2020届吉林省延边市第二中学高三入学考试数学(理)试题(解析版)

2020届吉林省延边市第二中学高三入学考试数学（理）试题
一、单选题
1．设i 是虚数单位，复数3
2
i i
z =-，则z = ( ) A ．i - B ．3i -
C ．i
D ．3i
【答案】A
【解析】先化简复数z ，然后再求解它的共轭复数. 【详解】 因为3
2
i i 2i =i i
z =-=-+，所以z i =-.故选A. 【点睛】
本题主要考查复数的运算及共轭复数，一般思路是先化简复数为最简形式，结合共轭复数的定义可求，侧重考查数学运算的核心素养. 2．命题000:R,tan p x x x ∃∈>的否定是（ ） A ．000,tan x R x x ∃∈≤ B ．,tan x R x x ∀∈< C ．,tan x R x x ∀∈≤ D ．000,tan x R x x ∃∈<
【答案】C
【解析】根据含有量词的命题的否定形式求解,改变量词否定结论. 【详解】
命题000:R,tan p x x x ∃∈>的否定是R,tan x x x ∀∈≤，故选C. 【点睛】
本题主要考查含有量词的命题的否定形式，含有量词的命题的否定形式求解,一是要改变量词，二是要否定结论.
3．函数y
A ．[1，＋∞）
B ．（
2
3
，＋∞） C ．[
2
3
，1] D ．（
2
3
，1] 【答案】D
【解析】要使函数有意义，需使12
log (32)0x -≥，即
032 1.x <-≤解得
2
1.3
x <≤故选D
4．用数学归纳法证明“63
3
123,*2
n n n n N ++++⋅⋅⋅+=∈ ”，则当 1n k =+时，左
端应在n k =的基础上加上（ ） A ．(
)(
)
3
3
312(1)k k k ++++
++
B ．(
)(
)
()
3
3
3121k k k k ++++
+++
C ．3
(1)k + D ．
63
(1)(1)2
k k +++ 【答案】A
【解析】写成n k =的式子和1n k =+的式子，两式相减可得. 【详解】
当n k =时，左端式子为3123k +++⋅⋅⋅+，
当1n k =+时，左端式子为3
3
3
3(1)(12312())k k k k ++++++++⋅⋅⋅+++，
两式比较可知增加的式子为(
)(
)
3
3
312(1)k k k ++++++.故选A.
【点睛】
本题主要考查数学归纳法，从n k =到1n k =+过渡时，注意三个地方，一是起始项，二是终止项，三是每一项之间的步长规律，侧重考查逻辑推理的核心素养.
5．曲线2
2:914x
C y +=经过伸缩变换123x x y y
⎧=⎪⎨
⎪='⎩'后，对应曲线的方程为( ) A ．2
281116
x y ''+= B ．221x y ''+=
C ．2
2
16181
y x '+=' D ．22811x y +''=
【答案】B
【解析】利用伸缩变换123x x
y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'解出213x x y y ''=⎧⎪⎨=⎪⎩
，代入曲线方程可得.
【详解】
由123x x y y ⎧
=⎪⎨⎪='⎩'可得213x x y y ''=⎧⎪⎨=⎪⎩
代入曲线方程可得22
1x y ''+=.故选B.
【点睛】
本题主要考查坐标系的变换，利用变换规则和变换之前的方程可得新方程，侧重考查数学运算的核心素养.
6．已知()()()()5
2
5
01251111x a a x a x a x -=+++++++，则2a =（ ）
A ．20
B ．20-
C ．80
D ．80-
【解析】先由()()()55
5
11221x x x ⎡⎤⎡⎤-=+-=-++⎣⎦⎣⎦，再由其展开式求出第三项系数即可. 【详解】
解：因为()()()55
5
11221x x x ⎡⎤⎡⎤-=+-=-++⎣⎦⎣⎦
第三项为()
()
3
2
2521C x -+
所以()3
225280a C =-=-
故选：D. 【点睛】
本题考查了二项式定理的系数问题，属于基础题.
7．某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102），已知P （95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ） A ．10 B ．9
C ．8
D ．7
【答案】B
【解析】由题，先根据正态分布的公式求得分数在115以上的概率，即可求得人数. 【详解】
∵考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102）． ∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称， ∵P （95≤ξ≤105）=0.32， ∴P （ξ≥115）=
1
2
（1-0.64）=0.18， ∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9 故选：B ． 【点睛】
本题考查了正态分布，熟悉正态分布的性质是解题的关键，属于基础题.
8．某次演出共有6位演员参加，规定甲只能排在第一个或最后一个出场， 乙和丙必须排在相邻的顺序出场，请问不同的演出顺序共有（ ） A ．24种 B ．144种 C ．48种 D ．96种
【答案】D
【解析】先安排甲有2种方案，再安排乙和丙有2
1
24A A 种方案，最后安排剩余的三个演员有3
3A 种方案，根据分步计数原理可得.
第一步，先安排甲有1
2A 种方案；第二步，安排乙和丙有2
1
24A A 种方案；第三步，安排剩
余的三个演员有3
3A 种方案，根据分步计数原理可得共有1213
224396A A A A =种方案.故选
D. 【点睛】
本题主要考查计数原理，先明确是利用分步计数原理还是分类计数原理，再求解每一步不同的方案，特殊元素，特殊位置优先考虑安排，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
9．已知函数()x
x
f x e e -=-，若()()22lo
g 12log 0f m f m +->，则实数m 的取值范
围是（ ） A ．(),2∞－ B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()0,1
D ．()0,2
【答案】D
【解析】先求解函数的奇偶性和单调性，把条件转化为对数不等式求解. 【详解】 因为()()e e x
x f x f x --=-=-，所以是奇函数，因为e 0()e x x f x -'=+>，所以是
增函数.
因为()()22log 12log 0f m f m +->，所以
()()()222log 12log 2log 1f m f m f m >--=-，
所以22log 2log 1m m >-，解得02m <<.故选D. 【点睛】
本题主要考查函数性质的综合应用，综合利用奇偶性和单调性把抽象不等式转化为具体不等式求解，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
10．甲乙两人从1,2,3, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅15这15个数中，依次任取一个数（不放回），则在已知甲取到的数是5的倍数的情况下，甲所取的数大于乙所取的数的概率是（ ） A ．
1
2
B ．
715
C ．
914
D ．
815
【答案】C
【解析】利用条件概率的公式求解或者转化为古典概率求解. 【详解】
设事件A=“甲取到的数是5的倍数”，B=“甲所取的数大于乙所取的数”，
则31()155P A =
=，49149()151470
P AB ++==⨯， ()9
(|)()14
P AB P B A P A =
=,故选C.
【点睛】
本题主要考查条件概率的求解，熟记条件概率的求解公式是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.
11．大衍数列，来源于中国古代著作《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，其前
10项为：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50. 通项公式：221
,2
,2
n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇函数为偶函数，
如果把这个数列{}n a 排成如图形状，并记(,)A m n 表示第m 行中从左向右第n 个数，则(10,2)A 的值为（ ）
A ．3444
B ．3612
C ．3528
D ．1280
【答案】A
【解析】先求解前9行共用多少项，然后确定(10,2)A 是数列的第几项，代入通项公式可得. 【详解】
根据题意前9行共有1351781++++=L 项，(10,2)A 是第83项，
283831
34442
a -==，故选A.
【点睛】
本题主要考查数列项的求解，明确项数是求解本题的关键，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
12．函数()122x x b
f x a
+-=+是R 的奇函数， ,a b 是常数．不等式
()()
33920x x x f k f ⋅+--<对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围为（ ）
A ．1k <
B ．11k -<<
C ．1k ≤-
D ．11k -≤<
【答案】A
【解析】先根据奇偶性求出,a b ，然后判断函数的单调性，结合性质把
()()
33920x x x f k f ⋅+--<
转化为2313x
x k <+-，求解2313
x
x y =+-的最小值可得. 【详解】
因为()122x x b
f x a
+-=+是R 的奇函数，所以1(0)02b f a -=
=+，所以1b =； 因为(1)(1)f f -=-，所以可得2a =，
此时()121121212
()(1)22221221
x x x x x f x +-+-===-+++，易知为增函数.
因为(
)()()
3
3
92392x
x
x x x f k f f ⋅<---=-++
所以3392x x x k ⋅<-++，即2
133
x
x k -++<，
因为2
3113x
x
y =+-≥，所以1k <.故选A. 【点睛】
本题主要考查函数性质的综合应用，综合利用奇偶性和单调性把抽象不等式转化为具体不等式求解，恒成立问题一般是转化为最值问题求解，最值问题常用基本不等式求解，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
二、填空题
13．已知m R ∈,设复数22(23)(1)i z m m m =--+-．若复数z 为纯虚数，实数
m =_______.
【答案】3
【解析】利用复数是纯虚数的特点求解，22
230,10m m m --=-≠可得m 的取值.
【详解】
因为z 为纯虚数，所以22
230
10m m m ⎧--=⎨-≠⎩
，解得3m =.
【点睛】
本题主要考查纯虚数的概念，复数a bi +是纯虚数则有0a =且0b ≠，侧重考查数学运算的核心素养.
14．将5本不同的书分给4人,每人至少1本,不同的分法种数有_______.(用数字作答) 【答案】240
【解析】将5本不同的书分给4人,每人至少1本,则必有一人得2本书，先选出2本书作为一组，其余每本书作为一组，然后再分配到人即可. 【详解】
先选择2本书作为一组有2
5C 种选法，其余3本书每本一组，把这四组书分配给4个人
有44A 种分法，所以共有24
54240C A =种分配方案.
【点睛】
本题主要考查排列组合的综合，分组问题一般是先分好组，然后再进行分配，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
15．已知()()
2
log (0a f x ax x a =->且1a ≠）在[]
2,4上是增函数，则实数a 取值范
围是____ . 【答案】()1,+∞
【解析】利用复合函数的单调性，分别研究2
log ,a y t t ax x ==-的单调性.
【详解】
设2t ax x =-，则log a y t =，因为0a >，所以2t ax x =-开口向上且在1(,)a
+∞为
增函数，若使()f x 在[]2,4上是增函数，则有112a a >⎧⎪
⎨<⎪⎩
,解得1a >. 【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性，复合函数单调性的问题，一般是拆分成基本初等函数，结合“同増异减”的策略求解，同时需要注意函数的定义域，侧重考查逻辑推理和数学抽象的核心素养.
16．下列四个结论中，错误的序号是___________.①以直角坐标系中x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C
的方程为2
2sin()2804
a π
ρρθ-+
+-=，若曲线C 上
则实数a 的取值范围是()()3,11,3--⋃；
②在残差
图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域宽度越宽，说明模型拟合精度越高；③设随机变量~(2,),~(3,)B p B p ξη，若
5(1)9
P ξ≥=，则6
(2)27P η≥=；④已知n 为满足
12327
27272727(3)S a C C C C a =++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≥能被9整除的正数a 的最小值，则1()
n x x
-的展开式中，系数最大的项为第6项. 【答案】234
【解析】对于①，把极坐标方程化为直角坐标方程，结合圆心与原点的距离关系可求； 对于②，带状区域宽度越宽，说明模型拟合误差越大； 对于③，先利用5
(1)9
P ξ≥=
求出p ，然后再求(2)P η≥； 对于④，先求出n ，再利用二项式定理的通项公式求解系数最大的项. 【详解】
对于①，2
2sin()2804
a π
ρρθ-+
+-=化为直角坐标方程为
22
()()8x a y a -+-=，半径为
因为曲线C <，解得
()()3,11,3a ∈--⋃，故①正确；
对于②，带状区域宽度越宽，说明模型拟合误差越大，故②错误； 对于③，122
225
(1)(1)9P C p p C p ξ≥=-+=
，解得13
p =；2233
33(2)(1)27
7
P C p p C p η≥=-+=
，故③错误； 对于④，12327279
272727272181S a C C C C a a =++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=+-=+-， 而9909188999998(91)999C C C C =-=-+
+-，所以11n =，
所以11
1()x x
-的系数最大项为第7项，故④错误；综上可知②③④错误. 【点睛】
本题主要考查命题真假的判定，涉及知识点较多，知识跨度较大，属于知识拼盘，处理方法是逐一验证是否正确即可.
三、解答题
17．（1）计算：7
log
3
log 2lg 25lg167+++；
（2）若函数1
()2
ax f x x +=
+在区间()2+-∞，
上是减函数求实数a 的取值范围. 【答案】（1）25
3；（2）
12
-∞（，）. 【解析】（1）利用对数的运算公式求解；
（2）利用导数在区间()2+-∞，
恒成立可求. 【详解】
（1）7
71log 2log 2223
3
3log 2lg 25lg167log 32lg 5lg 47=++++++
7424log 1lg(54)73=+⨯+=125
4433
++=
. （2）1
()2
ax f x x +=
+，22(2)(1)21()(2)(2)a x ax a f x x x +-+-'==++
因为()f x 在区间()2+-∞，
上是减函数，所以()0f x '≤在区间()2+-∞，恒成立， 所以12a ≤
，当12a =时，1()2f x =不合题意，所以实数a 的取值范围是
1
2
-∞（，）. 【点睛】
本题主要考查对数的运算及函数单调性的应用，熟练记忆对数公式是求解的关键，根据单调性求解参数时，一般是结合导数，转化为恒成立问题.
18．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性均为1
2
． (1)求甲以4比0或4比1获胜的概率； (2)求比赛局数X 的分布列及均值． 【答案】（1）
316；(2) 分布列见解析，
93
16
. 【解析】(1)分别求解甲以4比0和4比1获胜的概率，然后求和可得；
（2）先求解比赛局数X 的所有取值，再分别求解每个取值所对应的概率，列出分布列，求出均值. 【详解】
（1)由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是
1
2
. 甲以4比0或4比1获胜的概率P(A)＝3
43
4
341111113
C 222281616
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭·
（2）设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7．
44411(4)2()28P X C ===，33
4341111(5)2()()2224
P X C -==⋅⋅=，
335351115(6)2()()22216P X C -==⋅⋅=，33
6361115(7)2()()22216
P X C -==⋅⋅=，
比赛局数的分布列为
E(X)=115593456784161616
⨯
+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题主要考查独立事件的概率及随机变量的分布列和均值，随机变量的分布列的求解一般是先求随机变量的可能的取值，然后求解每个取值对应的概率，列出分布列.均值的求解一般是代入公式可得，侧重考查数学建模的核心素养.
19．在平面直角坐标系中, 圆M 的方程22
40x y y +-=,以直角坐标系中x 轴的正半轴
为极轴的极坐标系中, 直线l 的极坐标方程为cos sin 0ρθρθ-+=. (1)写出直线l 的直角坐标方程；
（2）若直线1l 过点()2,0P 且垂直于直线l ，设1l 与圆M 两个交点为,A B ,求
11
PA PB
+的值.
【答案】(1)0x y -+=；（2.
【解析】(1)利用cos ,sin x y ρθρθ==可得直线l 的直角坐标方程； （2）先求直线1l 的方程，然后转化为参数方程，联立结合韦达定理可求. 【详解】
（1）极坐标方程cos sin 0ρθρθ-+=， 其中sin ,cos y x ρθρθ== ,
所以直线l 的直角坐标方程为0x y -+= .
（2）直线0x y -的斜率为1，所以过点P （2，0）且垂直于0x y -+=的直
线的参数方程为32cos 43sin 4x t y t ππ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数） 代入
2240x y y +-=
整理得240t -+=
设方程的两根为12,t t ，
则有12124t t t t +==
由参数t 的几何意义知|PA|+|PB|=12t t +，|PA|⋅|PB|=12t t
所以
11PA PB
+PA PB PA PB
+==⋅【点睛】
本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的相互转化及利用参数的几何意义求解，直角坐标方程与极坐标方程的相互转化只要熟记公式cos ,sin x y ρθρθ==就可以实现；长度问题利用参数的几何意义能简化过程，侧重考查数学运算的核心素养.
20．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列.
（1）求,m n 的值；
（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？
（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y 与年龄x 进一步分析，发现他们线性相关，
得到回归方程ˆ5y
x b =-+.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为
25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）
22⨯列联表
临界值表：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++
【答案】（1）0.0035m =，0.0025n =（2）详见解析（3）395元
【解析】（1）根据频率分布直方图可得0.006m n +=，结合0.00152m n +=可得,m n 的值.
（2）根据表格数据可得28.249K ≈，再根据临界值表可得有99%的把握认为消费金额与性别有关.
（3）由频率分布直方图可得调查对象的周平均消费，从而得到520b =，利用线性回归方程可计算年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额. 【详解】
（1）由频率分布直方图可知，0.010.001520.0010.006m n +=-⨯-=， 由中间三组的人数成等差数列可知0.00152m n +=， 可解得0.0035m =，0.0025n =
（2）周平均消费不低于300元的频率为()0.00350.00150.0011000.6++⨯=，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为1000.660⨯=人. 所以22⨯列联表为
2
2
100(20152540)8.249 6.63545556040
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯
所以有99%的把握认为消费金额与性别有关. （3）调查对象的周平均消费为
2()24f x kx x k =-+，
由题意330538b =-⨯+，∴520b =
525520395y =-⨯+=.
∴该名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为395元. 【点睛】
（1）频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，注意直方图中，各矩形的高是
频率
组距
； （2）两类变量是否相关，应先计算2K 的值，再与临界值比较后可判断是否相关. （3）线性回归方程对应的直线必经过()
,x y .
21．已知e 是自然对数的底数，函数2
()x x
f x e
=与1()()F x f x x x =-+的定义域都是
(0,)+∞.
（1）求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）判断函数()F x 零点个数;
（3）用min{,}m n 表示,m n 的最小值，设0x >，1()min (),g x f x x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩
⎭，若函数
2()()h x g x cx =-在(0,)+∞上为增函数，求实数c 的取值范围．
【答案】（1）1y x e =
；（2）函数()F x 只有一个零点；（3）31,2e ⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦.
【解析】（1）先求导数()f x '
，代入1x =得(1)f '为直线的斜率，利用点斜式可求直线
方程；
（2）先求导数，结合导数的符号，判定零点的个数；
（3）()h x 为增函数，转化为()0h x '
≥恒成立，然后利用分离参数法求解.
【详解】 （1）∵(2)()x x x f x e -'=
，∴切线的斜率1(1)k f e '==，
1
(1)f e =. ∴函数()f x 在点11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
处的切线方程为1y x e
=
. （2）∵1()()F x f x x x =-+，2
()x x f x e =，∴1(1)0F e =>，243(2)02F e =-<，
(1)(2)0F F <，
∴()F x 存在零点0x ，且0(1,2)x ∈.∵2
(2)1
()1x x x F x e x
'
-=
--， ∴当2x ≥时，()0F x '<；当02x <<时，由2
(2)(2)12x x x x +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦得 2221111
()1110x F x e x x x
'≤
--<--=-<.∴()F x 在(0,)+∞上是减函数. ∴若1>0x ，20x >，12x x ≠，则()()12F x F x ≠.∴函数()F x 只有一个零点0x ，且
0(1,2)x ∈.
（3）解：02
1,0(),x
x x x x g x x x x
e ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，故2
02201,0(),x x cx x x x
h x x cx x x e ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩， ∵函数()F x 只有一个零点0x ，∴()00F x =，即
02
0001x x x x e
-=.∴0222
000001x x x cx cx x e --=-.
∴()h x 在(0,)+∞为增函数()0h x '⇔≥在()00,x ，()0,x +∞恒成立.
当0x x >时(2)()20x x x h x cx e '
-=
-≥，即22x
x
c e -≤在区间()0,x +∞上恒成立. 设()02()2x x
u x x x e
-=
>，只需min [()]c u x ≤， 3
()2x
x u x e
'-=，()u x 在()0,3x 单调递减，在(3,)+∞单调递增. ()u x 的最小值min 31[()](3)2u x u e ==-，31
2c e
≤-.
当00x x <<时，21
()12h x cx x '
=+
-，由上述得0c <，则()0h x '>在()00,x 恒成立. 综上述，实数c 的取值范围是31,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
. 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义及导数的应用，切线问题求解时注意是在某点处的切线还是过某点的切线，利用导数求解参数的取值范围时，常用分离参数法，然后求解最值，综合性较强，难度较大，侧重考查了数学抽象和逻辑推理的核心素养.。