2022模拟题汇编：函数与导数

2022届高三优质模拟试题分类汇编：函数与导数篇
题型1.选题压轴题
1.（2022南昌一模）．已知函数()()32
,,R f x x ax bx c a b c =+++∈，若不等式()0f x >的
解集为{},x x m x n >≠且，且1n m -=，则函数()f x 的极大值为（）A ．
14
B ．
427
C ．0
D ．
4
9
()()32,,R f x x ax bx c a b c =+++∈为三次函数，其图象可能情况有如下5种：
不等式()0f x >的解集为{},x x m x n >≠且，且1n m -=，故其具体图象为图1类，如下图：
()()10f m f m =+=，由于x n =为()0f x =的二重根，故可设
()()()()()2
21f x x m x n x m x m =--=--+⎡⎤⎣⎦，
()()()()()()
2
1211122f x x m x m x m x m x m x m '=-++---=----+-⎡⎤⎣⎦()()1331x m x m =----，
令()0f x '=，解得：1x m =+，或13x m =+，且当1,3x m ⎛
⎫∈-∞+ ⎝⎭或()1,x m ∈++∞上，
()0f x '>，当1,13x m m ⎛⎫
∈++ ⎪⎝⎭
，()0f x '<，故13x m =+是()f x 的极大值点，故极大
值为()2
1114133327f m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎡⎤
+=+-+-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
.
故选：B
2（绵阳三诊）e ln 21<；②3
2
9
e ln 32
>；③0.2e ln 3>．三个不等式中，正确的个数为（）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解：令()ln x f x x =
，则()2
1ln x
f x x -'=，所以当0e x <<时()0f x '>，即()f x 在()0,e 上单调递增，当e x >时()0f x '<，即()f x 在()e,+∞上单调递减；
因为0e 2e <<，所以()e 2f f <，
e ln 2
2e
<，1
2
e ln 22e 2ln e 1>==，
故①错误；
因为3
32
e e 3=>，所以()32e 3
f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即3
232
ln e ln 33e <，所以33223ln e e ln 3<，即329e ln 32>，
故②正确；
再令()e 1x g x x =--，则()e 1x
g x '=-，所以当0x >是()0g x '>，即()g x 在()0,∞+上
单调递增，所以()()00g x g >=，则()0.2
g 0.2e 0.210=-->，即0.2e 1.2>，
又1
0.4e >
，e 3<，所以()()e 3f f >，即ln e ln 3e 3>，即1ln 3e 3
>，所以ln 30.43>，即
1.2ln 3>，所以0.2e 1.2ln 3>>，即0.2e ln 3>，故③正确；
故选：C
3.（绵阳一诊）．函数()()3sin x x f ωϕ=+（0>ω，2π
ϕ<
），已知||33f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，且对于任意的R x ∈都有066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在52,369ππ⎛⎫
⎝⎭
上单调，则ω的最
大值为（）
A ．11
B ．9
C ．7
D ．5
【答案】D
4（绵阳二诊）．已知函数()sin f x x x =-，下列关于函数()f x 的说法正确的序号有________.
①函数()f x 在73,62ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增；
②2π是函数()f x 的周期；③函数()f x 的值域为[2,1]-；④函数()f x 在[2,2]ππ-内有4个零点.【答案】①③④
解析：∵函数()sin f x x x =，定义域为R ，
()()()
sin sin f x x x x x f x -=--==，∴()f x 为偶函数.
当73,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos 0x <，()sin 2sin 3f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
311326x πππ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦，，此时正弦函数为增函数，故①正确；
∵sin 0333f πππ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，
∴033f f ππ⎛⎫⎛⎫
-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
而52333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
∴2π不是函数()f x 的周期，故②错误；
当022x k ππ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭，或32222
k k π
πππ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，
，k ∈Z 时，cos cos x x =，
此时()sin 2sin 3f x x x x π⎛
⎫==-
⎪⎝
⎭
，
当32222x k k ππππ⎡⎫
∈++⎪⎢⎣⎭
，，k ∈Z 时，cos cos x x =-，
此时()sin 2sin 3f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝⎭，
故0x
时，2π是函数的一个周期，故考虑[]0,2x π∈时，函数的值域，
当02，π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()2sin 3f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()f x 单调递增，
()
;
f x ⎡⎤∈⎣⎦当3,22x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，53,362x πππ⎛⎫+∈
⎪⎝⎭，此时()f x 单调递减，()()2,1f x ∈-；
当322x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()2sin 3f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，75,363x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时()2,f x ⎡∈-⎣，综上可知，()[]2,1f x ∈-，故③正确；
由③知，02，π⎡⎤∈⎢⎣⎦
x 时，()002f f π⎛⎫
⋅< ⎪⎝⎭，且函数单调递增，故存在一个零点，
当726x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，7026f f ππ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，且函数单调递减，故存在一个零点，
其他区域无零点，
故当[]0,2x π∈时，函数有2个零点，
∵函数为偶函数，∴函数()f x 在[]2,2ππ-内有4个零点.故④正确；故答案为：①③④.题型2.恒成立问题
1（青岛一模）．已知函数()e sin cos x
f x x x ax =+--．
(1)若函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)设函数()()()ln 1g x f x x =--，若()0g x ≥，求a 的值．
解析：（1）由题意知()e cos sin x f x x x a
'=++-因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()e cos sin 0x
f x x x a '=++-≥，
即e cos sin x a x x ≤++对[)0,x ∈+∞恒成立
设()e cos sin x
h x x x =++，则()e sin cos 4x x h x x x e x π⎛⎫'=-+=-- ⎪
⎝
⎭
当02x π
≤<时，()e 110
4x
h x x π⎛⎫'=->-= ⎪⎝
⎭当
2
x π
≥
时，()2e e 0
h x π
'>--所以函数()e cos sin x
h x x x =++在[)0,∞+上单调递增
所以()()min 02
a h x h ≤==（2）由题知()()()()()
ln 1e sin cos ln 11x
g x f x x x x ax x x =--=+----<所以()1e cos sin 1x
g x x x a x
'=++-+-，()00
g =因为()0g x ≥，所以(),1x ∀∈-∞，()()0g x g ≥即()0g 为()g x 的最小值，0x =为()g x 的一个极小值点，
所以()0
1
0e cos 0sin 0010
g a '=++-+
=-，解得3a =当3a =时，()()()
e sin cos 3ln 11x
g x x x x x x =+----<
所以()1
1e cos sin 3e 3141x
x g x x x x x x π⎛
⎫'=++-+
++-+
⎪--⎝
⎭①当01x ≤<时，()11310g x '≥+-+=（当且仅当0x =时等号成立）所以()g x 在[)0,1上单调递增②当0x <时，若02
x π
-≤<，()11310g x '<+-+=；
若2
x π
<-
，()2
2132
e
3302222
g x πππ-
'<++
<-+<++所以()g x 在(),0∞-上单调递减
综上，()g x 在(),0∞-上单调递减，在[)0,1上单调递增所以当3a =时，()()00
g x g ≥=2.（2022成都一诊）
．已知函数()sin 2,f x x ax a R =-∈.（1）a ≥1
2时，求函数f （x ）在区间[0，π]上的最值；
（2）若关于x 的不等式f （x ）≤ax cos x 在区间（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围.解析：（1）由题意，()cos 2f x x a '=-.
21a ≥ ，∴当[0,]x π∈时， ()0f x '≤恒成立.
()f x ∴在[0,]π上单调递减.
∴当0x =时，()f x 取得最大值为0；当x π=时，()f x 取得最小值为2a π-.
(2)不等式()cos f x ax x ≤在区间(0,)+∞恒成立，即sin 2cos x ax ax x ≤+在区间(0,)+∞恒成立.即
sin 02cos x
ax x
-≤+在区间(0,)+∞恒成立.
∴当2
x π
=
时，有
sin
2
022cos
2
a πππ-
≤+成立，即1a π
≥.设sin (),(0,)2cos x
g x ax x x =
-∈+∞+.
则2
2cos 1
()(2cos )x g x a x '
+=
-+.
设2
2cos 1
()(2cos )x h x x +=
+，令2cos 1,[1,3]t x t =+∈-.
当0=t 时，()0h x =；当0t ≠时，
244
9696t y t t t t
=
=++++，即1()[1,0)0,3h x ⎛⎤∈-⋃ ⎥⎝⎦
.
1()1,3h x ⎡⎤
∴∈-⎢⎣⎦
.
①当13a ≥时，2
2cos 1()0(2cos )x g x a x '
+=-≤+，即sin ()2cos x g x ax x
=-+在区间(0,)+∞上单调递减，∴当,()0x ∈+∞时，()(0)0g x g <=，符合题意；
②当1
13a π≤<时，函数2cos 1t x =+在20,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，函数4
96y t t
=++在(0,3)t ∈上单调递增.
∴函数22cos 1()(2cos )x g x a x '
+=
-+在20,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减.又12(0)0,033g a g a π''⎛⎫
=->=-< ⎪⎝⎭
，
020,3x π⎛⎫
∴∃∈ ⎪⎝⎭
，使得()00g x '=.
且当()00,,()0x x g x '
∈>，即()g x 在()00,x 上单调递增，此时()0(0)0g x g >=，不符合
题意.
综上所述，a 的取值范围是1,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
.
题型3.零点问题
1.（2022T8第二次联考）已知函数()()()2
ln ,0f x x ax x x a a =-+∈>R .
(1)若1是函数()f x 的极值点，求a 的值；
(2)若01a <≤，试问()f x 是否存在零点.若存在，请求出该零点；若不存在，请说明理由.
(3)若()f x 有两个零点，求满足题意的a 的最小整数值.（参考数据：ln 20.693≈，
1.649
≈
解：因为函数()()()2
ln ,0f x x ax x x a a =-+∈>R ，
所以()()()
2
12ln 1f x x a x x ax x
'=-+-⋅+，
()2ln 1x a x x a =-+-+，
因为1是函数()f x 的极值点，所以()()12ln1110f a a '=-+-+=，解得2a =，经检验符合题意；(2)
当1a =时，()()()()2
ln 1ln 10f x x x x x x x x x =-+=-+>⎡⎤⎣⎦，
令()()1ln 1h x x x =-+，则()()1ln 1
ln 1x x x h x x x x x
+-'=+-⋅=，()110h a '=-=，因为()211
0h x x x
''=
+>，则()h x '在()0,∞+上递增，所以当()0,1x ∈时，()0h x '<，当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，所以()()110h x h ≥=>，则()h x 无零点，即()f x 无零点；
当01a <<，()()()()2
ln ln 10f x x ax x x x x a x x =-+=-+>⎡⎤⎣⎦，
令()()ln 1h x x a x =-+，则()()1ln ln x x x a h x x x a x x +-'=+-⋅=，()1110,e 0e h a h a ⎛⎫
''=->=-< ⎪⎝⎭
，因为()210a
h x x x
''=
+>，则()h x '在()0,∞+上递增，
所以存在0x 1,1e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
有()()00001
ln 0h x x x a x '=+-⋅=，即000ln x x x a +=，
当01,e x x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0h x '<，当()0,1x x ∈时，()0h x '>，且
()1110,110e e h a h ⎛⎫
=-+>=> ⎪⎝⎭
，
又()()2
0001ln h x x x =-，令()()2
1ln r x x x =-，
则()()()()()2
2
1ln 2ln ln 2ln r x x x x x x x
'=--⋅⋅
=--，令()ln 1,0t x =∈-，则()2
22110y t t t =--=-++>成立，
所以()r x 在1,1e ⎛⎫
⎪⎝⎭
上递增，
所以()1110e e r x r ⎛⎫
>=-> ⎪⎝⎭
，即()00h x >，所以()h x 无零点，即()f x 无零点；
(3)
令()()2
ln 0f x x ax x x =-+=，因为()110f =≠，
可转化为1ln a x x
=+
，若()f x 有两个零点，则1
,ln y a y x x
==+有两解，令()1ln g x x x
=+
，则()()211ln g x x x '=-，()()322ln ln x g x x x +''=，当210,e x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>，()g x '递增，当21,1e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0g x ''<，()g x '递减，
所以()2
2
1e 10e 4g x g ⎛⎫''≤=-< ⎪
⎝⎭
，所以()g x 在()0,1上递减，
又在()1,+∞上，()0g x ''>，则()g x '递增，又
()()
()
2
2
22
119112110,11042ln 220.693993ln 3ln 442g g ⎛⎫
''=-
<-
<=-=-> ⎪⎝⎭⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以存在092,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有()()02
00110ln g x x x '=-=
，即0ln x 当0x x =时()g x 取得极小值(
)001524g x x ⎛
⎫=++ ⎝
⎭，
所以a 的最小整数值是4.2.（2022T8联考）
已知函数x x x a x f +-=sin ln )(，其中a 为非零常数.
（1）若函数)(x f 在区间),0(+∞上单调递增，求a 的取值范围；（2）设)2
3,
(π
πθ∈，且θθθsin 1cos +=，证明：当0sin 2<<a θθ时，函数)(x f 在上恰有两个极值点.
10
题型4.双变量问题
1.（2022成都二诊）．已知函数()21e 22
x
f x ax ax =--，其中a R ∈.
（1）若函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，求a 的取值范围；
（2）若函数()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <，当1253e 3ln24,e 1x x -⎡
⎤+∈-⎢⎥-⎣⎦
时，求2122x x ++的
取值范围.
解析：（1）因为()21e 22
x
f x ax ax =--，所以()'e 2x f x ax a =--，
因为函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()'e 20x
f x ax a =--≥在[)0,∞+上恒成立，
所以e 2x
a x ≥+在[)0,∞+上恒成立，故令()[)e ,0,2x g x x x ∞=∈++，则()()()
'2
1e 02x x g x x +=>+在[)0,∞+上恒成立，所以()e 2
x
g x x =+在[)0,∞+上单调递增，故()()102g x g ≥=，所以12a ≤，
即a 的取值范围是1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦.
（2）()'e 2x
f x ax a =--，对函数()()'e ,e x x h x h x ==，设()h x 上一点为()
00,e x x ，
过点()
00,e x x 的切线方程为()000e e x x
y x x -=-，将()2,0-代入上式得
()0000e e 21x x x x -=--⇒=-，所以过()2,0-的()h x 的切线方程为()1112
1,e e e e y x y x -=+=+.
所以，要使e x y =与2y ax a =+有两个交点，则1
e
>a ，此时()f x 有两个极值点12,x x ，且
1221x x -<<-<.112122112122e 20e 22
,e 2
e 20e 2x x x x x x ax a ax a x x ax a ax a -⎧⎧--==++⇒=⎨⎨+--==+⎩⎩，令2122x t x +=+，则()1,t ∈+∞，所以1122e tx x t t -+-=，所以1122ln tx x t t -+-=，即12ln ln 2,211
t t t
x x t t +=
+=--所以12(1)ln 41t t
x x t ++=
--，令()()()
'21
2ln (1)ln 4,11
t t t t t m t t t m t --+=--=-，令()()()2
'22
11212ln ,10t t t n t t t t n t t ---=-+==
>，所以()n t 在()1,+∞上递增.
因为()10n =，所以()0n t >在()1,+∞上恒成立.所以()'
0m t >在()1,+∞上恒成立.
所以()m t 在()1,+∞上递增.()()53e e 23ln 24,e 1m m --=
-=，所以当()e 13ln 2,e 1m t +⎡
⎤∈⎢⎥-⎣⎦
时，
[]2,e t ∈，所以
212
2
x x ++的取值范围是[]2,e .
2.（2022深圳二模）．设函数22()e 22x f x x ax ax a a =--+-，其中a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当()f x 存在小于零的极小值时，若12,0,2x x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且()()112sin cos f x f x x <，证明：
12x x >．
解析：（1）由()()()()
22e 221e 2x x
f x x ax ax a a f x x a =--+'-⇒=+-①当0a ≤时，()()'
01f x x f x >⇒>-⇒在()1,-+∞上为单调递增函数.
()()'01f x x f x <⇒<-⇒在(),1-∞-上为单调递减函数.
②当0a >时，令()'
1201,ln 2f x x x a
=⇒=-=（i ）当121x x ==-时，12e a =
，()()'
11x f x x e e ⎛⎫=+- ⎪
⎝
⎭当1x <-时，110,e 0e
x
x +<-<，此时()'0f x >；
当1x >-时，1
10,e 0e
x
x +>-
>，此时()'0f x >；当1x =-时，1
10,e 0e
x
x +=-
=，此时()'0f x =；∴当12a e
=
时，()'
0f x ≥恒成立，故()f x 在R 上为单调递增函数（ii ）当1212e
x x a
⇒时，()'
01f x x >⇒<-或ln 2x a >，()'01ln 2f x x a <⇒-<<，故()f x 在(),1-∞-和()ln 2,a +∞上为单调增函数，在()1,ln 2a -上为单调减函数.(iii)当12102x x a e
>⇒<<
时，()'
0ln 2f x x a >⇒<或1x >-，()'0ln 21f x a x <⇒<<-，故()f x 在()ln 2,1a -上为单调增函数，在(),ln 2a -∞和()1,-+∞上为单调减函数.
综上所述：当0a ≤时，()f x 在()1,-+∞上为单调递增函数.在(),1-∞-上为单调递减函数.当
0a >时，若12e a =
，()f x 在R 上为单调递增函数；若1
2e
a >，()f x 在(),1-∞-和()ln 2,a +∞上为单调增函数，在()1,ln 2a -上为单调减函数；若1
02e
a <<，()f x 在()ln 2,1a -上为单调增函数，在(),ln 2a -∞和()1,-+∞上为单调减函数.（2）当()f x 存在小于零的极小值时，1
2e
a <
，此时()f x 在()0,∞+上为单调递增函数，
()()112112
sin cos sin cos f x f x x x x x <⇒<1111
2
1
sin cos sin cos x x x x x x ⇔<⇔
<令()()2'
2
sin cos sin sin cos x x x x x x g x x g x x x -+=-⇒=
令()()2'2
cos sin sin cos sin 0
u x x x x x x u x x x x x =-+⇒=+>∴()u x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，而()00
u =∴()0u x >∴()()'0g x g x >⇒在在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增
()00cos cos sin sin cos lim lim 0
1
x x x x x x x x x x →→---==()sin 0cos x
g x x x ∴>⇒>，从而11122111sin sin cos cos cos cos x x x x x x x x >⇒<⇒> cos y x =在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，12x x ∴>.
3.（2022佛山二模）．已知函数()2122x x
e x
f x e a
-+=+.其中e 为自然对数的底数.（1）当1
2
a =-时，求()f x 的单调区间：
（2）当0a >时，若()f x 有两个极值点12,x x ，且()()122lna f x f x k f ⎛⎫
+>⋅ ⎪⎝⎭
恒成立，求k 的
最大值.
解析：（1）对()f x 求导得'
2111
()x x f x e e a
=
-+当12a =-时，()()()222221111122x x x x x x x x
e e e e
f x e e e e -+--=--==-
'当210x e ->，即ln 2x >-，'()0f x <；当2e 10x -<，即ln 2x <-，'()0f x >；
故当1
2
a =-时，()f x 的递增区间为(,ln 2)-∞-，递减区间为(ln 2,)-+∞.
（2）当0a >时，由（1）知'
2111()x x f x e e a
=
-+令1(0)x t t e =
>，则2
10t t a
-+=的两个不等实数解为121211,x x t t e e ==
故12124Δ=10,01
11111x x x x a a e
e e e a ⎧->>⎪⎪
⎪+=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩即12124,,x x x x a e e a e a +>+==（或12ln x x a +=）
()()1122122221111122x x x x x x e e e a
f x a e f x --++++++=
12122211112x x x x e e a +⎛⎫
=-+++
⎪⎝⎭
1212112x x a a +⎛⎫
=--++ ⎪⎝⎭11ln 2a a +=
+1
ln 2ln ln 12ln 12ln 2222a a a e a a f e a a -+-+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
故不等式()()122lna f x f x k f ⎛⎫+>⋅ ⎪⎝⎭恒成立
⇔11l l 2n 21n a a k a
a -+⋅++
>恒成立（*）由于4a >
，故1ln 3ln 4a -+>+，故（*
）k ⇔
>恒成立
令()a ϕ=则
'()1ln a a
ϕ
=
-+
)
()
2
221ln a a
-++
⎝⎭
=
-+
01ln a
=
-+()a ϕ是(4,)+∞上的增函数，62ln 4
()(4)23ln 4
a ϕϕ+>=
=+2k ∴≤，即k 最大值为2.
4.（2022绵阳三诊）．函数()()ln 11f x x x a x =-++．（1）若函数()f x 有2个零点，求实数a 的取值范围；
（2）若函数()f x 在区间[]1,e 上最大值为m ，最小值为n ，求m n -的最小值．解析：()f x 的定义域为(0,)+∞，1
()ln (1)ln f x x x a x a x
'=+⋅-+=-，
当0e a x <<时，()0f x '<，当e a x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,e )a 上为减函数，在(e ,)a +∞上为增函数，
所以当e a x =时，()f x 取得最小值，为(e )e ln e (1)e 1a a a a f a =-++=1e a -，因为当x 趋近于0时，()f x 趋近于1，当x 趋近于正无穷时，()f x 也趋近于正无穷，所以要使函数()f x 有2个零点，则1e 0a -<，解得0a >.（2）()ln f x x a '=-，[1,e]x ∈，ln [0,1]x ∈，
（i ）当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在区间[1,e]上为增函数，
所以(e)1e m f a ==-，(1)n f a ==-，所以(1e)1m n a -=-+，令()(1e)1p a a =-+，则函数()p a 在区间(,0]-∞上单调递减，所以()p a 的最小值为(0)1p =，即m n -的最小值为1.
（ii ）当1a ≥时，()0f x '≤恒成立，函数()f x 在区间[1,e]上单调递减，所以(1)m f a ==-，(e)1e n f a ==-，所以(e 1)1m n a -=--，令()(e 1)1h a a =--，则函数()h a 在区间[1,)+∞上单调递增，所以()h a 的最小值为(1)e 2h =-，即m n -的最小值为e 2-.
（iii ）当01a <<时，由()0f x '>，得e e a x <≤，由()0f x '<，得1e a x ≤<，所以函数()f x 在区间[1,e )a 上单调递减，在区间(e ,e]a 上单调递增，所以(e )1e a a n f ==-，①当
1
1e 1
a ≤<-时，(1)(e)(e 1)10f f a -=--≥，此时(1)m f a ==-，所以(1)(e )e 1a a m n f f a -=-=--，令()e 1a a a ϕ=--，则()e 10a a ϕ'=->，所以函数()a ϕ在区间1[
,1)e 1-上单调递增，所以函数()a ϕ的最小值为1()(1)e 2e 1
ϕϕ<=--，所以m n -的最小值为1
1
e 1e 111e
()e 1e e 1e 1e 1
ϕ--=--=-
---.②当1
0e 1
a <<-时，(1)(e)(e 1)10f f a -=--<，所以(1)1e m f a ==-，
所以(e)(e )e e a a m n f f a -=-=-，令()e e a q a a =-，则()e e 0a q a '=-<，
所以函数()q a 在区间1(0,)e 1-上单调递减，所以1
e 11e ()()e e 1e 1
q a q ->=---，综上所述：m n -的最小值为1
e 1e
e e 1
---.
5．（2022佛山二模）设函数()2e 2e 2x x f x a =-+.
（1）若()f x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围；（2）若函数()()21e 2e 2e 2
x
x x g x a a -=
+--有两个极值点12,x x ，证明：
()()212112g x g x x x a ->--.解析：令e x s =，则()f x 有2个零点，等价于2220as s -+=存在两个正根，则有Δ480
2
0a a
=->⎧⎪⎨>⎪⎩，解得1
02a <<，
所以使得()f x 有两个零点的a 的取值范围是10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
.
（2）依题意，()()()()22e 2e 2e e e 1e 2e 2x x x x x
x x g x a a a --'=+-+=+-+，
因为e 0x ->，e 10x +>，且()g x 有两个极值点12,x x ，则12,x x 为2e 2e 20x x a -+=的两个不同
解，由（1）知102
a <<，且122e e x x a +=
，122e e x x
a
=，不妨设21x x >，()()()()()()
21212
1
222121211e e 2e e 2e
e
2x x x x x x a a g x g x x x x x -
-
-+-----=
--()()()()()12212121
2121
e e 1e e e e 2e e 22e e x x x x x x x x x x a a x x --++---=
-()()()2
1212121
1
2e e e +e 22
e e x x x x x x a a x x ⎡⎤-+-+⎢⎥
⎣⎦=
-()()()
2
1212121
12e
e 2e e 221x x x x
a a a a a x x x x ⎡⎤-⋅+-+⎢⎥-⎣⎦=
=⋅---，
要证明()()212112g x g x x x a ->--，只需证()2121e e 2121x x a a x x a --⋅->-，而1
02a <<，即210a -<，
只需证2121e e 1x x x x a -<-，因12
2e e x x a +=，只需证212121e e e +e 2x x x x x x -<-，两边同除以1e x 得
212121e 1e 12
x x x x x x ---+<-，因为21x x >，只需证()()()2121212e 1e 1x x x x x x ---<+-，
设()210x x t t -=>，令()(e 1)2e 2t t h t t =+-+，0t >，则()()e 11t
h t t '=-+，令
()()()e 11t t h t t ϕ'==-+，
则()e 0t
t t ϕ'=>，即()t ϕ在()0,∞+上单调递增，则有()()()00h t t ϕϕ'=>=，
因此，()h t 在()0,∞+上单调递增，即()()00h t h >=，当0t >时，(e 1)2(e 1)t t t +>-，
取21t x x =-，21x x >，从而有()()()2121212e 1e 1x x x x
x x ---<+-成立，。