高考数学二轮复习 选择题“瓶颈”突破练 文(含解析)-人教版高三全册数学试题

选择题“瓶颈”突破练
1．已知x ＞0，y ＞0，a ＝(x ，1)，b ＝(1，y －1)，若a ⊥b ，则1x ＋4
y
的最小值为()
A ．4
B ．9
C ．8
D ．10
解析：依题意，得a ·b ＝x ＋y －1＝0⇒x ＋y ＝1. 1
x ＋4y
＝x ＋y x ＋4（x ＋y ）y ＝5＋y x ＋4x y
≥9.
当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝13，且y ＝2
3
时取等号． 答案：B
2．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中b 2
＝ac ，且sin C ＝2sin B ，则其最小内角的余弦值为()
A ．－
24B.24C.528 D.34
解析：sin C ＝2sin B ，得c ＝2b . 又b 2
＝ac ，所以b ＝2a ，则c ＝2a . 角A 是△ABC 的最小内角，
则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2a 2＋4a 2－a 242a
2
＝528. 答案：C
3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)与直线y ＝x ＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率
为
5
5，则椭圆C 的方程为() A.
x 216＋y 29＝1 B.x 25＋y 2
4
＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 225＋y 2
20
＝1 解析：把y ＝x ＋3代入椭圆的方程，得(a 2
＋b 2
)x 2
＋6a 2
x ＋9a 2
－a 2b 2
＝0，由于只有一个
公共点，所以Δ＝0，得a 2
＋b 2
＝9，又c a ＝55，所以b 2a 2＝45
，解得a 2＝5，b 2
＝4.
答案：B
4．设等差数列{a n }的公差不为0，其前n 项和为S n ，若(a 2－1)3
＋(a 2－1)＝2019，(a 2018
－1)3
＋(a 2018－1)＝－2019，则S 2019＝()
A ．0
B ．2
C ．2019
D ．4038
解析：设f (x )＝x 3
＋x ，易知f (x )在R 上的奇函数，且单调递增． 又f (a 2－1)＝2019，f (a 2018－1)＝－2019， 所以a 2－1＋a 2018－1＝0，则a 1＋a 2019＝a 2＋a 2018＝2. 故S 2019＝2019（a 1＋a 2019）
2＝2019.
答案：C
5．已知三棱锥PABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 满足AB ＝22，∠ACB ＝90°，
PA 为球O 的直径且PA ＝4，则点P 到底面ABC 的距离为()
A.2B ．22C.3D ．2 3
解析：取AB 的中点O 1，连接OO 1，如图，在△ABC 中，AB ＝22，
∠ABC ＝90°.
所以小圆O 1是以AB 为直径的圆，则O 1A ＝2，且OO 1⊥AO 1. 又球O 的直径PA ＝4，所以OA ＝2. 则OO 1＝OA 2
－O 1A 2
＝2， 且OO 1⊥底面ABC .
故点P 到平面ABC 的距离为2OO 1＝2 2. 答案：B
6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2，且f (0)＝1，若函数f (x )的图象关于
x ＝4
9
π对称，则ω的取值可以是()
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：因为f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，
所以由f (0)＝1，得sin φ＝1
2
.
又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6. 又因为f (x )关于x ＝4
9
π对称，
所以ω·49π＋π6＝π2＋k π，ω＝34＋9
4k ，令k ＝1，则ω＝3.
答案：C
7．若双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的中心为O ，过C 的右顶点和右焦点分别作垂直
于x 轴的直线，交C 的渐近线于A ，B 和M ，N ，若△OAB 与△OMN 的面积比为1∶4，则C 的渐近线方程为()
A ．y ＝±x
B ．y ＝±3x
C ．y ＝±2x
D ．y ＝±3x
解析：依题可知△AOB 与△MON 相似，由三角形面积比等于相似比的平方，得14＝a
2
c
2，
所以c a ＝2，即a 2＋b 2a 2＝4，所以b
a
＝ 3.
所以C 的渐近线方程为y ＝±3x .
答案：B
8．已知函数f (x )＝ln x x
，则()
A ．f (x )在x ＝e 处取得极小值1e
B ．f (x )有两个零点
C ．y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称
D ．f (4)＜f (π)＜f (3)
解析：易得f ′(x )＝1－ln x
x
2
(x ＞0)，令f ′(x )＝0，得x ＝e.所以当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0；当x ＞e 时，f ′(x )＜0.故f (x )在(0，e)上是增函数，在(e ，＋∞)上是减函数，而4＞π＞3＞e ，故f (3)＞f (π)＞f (4)．
答案：D
9．已知三个村庄A ，B ，C 构成一个三角形，且AB ＝5千米，BC ＝12千米，AC ＝13千米．为了方便市民生活，现在△ABC 内任取一点M 建一大型生活超市，则M 到A ，B ，C 的距离都不小于2千米的概率为()
A.25
B.35C ．1－π15D.π15
解析：易知AC 2
＝AB 2
＋BC 2
，则△ABC 是以B 为直角的直角三角形， 所以S △ABC ＝12×AB ×BC ＝1
2
×5×12＝30.
又分别以A 、B 、C 为圆心，以2为半径与△ABC 相交的三个扇形的面积S ＝12×22
×π＝2π.
所以所求事件的概率P ＝1－S
S △ABC ＝1－2π30＝1－π15
. 答案：C
10．(2019·某某师大附中模拟)已知平面α∩平面β＝直线l ，点A 、C ∈α，点B 、D ∈β，且A 、B 、C 、D ∉l ，点M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，则下列说法正确的是()
A ．当|CD |＝2|A
B |时，M 、N 不可能重合
B ．M 、N 可能重合，但此时直线A
C 与l 不可能相交 C ．当直线AB 、C
D 相交，但AC ∥l 时，BD 可与l 相交 D ．当直线AB 、CD 异面时，MN 可能与l 平行
解析：对于A ，当|CD |＝2|AB |时，若A 、B 、C 、D 四点共面且AC ∥BD 时，则M 、N 两点能重合，故A 不对；对于B ，若M 、N 两点可能重合，则AC ∥BD ，故AC ∥l ，此时直线AC 与直线l 不可能相交，故B 对；对于C ，当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 平行，故C 不对；对于D ，当AB 、CD 是异面直线时，MN 不可能与l 平行，从而D 不对．
答案：B
11．经过点(2，1)，且渐近线与圆x 2＋(y －2)2
＝1相切的双曲线的标准方程为() A.
x 2113
－y 211＝1 B.x 2
2－y 2
＝1 C.
y 2113－x 211＝1 D.y 211－x 2
113
＝1 解析：设双曲线的方程为mx 2
－ny 2
＝1(mn ＞0)． 将点(2，1)代入上式方程，得4m －n ＝1，① 双曲线的渐近线方程为
m
n
x ±y ＝0. 又圆x 2
＋(y －2)2
＝1与渐近线相切， 所以
21＋
m n
＝1，即m n
＝3.②
由①②联立得m ＝311，n ＝1
11，
故双曲线的标准方程为x 2113－y 2
11＝1.
答案：A
12．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，y ≤x ，3x －y ≤6，
则z ＝x 2＋y 2
的最小值是()
A ．1 B.2C ．2 D ．4
解析：作不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．
由x ＋y ＝2与y ＝x 联立得点A (1，1)， 因为直线x ＋y ＝2与y ＝x 垂直， 所以点A (1，1)到原点O 的距离最小，
因此z ＝x 2＋y 2的最小值为|OA |2
＝2. 答案：C
13．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，且cos A ＝－14，则b
c
＝()
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
解析：因为a sin A －b sin B ＝4c sin C ， 所以由正弦定理得a 2
－b 2
＝4c 2
，即a 2
＝b 2
＋4c 2
.
由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－（4c 2＋b 2）2bc ＝－3c 22bc ＝－1
4
，
因此b
c
＝6. 答案：A
14．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，若f ′(x )＞0，且∀x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，有
f （x 1）＋f （x 2）
2
＜f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22.
则下列选项中不一定．．．正确的一项是() A ．f (2)＜f (e)＜f (π) B ．f ′(π)＜f ′(e)＜f ′(2) C ．f (2)＜f ′(2)－f ′(3)＜f (3) D ．f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)
解析：由f ′(x )＞0，知f (x )在R 上单调递增，A 正确．∀x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，恒有
f （x 1）＋f （x 2）
2
＜f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22，
所以y ＝f (x )的图象是向上凸起的，如图所示．
因为f ′(x )反映了函数f (x )图象上各点处的切线的斜率，由图象可知f ′(π)＜f ′(e)＜f ′(2)，B 正确．f (3)－f (2)＝
f （3）－f （2）
3－2
，表示点A (2，f (2))与B (3，f (3))连线的
斜率，由图可知f ′(3)＜k AB ＜f ′(2)，故D 项正确，只有C 项无法判断，不一定正确．
答案：C
15．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，抛物线y 2
＝2px (p ＞0)与双曲线y 2a 2－x 2b
2＝
1的渐近线的交点(除原点外)到抛物线的准线的距离为8，则p 等于()
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率为1
2，
所以a 2－b 2a 2＝14，即b 2a 2＝34，所以a b ＝23
3.
双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线为y ＝±233
x ，
代入y 2
＝2px 中，得x ＝0(舍去)或x ＝32p .
由题意得3p 2＋p
2＝8，解得p ＝4.
答案：C
16．在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α.
有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α⊥平面BCFE .其中正确的命题有()
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
解析：直线AA 1∥平面α，平面α∩平面AA 1B 1B ＝EH ，
所以AA 1∥EH .
同理AA 1∥GF ，所以EH ∥GF . 又棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱，
易知EH ＝GF ＝AA 1，所以四边形EFGH 是平行四边形，故①正确． 若平面α∥平面BCC 1B 1，由面面平行性质，
知GH∥B1C1，
但GH∥B1C1不一定成立，因此②错误．
由AA1⊥平面BCFE，AA1∥EH，知EH⊥平面BCFE.
又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，③正确．答案：C。