小学奥数平面几何五种面积模型

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，
共边）之五兆芳芳创作
目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和鹞子模型）， 掌握五大面积模型的各类变形 知识点拨
一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的
底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如右图12
::S S a b =
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在ABC △中，,D E 辨别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，
则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△
图⑴ 图⑵
三、蝶形定理
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：
①1243::S S S S =或1324S S S S ⨯=⨯②()()1243
::AO OC S S S S =++
b a S
2
S 1
D C B A
蝶形定理为我们提供了解决不法则四边形的面积问题的一个途径．通过机关模型，一方面可以使不法则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对
应的对角线的比例关系．
梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2
2
1
3
::S S a b =
②2
2
1
3
2
4
::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2
a b +． 四、相似模型
(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①AD AE DE AF AB AC BC AG
===；
②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不合的三角形(只要其形状不改动，不管大小怎样改动它们都相似)，与相似三角形相关的经常使用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．
相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的东西．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．
五、共边定理（燕尾模型和鹞子模型）
在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何A B
C
D
O b
a S 3S 2
S 1S 4
O F
E D
C B A
题目中都有着普遍的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供相互联系的途径. 典型例题
【例 1】
如图，正方形ABCD 的边长为6，AE =1.5，CF =2．长方形EFGH 的面积为．
【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积
的二倍．
三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
66 1.562262 4.54216.5
DEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-⨯÷=△,所以长方形
EFGH 面积为33．
【稳固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长
BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相
等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面
积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．
证明：连接AG ．(我们通过ABG △把这两个长方形和正方形
联系在一起)．
∵在正方形ABCD 中，G 1
2
AB S AB AB =
⨯⨯△边上的高， _
H
_
G
_ F
_
E
_
D
_
C
_
B
_ A _ A
_
B
_
C
_
D
_
E
_ F
_
G
_
H
_ A _ B
_ G
_ C _ E _ F
_ D
_ A _ B
_ G
_ C
_ E
_ F
_ D
∴1
2
ABG ABCD
S S
=△(三角形面积等于与它等底等高的平行四
边形面积的一半)
同理，1
2
ABG EFGB S S =
△． ∴正方形ABCD 与长方形EFGB 面积相等． 长方形的宽
8810 6.4=⨯÷=(厘米)．
【例 2】 长方形ABCD 的面积为362
cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD
边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：
可得：1
2
EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC
S S ∆∆=，而
36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=
即11
()361822
EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；
而
EHB BHF DHG EBF
S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，
11111
()()36 4.522228
EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．
所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影
解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，
那么图形就可酿成右图：
这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，按照鸟头定理，则有：
1111111
3636363613.52222222
ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．
【稳固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的
一组对边二等分，另一组对边三等分，辨别与P 点连接,求阴影部分面积．
【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采取
特殊点法，假定P 点与A 点重合，则阴影部分变成如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积辨别占正方形面积的1
4
和16
，所以阴影部分的面积为2
11
6
()1546
⨯+=平方厘米． （法2）连接PA 、PC ．
由于PAD ∆与PBC ∆的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面
积的14
，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正
方形ABCD 面积的16
，所以阴影部分的面积为2
11
6
()1546
⨯+=平方厘米．
【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，
8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为．
【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边
形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．
由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304
⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为
3
12070204
⨯-=；
又三角形
AOE
、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为
111203024
⎛⎫
⨯-= ⎪⎝
⎭
，所以四边形EFGO 的面积为302010-=．
另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．
【稳固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，
2AE ED =，则阴影部分的面积为．
【解析】 如图，连接OE ．
按照蝶形定理，1:::1:12
COE CDE CAE CDE ON ND S S S S ∆∆∆∆===，所以
1
2
OEN OED S S ∆∆=；
1
:::1:42
BOE BAE
BDE BAE OM MA S S S S ∆∆∆∆===，所以15OEM
OEA S S ∆∆=． 又11
334
OED ABCD S S ∆=
⨯=矩形，26OEA OED S S ∆∆==，所以阴影部分面
积为：1136 2.72
5
⨯+⨯=．
【例 4】
已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 辨别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面
积．(丙是三角形HBC )
【解析】 因为D 、E 、F 辨别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角
形ABC 的中位线，也就与对应的边平行，按照面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．
按照图形的容斥关系，有ABC ABN AMC AMHN S S S S S ∆∆∆-=+-丙， 即400 200200AMHN S S -=+-丙，所以AMHN S S =丙． 又ADF AMHN S S S S S ∆+=++乙甲阴影，所以
1
143400434
ADF S S S S S ∆=++-=-⨯=乙甲丙阴影．
【例 5】
如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分红两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是．
【解析】 连接AF ，BD ．
按照题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；
所以，
15
27
BE CBF F S S ∆∆=
，
12
27
BE CBF C S S ∆∆=
，
21
28
AEG ADG S S ∆∆=
，
7
28
AED ADG S S ∆∆=
， 于是：2115
652827
ADG CBF S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=； 可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．
【例 6】
如图在ABC △中，,D E 辨别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE
S =△平方厘米，求ABC △的面积．
【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE
ABE
S S AD AB ===⨯⨯△△，
::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC
S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE
S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．
【稳固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，
如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？
【解析】 连接BE ．
∵3EC AE =
∴3ABC
ABE
S S = 又∵5AB AD =
∴515ADE
ABE
ABC
S S S =÷=÷，∴1515ABC
ADE
S S ==．
【稳固】如图，三角形ABC 被分红了甲(阴影部分)、乙两部分，
4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
【解析】 连接AD ．
∵3BE =，6AE =
∴3AB BE =，3ABD
BDE
S S = 又∵4BD DC ==，
∴2ABC
ABD
S S =，∴6ABC
BDE
S S =，5S S =乙甲
．
【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且
:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE
S =△平方厘米，求ABC △的面积．
【解析】 连接BE ，
::2:5(23):(53)
ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，
所以[]:(32):5(32)6:25ADE
ABC
S S =⨯⨯+=△△，设6ADE
S =△份，则25
ABC
S =△份，12ADE
S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，
4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．
【解析】 连接AC 、BD ．按照共角定理
∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，
∴111133
ABC FBE
S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC
S =△，所以3FBE
S =△． 同理可得8GCF
S =△，15DHG
S =△，8AEH
S
=△．
所以8815+3+236EFGH
AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△． 所以213618
ABCD
EFGH
S
S ==． 【例 9】
如图所示的四边形的面积等于多少？
【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用
公式直接求面积.
我们可以利用旋转的办法对图形实施变换：
把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)
【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边
向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．
【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．
由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠，
所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上． 由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为2
18164
⨯=．
按照面积比例模型，OBC ∆的面积为516108
⨯=．
【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形
ABE ，90AEB ∠=︒
，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长辨别为
3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．
【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF
∆的位置．
那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面积为：
()1
353122
+⨯⨯=(2
cm )．
又因为ABE ∆是直角三角形，按照勾股定理，
222223534AB AE BE =+=+=，所以21
172
ABD S AB ∆=
=(2cm )． 那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2
cm )，
所以1
2.52
OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．
【例 12】 如下图，六边形ABCDEF
中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有
AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？
【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得
ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．
【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，
且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．
【解析】 办
法一：连接
CF
，按照燕尾定理，
1
2
ABF ACF S BD S DC ==△△，
1ABF CBF S AE
S EC
==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF
EFC S S ==△△份，如图所标
所以551212
DCEF ABC S S =
=△ 办法二：连接DE ，由题目条件可得到11
33
ABD ABC S S =
=△△， 1121
2233
ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以
11ABD ADE S BF FE S ==△△， 1111111
22323212
DEF
DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△， 而
211323
CDE ABC S S =⨯⨯=
△△．所以则四边形DFEC 的面积等于
5
12
． 【稳固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG
的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?
【解析】 设
1DEF S =△份，则按照燕尾定理其他面积如图所示
55
1212
BCD S S =
=△阴影平方厘米. 【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC
与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13
，且2AO =，3DO =，
那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．
【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边
形”，无外乎两种处理办法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画帮助线来改革不良四边形．看到题目中给出条件:1:3ABD BCD S S =，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又不雅察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改革这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主不雅上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．
解法一：∵::1:3ABD BDC AO OC S S ∆∆==，∴236OC =⨯=，
∴:6:32:1OC OD ==．
解法二：作AH BD ⊥于H ，CG BD ⊥于G ．
∵13ABD BCD S S ∆∆=，∴13
AH CG =，∴13AOD
DOC S S ∆∆=， ∴13
AO CO =，∴236OC =⨯=，∴:6:32:1OC OD ==．
【稳固】如图，四边形被两条对角线分红4个三角形，其中三个
三角形的面积已知，
求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =？ 【解析】 ⑴按照蝶形定理，123BGC S ⨯=⨯，那么6BGC S =；
⑵按照蝶形定理，()():12:361:3AG GC =++=．
【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、
ODF △、BOE △的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．
【解析】 ⑴按照题意可知，BCD △的面积为244616+++=，那么BCO △和
CDO ∆的面积都是1628÷=，所以OCF △的面积为844-=；
⑵由于BCO △的面积为8，BOE △的面积为6，所以OCE △的
面积为862-=，
按照蝶形定理，::2:41:2COE COF
EG FG S S ∆∆===，所以
::1:2GCE GCF S S EG FG ∆∆==， 那么11221233
GCE CEF S S ∆∆==⨯=+． 【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的
面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．
【解析】 连接AE ，FE ．
因为:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，
所以3111()53210
DEF ABCD ABCD S S S =⨯⨯=长方形长方形． 因为12AED ABCD S S =长方形，11::5:1210AG GF ==，所以510
AGD GDF S S ==平方厘米，所以12AFD S =平方厘米．因为16
AFD ABCD S S =长方形，所以长方形ABCD 的面积是72平方厘米．
【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中
点．求图中阴影部分的面积．
【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以:1:2AM BC =，按照梯形蝶形定
理可以知道
22:::1:12:12:21:2:2:4AMG ABG MCG BCG
S S S S =⨯⨯=△△△△（）（），设1AGM S =△份，则123MCD S =+=△ 份，所以正方形的面积为1224312++++=份，224S =+=阴影份，所以:1:3S S =阴影正方形，所以1S =阴影平方厘米．
【稳固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交
于F 点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形
ABCD 面积是平方厘米．
【解析】 连接DE ，按照题意可知:1:2BE AD =，按照蝶形定理得
2129S =+=梯形（）(平方厘米)，3ECD S =△(平方厘米)，那么
12ABCD S =(平方厘米)．
【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，三角形ODE 的面积为6
平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．
【解析】 连接AC ．
由于ABCD 是平行四边形，:3:2BC CE =，所以:2:3CE AD =，
按照梯形蝶形定理，22:::2:23:23:34:6:6:9COE AOC DOE AOD S S S S =⨯⨯=，所以6AOC S =(平方厘米)，9AOD S =(平方厘米)，又6915ABC ACD S S ==+=(平方厘米)，阴影部分面积为61521+=(平方厘米)．
【稳固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面
积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．
【分析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么
OCD OAE S S ∆∆=．
按照蝶形定理，4936OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故236OCD S ∆=，
所以6OCD S ∆=(平方厘米)．
【稳固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面
积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．
【解析】 连接AE ．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD 也是梯形，那么
OCD OAE S S ∆∆=．
按照蝶形定理，2816OCD OAE OCE OAD S S S S ∆∆∆∆⨯=⨯=⨯=，故216OCD S ∆=，所以4OCD S ∆=(平方厘米)．
另解：在平行四边形ABED 中，()111681222
ADE ABED S S ∆==⨯+=(平方厘米)，
所以1284AOE ADE AOD S S S ∆∆∆=-=-=(平方厘米)，
按照蝶形定理，阴影部分的面积为8244⨯÷=(平方厘米)．
【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分红四块，已知其中3块的面
积辨别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．
【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以EOD FOC S S ∆=，又按照蝶
形定理，EOD FOC EOF COD S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅，所以2816EOD FOC EOF COD
S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅=⨯=，所以4EOD S ∆=(平方厘米)，4812ECD
S ∆=+=(平方厘米)．那么长方形
ABCD 的面积为12224⨯=平方厘米，四边形OFBC
的面积为
245289---=(平方厘米)． 【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与
CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少？
【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC 是
梯形．在梯形ADBC 中，BDK ∆和ACK ∆的面积是相等的．而
:1:3AK KB =，所以ACK ∆的面积是ABC ∆面积的11134
=+，那么BDK ∆的面积也是ABC ∆面积的14
． 由于ABC ∆是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，并且AM D E =，可见ABM ∆和ACM ∆的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以ABC ∆的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．
那么BDK ∆的面积为148124
⨯=． 【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、
H 辨别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m n
，那么，()m n +的值等于．
【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不法则图形，不便利直接求
面积，不雅察发明两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．
如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．
左图中AEGD 为长方形，可知AM D ∆的面积为长方形AEGD 面积的14，所以三角形AMD 的面积为2
1111248
⨯⨯=．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为
111482
-⨯=． 如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为
N ．
可知EF ∥AC 且2AC EF =．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的14，所以三角形BEF 的面积为2
1111248
⨯⨯=，梯形AEFC 的
面积为113288
-=． 在梯形AEFC 中，由于:1:2EF AC =，按照梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：221:12:12:21:2:2:4⨯⨯=，所以三角形EFN 的面积为3118122424⨯=+++，那么四边形BENF 的面积为1118246
+=．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为111463
-⨯=． 那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11:3:223=，即32
m n =， 那么325m n +=+=．
【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 相互平行，AD DF FB ==，
则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形．
【解析】 设1ADE S =△份，按照面积比等于相似比的平方，
所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，
因此4AFG S =△份，9ABC S =△份，
进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB
S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形
【稳固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．
【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=
【稳固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，
BC 相互平行，
AD D F FM M P PB ====，则
::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形． 【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，
9PQCB S =四边形份．
所以有
【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是
DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △
【解析】 办法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，机关出两
个沙漏，所以有::1:1AB CM BF FC ==，因此4CM =，按照题意有Q E G N M F P
A D C
B
3CE =，再按照另一个沙漏有
::4:7GB GE AB EM ==，所以
4432(442)471111ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△． 办法二：连接,AE EF ，辨别求4224ABF S =⨯÷=△，4441232247AEF S =⨯-⨯÷-⨯÷-=△，按照蝶形定理::4:7ABF AEF S S BG GE ==△△，所以4432(442)471111
ABG ABE S S ==⨯⨯÷=+△△． 【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、
AD 的中点， BF 交EC 于M ，求BMG ∆的面积．
【解析】 解法一：由题意可得，E 、F 是AB 、AD 的中点，得//EF BD ，
而::1:2FD BC FH HC ==，
::1:2EB CD BG GD ==所以::2:3CH CF GH EF ==，
并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG GH =，所以
::2:3BG EF BM MF ==，所以25
BM BF =，11112224
BFD ABD ABCD S S S ∆∆==⨯=； 又因为13
BG BD =，所以1212113535430BMG BFD S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，
可得，::1:1AI BC AE EB ==，从而可以确定M 的点的位置，
::2:3BM MF BC IF ==，25BM BF =，13
BG BD =(鸟头定理)， 可得2121115353430
BMG BDF ABCD S S S ∆∆=⨯=⨯⨯= 【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问
四边形PQRS 的面积为多少？
【解析】 (法1)由//AB CD ，有MP PC MN DC
=，所以2PC PM =，又MQ MB QC EC =，所以 12MQ QC MC ==，所以111236PQ MC MC MC =-=，所以SPQR S 占AMCF S 的16
， 所以121(112)63
SPQR S =⨯⨯++=2(cm )． (法2)如图，连结AE ，则14482
ABE S ∆=⨯⨯=(2cm )， 而RB ER AB EF =，所以2RB AB EF EF ==，22168333
ABR ABE S S ∆∆==⨯=(2cm )． 而1134322MBQ ANS S S ∆∆==⨯⨯⨯=(2cm )，因为MN MP DC PC =，
所以13
MP MC =，则11424233MNP S ∆=⨯⨯⨯=(2cm )，阴影部分面积等于 164233333
ABR ANS MBQ MNP S S S S ∆∆∆∆--+=--+=(2cm )． 【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．
【解析】 按照燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△
（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△
【点评】本题关头是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的办
法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化实质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【稳固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .
【解析】 按照燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△
（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△
【稳固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .
【解析】 按照燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△
（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）
所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△
【点评】本题关头是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的办
法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化实质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形
ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．
【分析】 连接AH 、BI 、CG ．
由于:3:2CE AE =，所以25AE AC =，故2255
ABE ABC S S ∆∆==； 按照燕尾定理，::2:3ACG ABG S S
CD BD ∆∆==，::3:2BCG ABG S S CE EA ∆∆==，所以
::4:6:9ACG ABG BCG S S S ∆∆∆=，则419ACG S ∆=，919
BCG S ∆=； 那么2248551995
AGE AGC S S ∆∆==⨯=；
同样阐发可得
919ACH S ∆=，则::4:9ACG ACH EG EH S S ∆∆==，::4:19
ACG ACB EG EB S S ∆∆==，所以::4:5:10EG GH HB =，同样阐发可得
::10:5:4AG GI ID =， 所以5521101055BIE BAE S S ∆∆==⨯=，55111919519
GHI BIE S S ∆∆==⨯=． 【稳固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角
形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．
【解析】 连接BG ，AGC
S △=6份
按照燕尾定理，::3:26:4AGC BGC
S S AF FB ===△△，::3:29:6ABG AGC S S BD DC ===△△
得4BGC S =△(份)，9ABG S =△(份)，则19ABC S =△(份)，因此
619AGC ABC S S =△△, 同理连接AI 、CH 得619ABH ABC S
S =△△,619BIC ABC S S =△△,所以1966611919
GHI ABC S S ---==△△ 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19
【稳固】如图，ABC ∆中2BD D A =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面
积是阴影三角形面积的倍．
【分析】 如图，连接AI ．
按照燕尾定理，::2:1BCI ACI S S BD AD ∆∆==，::1:2BCI ABI
S S CF AF ∆∆==， 所以，::1:2:4ACI BCI ABI S S S ∆∆∆=，那么，221247BCI ABC ABC
S S S ∆∆∆==++． 同理可知ACG ∆和ABH ∆的面积也都等于ABC ∆面积的27
，所以阴影三角形的面积等于ABC ∆面积的211377
-⨯=，所以ABC ∆的面积是阴影三角形面积的7倍．
【稳固】如图在ABC △中，12
DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． 【解析】 连接
BG,设BGC S △=1份，按照燕尾定理::2:1AGC
BGC S S AF FB ==△△,::2:1ABG AGC S S BD DC ==△△,得2AGC S =△(份)，4ABG S =△(份),则7ABC
S =△(份)，因此27AGC
ABC S S =△△,同理连接AI 、CH 得27ABH ABC S S =△△,27BIC ABC S S =△△,所以7222177
GHI ABC S S ---==△△ 【点评】如果任意一个三角形各边被分红的比是相同的，那么在
同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面良多题目都是用“同理得到”的，即
再重复一次解题思路，因此我们有对称法作帮助线.
【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角
形ABC 被分红9部分，请写出这9部分的面积各是多少?
【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交
于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ． 按照燕尾定理，::1:2ABP CBP S S AG GC ==△△，::1:2ABP ACP
S S BD CD ==△△，设1ABP S =△(份)，则1225ABC S =++=△(份)，所以15
ABP S =△ 同理可得，27ABQ S
=△,12ABN S =△,而13ABG S =△，所以2137535
APQ S =-=△，1213721AQG S =-=△． 同理，335BPM S
=△121BDM S =△,所以1239273570PQMN S =--=四边形，139********MNED S =--=四边形,1151321426NFCE S =--=四边形,1115321642GFNQ S =--=四边形 【稳固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点
F 、
G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKI
H 的面积是多少？
【解析】 连接CK 、CI 、CJ ．
按照燕尾定理，::1:2ACK ABK S S CD BD ∆∆==，::1:2ABK CBK
S S AG CG ∆∆==， 所以::1:2:4ACK ABK CBK S S S ∆∆∆=，那么111247
ACK S ∆==++，11321
AGK ACK S S ∆∆==． 类似阐发可得215AGI S
∆=． 又::2:1ABJ CBJ S S AF CF ∆∆==，::2:1ABJ ACJ S S BD CD ∆∆==，可得14ACJ S ∆=
． 那么，111742184
CGKJ S =-=． 按照对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784
，那么四边形JKIH 周围
的图
形的面积之和为172161228415370CGKJ AGI ABE S S S ∆∆⨯++=⨯++=，所以四边形JKIH 的面积为61917070
-=． 【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等
分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平
方厘米？
【解析】 连接CM 、CN ．
按照燕尾定理，::1:1ABM CBM S S AG GC ==△△，
::1:3ABM ACM S S BD CD ==△△，所以15
ABM ABC S S =△△； 再按照燕尾定理，::1:1ABN CBN S S AG GC ==△△，所以
::4:3ABN FBN CBN FBN S S S S ==△△△△，所以:4:3AN NF =，那么
1422437ANG AFC S S =⨯=+△△，所以2515177428FCGN AFC ABC ABC S S S S ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭
△△△． 按照题意，有157.25
28
ABC ABC S S -=△△，可得336ABC S =△(平方厘米) 【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 辨
别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.
【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕
尾定理吧！
令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P,BI 与CE 的交点为Q,连接AM 、BN 、CP ⑴求ADMI
S 四边形：在ABC △中，按照燕尾定理，::1:2ABM CBM S S AI CI ==△△::1:2ACM CBM S S AD BD ==△△
设1ABM S
=△(份)，则2CBM S =△(份),1ACM S =△(份),4ABC S =△(份), 所以14ABM ACM ABC S S S ==△△△，所以11312ADM ABM ABC S S S ==△△△,112AIM ABC S S =△△, 所以111()12126
ABC ABC ADMI S S S =+=△△四边形, 同理可得另外两个顶点的四边形面积也辨别是ABC △面积的1
6
⑵求DNPQE S
五边形：在ABC △中，按照燕尾定理::1:2ABN ACN S S BF CF ==△△::1:2ACN BCN S S AD BD ==△△, 所以111133721ADN ABN ABC ABC S S S S ==⨯=△△△△,同理121
BEQ ABC S S =△△ 在ABC △中，按照燕
尾定理::1:2ABP ACP S S BF CF ==△△,::1:2ABP CBP S S AI CI ==△△
所以15
ABP ABC S S =△△，所以1111152121105ABP ADN BEP ABC ABC DNPQE S S S S S S ⎛⎫=--=--= ⎪⎝⎭
△△△△△五边形 同理另外两个五边形面积是ABC △面积的11
105，所以
11113133610570
S =-⨯-⨯=阴影 【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 辨
别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.
【解析】 设深玄色六个三角形的顶点辨别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，
连接CR
在ABC △中按照燕尾定理，::.2:1ABR ACR
S S BG CG ==△△, 所以27ABR ABC S S =△△,同理27ACS ABC S S =△△,27CQB ABC
S S =△△ 所以222117777RQS S =---=△，同理17
MNP S =△ 按照容斥原理，和上题结果11131777010S =+-=六边形
课后练习：
练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求
ABC △的面积．
【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC
S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8
CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△
设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米
练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，
DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．
【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF
S S CD CB CG CF =⨯⨯=△△，即2CGF CDB S S =△△
同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△
所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形
连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形
所以66513.2ABCD S
=÷=四边形平方米 练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC
的中点，四边形BGHF 的面积是平方厘米．
【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出EBG ∆和CHF ∆的面积．
由题意可得到：::1:2EG GC EB CD ==，所以可得：13EBG BCE S S ∆∆= 将AB 、DF 延长交于M 点，可得：
:::1:1BM DC MF FD BF FC ===，
而1::():3:22
EH HC EM CD AB AB CD ==+=，得25
CH CE =，
而12
CF BC =，所以121
255CHF
BCE BCE S
S S ∆∆∆=⨯= 117
7
30143515
15
EBC EBC EBC EBC
BGHF S S S S S ∆∆∆∆=--==⨯=四边形． 本题也可以用蝶形定理来做，连接EF ，确定H 的位置(也就是
:FH HD )，同样也能解出．
练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，
则S ABC ACE CDE
S S ∆∆∆++=2
cm ．
【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点辨别顺时针和逆时针旋转90，组成
三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE
S S ∆∆=．
所以2
'''
11
101050cm 2
2
ABC ACE CDE AEC ACE CDE
ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．
练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．
【解析】 连接BH
,按照沙漏模型得:1:2BG GD =,设1BHC
S =△份，按照燕尾定
理2CHD
S =△份，2BHD
S =△份，因此122)210S =++⨯=正方形
（
份，127236
BFHG
S =+=，所以7
12010146
BFHG
S =÷⨯=(平方厘米).
练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等
分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．
【解析】 由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果
能求出BN 、NM 、MD 三段的比，那么所分红的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包含四边形CDMF 的面积． 连接CM 、CN ．
按照燕尾定理，::2:1ABM
ACM
S S BF CF ∆∆==，而2ACM
ADM
S S ∆∆=，所以24ABM
ACM
ADM
S S S ∆∆∆==，那么4BM DM =，即45
BM BD =．
那么421453215BMF
BCD BM BF S
S BD BC ∆∆=
⨯⨯=⨯⨯=，147
21530
CDMF S =-=四边形．。