|t1﹣t2|==3．
【点评】本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应把参数方程与极坐标化为普通方程，再进行解答，是基础题．。