贵州省遵义市务川中学2020-2021学年高二数学理月考试卷含解析

贵州省遵义市务川中学2020-2021学年高二数学理月考
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（）
A．m∥β且l∥αB．m∥l1且n∥l2 C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面之间的位置关系．
【分析】本题考查的知识点是充要条件的判断，我们根据面面平行的判断及性质定理，对四个答案进行逐一的分析，即可得到答案．
【解答】解：若m∥l1，n∥l2，
m．n?α，l1．l2?β，l1，l2相交，
则可得α∥β．即B答案是α∥β的充分条件，
若α∥β则m∥l1，n∥l2不一定成立，即B答案是α∥β的不必要条件，
故m∥l1，n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件，
故选B
2. 在正方体中，是的中点，是底面的中心，是
上的任意点，则直线与所成的角的正弦值为
A． B． C． D．1
参考答案：
D
略
3. 已知F是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，点在以为直径的圆内，则该双曲线
的离心率的取值范围为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
4. 已知集合 A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，则集合A∩B=（）
A．{x|﹣2≤x＜4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|﹣2≤x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x≤3}参考答案：
C
【考点】交集及其运算．
【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x＜﹣1}，
∴A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}，
故选：C．
5. “a≥2”是“直线l：2ax﹣y+2a2=0（a＞0）与双曲线C：﹣=1的右支无焦点”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】求出直线l：2ax﹣y+2a2=0（a＞0）与双曲线C：﹣=1的右支无焦点的充分必要条件，结合集合的包含关系判断即可．
【解答】解：∵直线l：2ax﹣y+2a2=0（a＞0）与双曲线C：﹣=1的右支无焦点，∴直线l的斜率不小于双曲线C的渐近线y=x的斜率，
即2a≥，∵a＞0，
∴a≥1，
故a≥2是a≥1的充分不必要条件，
故选：A．
6. 若抛物线y2=2px（p＞0）上的横坐标为6的点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（）
A．4 B．8 C．16 D．32
参考答案：
B
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的定义可知该点到准线的距离为10，进而利用抛物线方程求得其准线方程，利用点到直线的距离求得p，即为焦点到准线的距离．
【解答】解：∵横坐标为6的点到焦点的距离是10，
∴该点到准线的距离为10，
抛物线的准线方程为x=﹣，
∴6+=10，求得p=8
故选B．
7. 设为平面，a、b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
参考答案：
B
【分析】
利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解．
【详解】若，，则与相交、平行或异面，故错误；
若，，则由直线与平面垂直的判定定理知，故正确；
若，，则或，故错误；
若，，则，或，或与相交，故错误．
故选：B．
【点睛】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
8. 六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的正视图与俯视图如下图所示，则其左视图不可能为
参考答案：
D
9. 设 P为椭圆上的一点，，分别是该椭圆的左右焦点，若
，则的面积为（）
A.2
B.3
C.4
D. 5
参考答案：
C
10. 已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）
A．2 B．3 C．5 D．7
参考答案：
D
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．
【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=5．
根据椭圆的定义得：2a=3+d?d=2a﹣3=7．
故选D．
【点评】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2b cos C，则此三角形一定是。

参考答案：
略
12. 若曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为
参考答案：
略
13. 已知，则a的值为_______．
参考答案：
【分析】
根据定积分几何意义得结果.
【详解】因为表示半个单位圆（上半圆）的面积，所以
14. 某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根支柱支撑，其中最高支柱的高度是米．（答案保留两位小数）
参考答案：
3.84
解：抛物线方程为：
当时，
∴最高支柱的高度是3.84米.
15. 已知点及椭圆上任意一点，则最大值
为。

参考答案：
16. 不等式3x-3x+2的解集是_____________.
参考答案：
略
17. 正方体的棱长为1，在正方体的表面上与点A相距的点集为一条曲线，该曲线的长度是。

参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，，,△ADP是边长为2的等边三角形，且,，E为AD的中点．
(Ⅰ)求证：AD⊥平面PBE；
(Ⅱ)求直线BC与平面ADP所成角的正弦值．
参考答案：
（I）证明：∵，E为AD的中点,∴,………3分
∵,,………6分
∴平面. ………7分
（Ⅱ）连接DB,作垂足为G．………9分
∵由（I）得平面，BE平面，∴,
∴△ABD为等边三角形，∴. ………10分
又平面平面，交线为PE,
∴平面，∴为直线BC与平面ADP所成角．……13分
∵，∴,
∴，
又∵，,∴.
∴,
即直线BC与平面ADP所成角的正弦值为…………15分
19. 已知圆C的圆心在直线上，并且经过原点和，求圆C的标准方程.
参考答案：
略
20. 某化工厂拟建一个下部为圆柱，上部为半球的容器（如图，圆柱高为h，半径为r，不计厚度，单位：米），按计划容积为72π立方米，且h≥2r，假设其建造费用仅与表面积有关（圆柱底部不计），已知圆柱部分每平方米的费用为2千元，半球部分每平方米4千元，设该容器的建造费用为y千元．
（Ⅰ）求y关于r的函数关系，并求其定义域；
（Ⅱ）求建造费用最小时的r．
参考答案：
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（Ⅰ）利用容积为72π立方米，列出，得到
，然后求解建造费用的函数解析式．
（Ⅱ）利用导函数，判断单调性求解最值即可．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由容积为72π立方米，得．…
，解得0＜r≤3，…
又圆柱的侧面积为，
半球的表面积为2πr2，
所以建造费用，定义域为（0，3]．…
（Ⅱ），…
又0＜r≤3，所以y'≤0，所以建造费用，
在定义域（0，3]上单调递减，所以当r=3时建造费用最小．…
21. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点分别是（-1，-2），（0，1），（3，2）。

①求直线的方程；②求平行四边形的面积；
参考答案：
①因为B(0,1),C(3,2),由直线的两点式方程得
直线的方程是
②由点到直线的距离是，，
所以，即得，所以平行四边形的面积是
22. 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点，曲线E的极
坐标方程为，过点A作直线的垂线l，分别交曲线E于B，C两点.
（1）写出曲线E和直线l的直角坐标方程；
（2）若，，成等比数列，求实数a的值.
参考答案：
（1）；（2）
【分析】
（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式来求解；
（2）根据，，成等比数列，建立等量关系，利用参数的几何意义求解.
【详解】（1）由，得.
得曲线直角坐标方程为
的直角坐标为
又直线的斜率为1.且过点.故直线的直角坐标方程为
（2）在直角坐标系中，直线参数方程为（为参数）.
代入得
，，即
，解得
，
【点睛】本题主要考查参数方程和极坐标，极坐标与直角坐标的相互转化要熟记公式，利用参数的几何意义能简化求解过程.。