推荐-高中数学人教A版必修5课件2.4.2 等比数列的性质
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=
13������ 16������
=
13 16.
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Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
题型三
易错辨析
易错点:忽视等比数列中项的符号致错
【例 3】 在等比数列{an}中,a5,a9 是方程 7x2-18x+7=0 的两个根,
等差数列
等比数列
(1)都强调每一项与其前一项的关系;(2)结果都必须是常数;(3)
联 系
数列都可以由 a1,d 或 a1,q 确定;(4)若数列{an}为正项等比数列, 则数列{logman}为等差数列,其中 m>0,且 m≠1;(5)若数列{an}为
等差数列,则数列{������������������ }为等比数列;(6)非零常数列既是等差数
D典例透析 IANLI TOUXI
12
1.等比数列的性质
剖析:已知在等比数列{an}中,首项为a1,公比为q(q≠0),则an=a1·qn1.
(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,数列{an}是递增数列;当 q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,数列{an}是递减数列;当q=1时,数列{an} 是常数列;当q<0时,数列{an}是摆动数列(它所有的奇数项同号,所 有的偶数项同号,但是奇数项与偶数项异号).
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题型一 题型二 题型三
解:设所求四个数为
2������ ������
−
������������,
������������,aq,aq3,
则由已知,得
������ ������
(������������) = 16,
∴ ������52 = ������3a7=9.
又a3<0,a7<0,∴a5<0,∴a5=-3. 答案:C
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(2)在等差数列{an}中,公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则
则 a7=
.
错解:∵a5,a9 是方程 7x2-18x+7=0 的两个根,
18 ∴ ������5 + ������9 = 7 ,
������5������9 = 1.
又 a7 是 a5,a9 的等比中项,
∴ ������72 = ������5a9=1,即 a7=±1. 答案:±1
错因分析:在等比数列中,所有奇数项同号,所有偶数项同号,所以
������5������9 = 1.
������5 > 0, ������9 > 0.
又������72 = ������5a9=1,且 a5 与 a7 同号,∴a7=1.
答案:1
再见
2019/11/23
则 ������6
������4
=
������2=3.
故 a12=a4·q8=7×34=567.
(2)∵a2a4+2a3a5+a4a6 = ������32 + 2a3a5 + ������52 = (a3+a5)2=36,
∴an>0,∴a3+a5=6.
(3)∵a4a6=a2a8=6,a4+a6=5,
算.
解法一:设公比为 q, 则 a2a6a10=a1q·a1q5·a1q9 = ������13������15=1, ∴a1q5=1.
∴a3a9=a1q2·a1q8=(a1q5)2=1. 解法二:∵a2a10 = ������62, ∴a2a6a10 = ������63 = 1, ∴a6=1.∴a3a9 = ������62 = 1.
2������ ������
-������������
(������������3) = -128.
解得 a=4,q=2 或 a=4,q=-2 或 a=-4,q=2 或 a=-4,q=-2.
因此所求的四个数为-4,2,8,32 或 4,-2,-8,-32.
反思 合理地设出所求的数是解决此类问题的关键.一般地,三 个数成等比数列,可设为 ������������,a,aq;三个数成等差数列,可设为 a-d,a,a+d.
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【变式训练2】 (1)在等比数列{an}中,若a3=-9,a7=-1,则a5的值
( ).
A.是3或-3 B.是3
C.是-3
D.不存在
解析:∵数列{an}是等比数列,
a7 与 a5,a9 同号,错解中忽略了这一点.
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正解:∵a5,a9 是方程 7x2-18x+7=0 的两个根,
∴
18 ������5 + ������9 = 7 , ∴
(1)强调每一项与前一项的比 (2)a1 与 q 均不为 0 (3)两个同号实数(不为 0)的等 比中项有两个值 (4)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*) 时,aman=apaq
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【变式训练 1】 (1)已知在等比数列{an}中,a4=7,a6=21,则
a12=
;
(2)已知数列{an}为等比数列,若 an>0,且 a2a4+2a3a5+a4a6=36,则
������1+������3+������9 ������2+������4+������10
等于多少?
解:由题意知 a3 是 a1 和 a9 的等比中项,
∴ ������32 = ������1a9.
∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),得 a1=d.
∴
������1 + ������3 + ������9 ������2 + ������4 + ������10
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D典例{λan}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为 q 的等比数列;
若数列{bn}是公比为 q'的等比数列,则数列{an·bn}是公比为 q·q'的等
比数列;数列
1 ������������
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2.等差数列与等比数列的区别与联系 剖析:等差数列与等比数列的区别与联系如下表所示.
等差数列
等比数列
(1)强调每一项与前一项的差 (2)a1 和 d 可以为 0 区 (3)任意两个实数的等差中项 别 唯一 (4)当 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*) 时,am+an=ap+aq
(2)an=am·qn-m(m,n∈N*). (3)当m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)=时���,���有���2��� . am·an=ap·aq.但am+an≠ap+aq.当 m+n=2k(m,n,k∈N*)时,有am·an (4)若数列{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等, 且等于首末两项之积,即a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=am·an-m+1.
∴a4,a6 是方程 x2-5x+6=0 的两个根,
解得 x1=2,x2=3.
又 q>1,∴a4=2,a6=3.
∴
������5 ������7
=
������4 ������6
=
2 3.
答案:(1)567
(2)6
(3)
2 3
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题型二
等比中项的应用
【例2】 已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,
中间两数之积为16,前后两数之积为-128,求这四个数. 分析:适当地设这四个数是解决本题的关键.可利用 a,q 表示四
个数,根据中间两数之积为 16,将中间两数分别设为 ������������,aq,列方程解得 a,q.这样既可使未知量减少,同时解方程也较为方便.
a3+a5=
;
(3)在等比数列{an}中,若公比 q>1,且 a2a8=6,a4+a6=5,则
������5 ������7
=
.
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解析:(1)设等比数列{an}的公比为 q,
第2课时 等比数列的性质
-1-
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1.复习巩固等比数列的概念及其通项公式. 2.掌握等比中项的应用. 3.掌握等比数列的性质,并能解决有关问题.
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反思 在等比数列的有关运算中,常涉及次数较高的指数运算,若
按常规解法,往往是建立关于a1和q的方程(组),这样解起来比较麻 烦.而利用等比数列的性质,进行整体变换,会起到化繁为简的效果.
列,又是等比数列
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题型一 题型二 题型三
题型一
等比数列的性质的应用
【例1】 已知在等比数列{an}中,a2a6a10=1,求a3a9. 分析:既可以利用通项公式计算,也可以运用等比数列的性质计
是公比为
1 ������
的等比数列;数列{|an|}是公比为|q|的等
比数列.
(6)在数列{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来的顺序排列, 所得数列仍为等比数列,且公比为qk+1.
(7)当数列{an}是各项都为正数的等比数列时,数列{lg an}是公差 为lg q的等差数列.
(8)在数列{an}中,连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk (或������������2 )的等比数列.