2019年辽宁省阜新市第二高级中学高三数学文月考试卷含解析

2019年辽宁省阜新市第二高级中学高三数学文月考试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是
参考答案：
A
图象过点，且单调递减，故它关于直线y=x对称的图象过点且单调递减，选A．
2. 复数（i是虚数单位）的共轭复数的虚部为
A. B.0 C.1 D.2
参考答案：
3. 如图，已知正方体的棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且
，记点P的轨迹的
长度为，则函数的图像可能是（）
参考答案：
B
略
4. 用表示非空集合中元素的个数，定义，若，，，且，设实数的所有可能取值构成集合，则=（）
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
B
5. 2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，对各种用途所占比例进行统计得到如图所示的条形图，后来晓文同学加强了体育锻炼，对目前月工资的各种用途所占比例进行统计得到下面的折线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为（）
A. 8000元
B. 8500元
C. 9500元
D. 10000元
参考答案：
D
【分析】
由条形图得到就医费用，由折线图得到就医费用所占比，进而可求出结果.
【详解】由条形图知就医费用为700元，由折线图得，月工资为元.
故选D.
【点睛】本题主要考查统计图，会分析统计图，进行简单的计算即可，属于基础题型. 6. 设全集如图，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且
，，，,若，则点
在平面内的轨迹是
A．圆的一部分B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
参考答案：
B
由题意可得，即，又因P、A、B三点不共线，故点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆的一部分，故选B．
7. 若，，则的值为（）
A．B．C．
D．
参考答案：
A
8. 已知两个非零向量，满足，，则的值为
（）
A. 1
B. －1
C. 0
D. －2
参考答案：
B
【分析】
根据已知向量的坐标求出向量的坐标，再根据向量的数量积的坐标表示计算可得.
【详解】因为
，所以，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查了向量的线性运算的坐标表示，考查了向量的数量积的坐标表示，属于基础题.
9. 命题“?x∈R，x2﹣2x=0”的否定是（）
A．?x∈R，x2﹣2x=0 B．?x∈R，x2﹣2x≠0 C．?x∈R，x2﹣2x≠0 D．?x∈R，x2﹣2x＞0
参考答案：
C
略
10. 棱长为的正四面体内切一球,然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一小球,则这些球的最大半径为( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4,
则命中环数的方差为. (注：方差
，其中为的平均数）
参考答案：
4
略
12. 若x，y均为正实数，则的最小值为_______.
参考答案：
【分析】
将所求式子变为，利用基本不等式可求得
，则可知当时，可求得最小值.
【详解】
当，即时
取得最小值为：
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够配凑出符合基本不等式的形式，易错点是忽略等号成立的条件.
13. 已知函数f(x)＝|x－2|，若a≠0，且a，b∈R，都有不等式
|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)成立，则实数x的取值范围是.
参考答案：
0≤x≤4
略
14. 已知点A（2，3），点B（6，﹣3），点P在直线3x﹣4y+3=0上，若满足等式
?+2λ=0的点P有两个，则实数λ的取值范围是．
参考答案：
（﹣∞，2）
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据点P在直线3x﹣4y+3=0上，设P（x，），求出、，计算?，代入?+2λ=0，化简并利用△＞0求出λ的取值范围．
【解答】解：由点P在直线3x﹣4y+3=0上，设P（x，），
则=（x﹣2，﹣3），=（x﹣6， +3），
∴?=（x﹣2）（x﹣6）+﹣9=（25x2﹣110x+57）；
又?+2λ=0，
∴（25x2﹣110x+57）+2λ=0，
化简得25x2﹣110x+57+32λ=0，
根据题意△=（﹣110）2﹣4×25×（57+32λ）＞0，
解得λ＜2；
∴实数λ的取值范围是（﹣∞，2）．
故答案为：（﹣∞，2）．
15. 将1，2，3，…，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是．参考答案：
二；
16. 在的展开式中，的系数为
参考答案：
15
17. 若满足条件的最大值为__________．
参考答案：
7
由题,画出可行域为如图区域，
，当在处时，.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18.
（12分）已知曲线C：．
（1）由曲线C上任一点E向轴作垂线，垂足为F，点P分所成的比为，求点P的轨迹. P的轨迹可能是圆吗？请说明理由；
（2）如果直线l的斜率为，且过点M（0，），直线l交曲线C于A、B两点，又，求曲线C的方程．
参考答案：
解析：（1）设，则，
∵点P分所成的比为∴
∴
∴
代入中，得为P点的轨迹方程.
当时，轨迹是圆。

……6分
（2）由题设知直线l的方程为，设
联立方程组，消去得：.
∵ 方程组有两解∴ 且∴或且…………8分又已知，
M、A、B三点共线，由向量知识得或，而
∴
又∵ ∴
解得（舍去）或
∴ 曲线C的方程是. (2)
19. （本小题满分12分）
已知等差数列满足：，，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列的前三项
（Ⅰ）分别求数列，的通项公式，
（Ⅱ）设若恒成立，求c的最小值
参考答案：
解：（Ⅰ）设d、q分别为数列、数列的公差与公比.
由题知，分别加上1，1，3后
得2，2+d,4+2d是等比数列的前三项，
……………4分
由此可得
…………………………6分
（Ⅱ）①
当，当，②
①—②，得
………………9分
在N*是单调递增的，
∴满足条件恒成立的最小整数值为 (12)
分
略
20. 2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随
机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．
（1）完成2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣没兴趣合计
男55
女
合计
（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率．
附表：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635
参考答案：
（1）根据已知数据得到如下列联表
根据列联表中的数据，得到
所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．(2)记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为m、n，则从这5人中随机抽取3人，共有（A，m，n）（B，m，n）（C，m，n）（A、B、m）（A、B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C、n）（A、B、C）10种情况，其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A、B、C）1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A、B、m）（A、B、n）（B、C、m）（B、C、n）（A、C、m）（A、C、n）6种，
所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，
因此，所求事件的概率.
21. 已知函数.
（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性；
（2）用定义证明函数在上是增函数；
（3）如果当时，函数的值域是，求与的值
参考答案：
（1）令，解得,
对任意
所以函数是奇函数.
另证：对任意，所以函数是奇函数.
（3）由（2）知，函数在上是增函数，
又因为时，的值域是，
所以且在的值域是，
故且（结合图像易得）
解得（舍去）
所以，
略
22. 如图三棱柱中，侧面为菱形，.
(Ⅰ) 证明：；
（Ⅱ）若，，AB=BC
求二面角的余弦值.
参考答案：
(Ⅰ)连结，交于O，连结AO．因为侧面为菱形，所以?，且O为与的中点．又，所以平面，故?
又，故
………6分
（Ⅱ）因为且O为的中点，所以
AO=CO? 又因为AB=BC?，所以
故O A⊥OB?，从而OA，OB，两两互相垂直．
以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，OB为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-．因为，所以为等边三角形．又AB=BC?，则
，，，
，
设是平面的法向量，则
，即所以可取
设是平面的法向量，则，同理可取
则，所以二面角的余弦值为.。