北京交通大学大学物理学_下_答案

新教材下册习题解答(教师用) 第12章
12.1 一个封闭的立方体形的容器,内部空间被一导热的、不漏气的、可移动的隔板分为两部分,开始其内为真空,隔板位于容器的正中间(即隔板两侧的长度都为l 0),如图12-30所示.当两侧各充以p 1,T 1与 p 2,T 2的相同气体后,
长度之比是多少)?
解:
活塞两侧气体的始末状态满足各自的理想气体状态方程
左侧: T pV T V p 111= 得, T pT V p V 1
11=
右侧:
T pV T V p 222= 得, T pT V
p V 2
22=
122121T p T p V V = 即隔板两侧的长度之比 1
22121T p T p l l = 12.2 已知容器内有某种理想气体,其温度和压强分别为T =273K,p =1.0×10-2
atm ,密度32kg/m 1024.1-⨯=ρ.求该气体的摩尔质量.
解:
n k T p = (1)
nm =ρ (2)
A mN M = (3) 由以上三式联立得:
1235
2232028.010022.610
013.1100.12731038.11024.1----⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==mol kg N p kT M A ρ 12.3 可用下述方法测定气体的摩尔质量:容积为V 的容器内装满被试验的气体,测出其压力为p 1,温度为T ,并测出容器连同气体的质量为M 1,然后除去一部分气体,使其压力降为p 2,温度不变,容器连同气体的质量为M 2,试求该气体的摩尔质量.
解：
()
V V -2 2p T )(21M M - V 1p T 1M V 2p T 2M 221V p V p = (1) (
)()RT M
M M
V
V p 21
22-=- (2)
（1）、（2）式联立得： ()()()V
p p RT M M V p V
p p RT
M M M 21212
1221--=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=
12.4在实验室中能够获得的最佳真空相当于大约10-14atm (即约为10-10mmHg 的压强),试问在室温(300K )下在这样的“真空”中每立方厘米内有多少个分子？ 解： 由nkT p = 得，
35311235
141045.21045.210
38.130010013.110----⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯==cm m kT p n 12.5已知一气球的容积V =8.7m 3,充以温度t 1=150
C 的氢气,当温度升高到370
C 时,维持其气压
p 及体积不变,气球中部分氢气逸出,而使其重量减轻了0.052kg ,由这些数据求氢气在00C,压
力p 下的密度. 解：
V p 1t m V p 2t ()V V -2 p 2t m ∆
3V p 3t m 由
2
2
1t V t V = （1）
m
m
V V V ∆=-22 （2）
3
3
1t V t V = （3） 3
V m
=
ρ （4） 由以上四式联立得： 3231122109.815
.2737.815
.288052.02215.310--⋅⨯=⨯⨯⨯=∆-=
m kg Vt t m t t t ρ 12.6真空容器中有一氢分子束射向面积2cm 0.2=S 的平板,与平板做弹性碰撞.
设分子束中
分子的速度13s m 100.1-⋅⨯=v ,方向与平板成60º夹角,每秒内有23100.1⨯=N 个氢分子射向平板.求氢分子束作用于平板的压强. [2.9×103
Pa] 解： A
N M m =
Pa S
Nm S F p 323
433230
109.210022.6100.223
100.110210260sin 2⨯=⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯⨯===
--v
12.7 下列系统各有多少个自由度:⑴在一平面上滑动的粒子；⑵可以在一平面上滑动并可围绕垂直于该平面的轴转动的硬币；⑶一弯成三角形的金属棒在空间自由运动. 解：（1） 2 （2） 3 （3） 6
12.8 容器内贮有氧气,其压强Pa 101.013atm 15⨯==p ,温度t =270
C,求: (1)单位体积内的分子数;(2)分子的质量m ;(3)氧气的密度ρ;(4)分子的方均根速率;(5)分子的平均平动能；(6)在此温度下,4g 氧的内能. 解：(1) 由 nkT p = 得,
3
2523
51045.215
.3001038.110013.1--⨯=⨯⨯⨯==m kT p n (2) kg N M m A 2623
3
1031.510
022.61032--⨯=⨯⨯== (3) 32625
30.11031.51045.2--⋅=⨯⨯⨯==m kg nm ρ
(4) 1
23
2
1084.410
3215.30031.833--⋅⨯=⨯⨯⨯==s m M RT
v (5) J kT k 21231021.615.3001038.123
23--⨯=⨯⨯⨯==
ε (6) J RT M m 21079.715.30031.82
5
32425⨯=⨯⨯⨯==ε
12.9 １mol 氢气,在温度270
C 时,求⑴具有若干平动动能；⑵具有若干转动动能；⑶温度每
升高10C 时增加的总动能是多少？ 解: (1) J RT 311074.315.30031.823
23⨯=⨯⨯==
ε (2) J RT 3
21049.215.30031.822⨯=⨯==ε
(3) J R 8.202
5
==∆ε
12.10 试求1mol 氢气分别在0℃和500℃时的内能.
解： J RT 3111067.515.27331.825
25⨯=⨯⨯==
ε J RT 4
221061.115.77331.82
525⨯=⨯⨯==ε
12.11 (1)求在相同的T 、p 条件下,各为单位质量的 H 2气与He 气的内能之比.(2)求在相同的T 、p 条件下,单位体积的H 2气与He 气的内能之比. 解：（1） RT E H 25102132⨯⨯=- RT E e
H 2
3
10413⨯⨯=-
3
102=
e
H H E E （2） 由nkT p =, 相同的T 、p 条件，可知： e H H n n =2 kT n E H H 2522= kT n E e e H H 2
3
=
3
52=
e
H H E E 12.12 设山顶与地面的温度均为273K,空气的摩尔质量为0.0289kg ·mol -1.测得山顶的压强是地面压强的3/4,求山顶相对地面的高度为多少? 解：依题意有，340=p p 由气压公式有：
m p p g RT h 301030.23
4
ln 81.90289.027331.8ln ⨯=⨯⨯==
μ 12.13 求速率大小在p v 与1.01p v 之间的气体分子数占总分子数的百分率. 解：速率间隔在p p 1.01v ~v ,即p v v 01.0=∆
1==
p W v v 01.0=∆=∆p
W v v
在p p v v 01.1~间隔的分子数占总分子数的百分数为
()%83.0422=∆=∆=∆-W e W W W f N N W π
12.14 求00C 的氢气分子和氧气分子的平均速率、方均根速率和最概然速率. 解: 氢气分子相对应的各种速率为
1331071.110215
.27331.860.160
.1--⋅⨯=⨯⨯⨯==s m M RT v 1
3321084.110215.27331.873.173
.1--⋅⨯=⨯⨯⨯==s m M RT v 1331050.110
215.27331.841.141
.1--⋅⨯=⨯⨯⨯==s m M RT p v 由于三种速率均与分子的摩尔质量平方根成反比
4
1
2
2=
o H M M 所以氧气分子的三种速率为氢气分子相应速率的四分之一 1
21026.4-⋅⨯=s m o v 1
2
2
1061.4-⋅⨯=s m o v ()
121076.3-⋅⨯=s m o
p
v
12.15 如图12-31所示.两条曲线分别表示氧气和氢气在同样温度下的速率分布曲线.试问哪条曲线对应氧(氢)气的分布曲线? 氧气和氢气的最概然速率各是多少? 方均根速率各是多少? 解: 由 M
RT p 2=
v 可知,温度相同时,p v 与M 成反比
又由图可知,12p p v v > 因此 可得,21M M > 所以, (1)为氧气的速率分布曲线 (2)为氢气的速率分布曲线
()()
()()
2222H M O M O H p p =
v v ()1
2500-⋅=s m O p v
()()()()1222220002
32
500-⋅===
s m O H M O M H p p v v
由 M
RT
32
=
v M
RT p 2=v 得, p v v 2
32
= ()1226125002
3
-⋅=⨯=
s m O v
）
)
(v f 图12-31 习题12.14图
()122245020002
3
-⋅=⨯=
s m H v
12.16 设质量为m 的N 个分子的速率分布曲线如图12-32所示.（1）由N 和0v 求a 值.（2）在速率2/0v 到30v /2间隔内的分子数；（3）分子的平均平动能. 解：
（1）在区间内0~0v ()v v v 0
a
Nf = 在区间内002~v v ()a Nf =v 在区间内02~0v ，分子总数为N
()020
200
202320
00
00
v v v v v v v v v v v v v v a a a ad d a N =+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎰
⎰ 0
32v N
a =
（2）()N a a a ad d a N 12
78720232
20232
00
00
0000
==+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=
∆⎰⎰
v v v v v v v v v v v v v v v v 0 (3) ()v v v v v d f ⎰
=0
20
22
2
020200
22
02
2
363191461211
121210
v v v v v v v v v v v v v m m ad N
d a N
m m =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+==⎰
⎰
ε 12.17 设N 个粒子系统的速度分布函数为
⎩
⎨⎧>>>=)0）
,0(d d 00v v v v v （为常量K K N v
⑴画出分布函数图；⑵用N 和v 0定出常数K ；⑶用v 0表示出平均速率和方均根速率. 解：（1）
K
O )
(v Nf 0
图12-32习题12.15图
0v v （2） 00
v v v K Kd N ==
⎰ 0
v N
K =
（3） 211000
000
v v v v v v v
v v ===
⎰⎰
d d N
N
v
00254.032
383v v v v ===
π
π 12.18 试从麦克斯韦速率分布律出发推写出如下分布律:(a )以最概然速率m
kT
p 2=
v 作为分子速率单位的分子速率p x v v =
的分布律；(b )分子动能2
2
1v m k =ε的分布律.并求出最概然动能kp ε,它是否就等于
2
2
1p m v ？ 解：麦克斯韦速率分布律 ()2
223
2
24v v v kT m e kT m f -⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=ππ （a ） m kT p 2=
v p
x v v
= ()2
224
x e x kT
m x f -=π (b)
22
1v m k =ε
()k kT
k k
e kT m
f επεε
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=23
124
()0112423
=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-kT e kT m d f k kT k k k
επεεε
得， 01=⎪⎭
⎫
⎝⎛-
kT k ε 2
21p kp m kT v ==ε
12.19 设容器内盛两种不同单原子气体,原子质量分别为m 1和m 2的此混合气体处于平衡状态时内能相等,均为U ,求这两种气体平均速率1v 和2v 的比值以及混合气体的压力.设容器体积为V .
解： RT M m U 231'= RT M m U 23
2''= 得，
2''1'M m M m =
21
'''M M m
m = 118m kT π=
v 228m kT
π=v 则 1
2
21m m =v v RT pV ν= RT
U
M m M m M m 3421'2''1'=
=+=ν 得， V
U V RT RT U p 3434=
=
12.20 求在标准状态下一秒内分子的平均自由程和平均碰撞次数.已知氢分子的有效直径为2.0×10-10 m.
解：3
2523
51069.215
.2731038.110013.1--⨯=⨯⨯⨯==m kT p n (
)
m n
d 725
2
1021009.21069.210
0.221
21--⨯=⨯⨯⨯=
=
ππλ
133
1070.110
215
.27331.888--⋅⨯=⨯⨯⨯==
s m m RT ππv 197
3
1013.810
09.21070.1--⨯=⨯⨯==s z λv
12.21 在足够大的容器中,某理想气体的分子可视为d=4.0×10-10 m 的小球,热运动的 平均速率为2
100.5⨯=v m/s,分子数密度为n =3.0×1025 /m 3.试求：(1) 分子平均自由程和平均碰撞频率；(2) 气体中某分子在某时刻位于P 点,若经过与其他分子N 次碰撞后,它与P 点的距离近似可表为λN R =,那么此分子约经多少小时与P 点相距10米？(设分子未与容器壁碰
撞) 解: (1)
(
)
m n
d 825
2
102107.4100.310
0.421
21--⨯=⨯⨯⨯=
=
ππλ
1
108
21006.110
7.4100.5--⨯=⨯⨯==s z λv
(2) λN R =
h R R z N t 1182107.4100.51
10018
222
=⨯⨯⨯⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛==-λ
υυλλ 12.22 设电子管内温度为300K ,如果要管内分子的平均自由程大于10cm 时,则应将它抽到多
大压力？(分子有效直径约为3.0⨯10-8cm ) 解:
n
d 2
21πλ=
若使
cm 10>λ
()
3192
10
2105.21
.0100.321
21--⨯=⨯⨯=
=
m d n πλ
π 需使 319105.2-⨯<m n
Pa nkT p 1.03001038.1105.22319=⨯⨯⨯⨯==- 即需使 Pa p 1.0<
12.23 计算⑴在标准状态下,一个氮分子在1s 内与其他分子的平均碰撞次数；⑵容积为4L 的
容器,贮有标准状况下的氮气,求1s 内氮分子间的总碰撞次数.(氮分子的有效直径为
3.76⨯10-8cm ）
解: (1) λ
υ
=
z 3
2523
51069.215
.2731038.110013.1--⨯=⨯⨯⨯==m kT p n
(
)
m n
d 825
2
102109.51069.210
76.321
21--⨯=⨯⨯⨯=
=
ππλ
1
23
1054.4102815.27331.888--⋅⨯=⨯⨯⨯==
s m M RT ππυ 1
98
2107.710
9.51054.4--⨯=⨯⨯=s z (2) mol V V mol 179.04
.224
===
ν A
N N ν=
132923103.8107.710022.6179.0-⨯=⨯⨯⨯⨯===s z N z N z A ν
12.24 实验测知00C 时氧的粘滞系数s)g/(cm 1092.14⋅⨯=-η,试用它来求标准状态下氧分
子的平均自由程和分子有效直径.
解：λυρη3
1
=
M RT πυ8= nm =ρ 其中 kT p n =
, A N M m = 得：RT
pM =ρ
所以
m M
RT p RT
M
pM
RT
83
5
5105.910
32815
.27331.810013.111092.1381383---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯===ππη
πη
λ
p
d kT n
d 2
2
221ππλ=
=
m p kT d 108
523100.3105.910013.1215.2731038.12---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
=
πλ
π
12.25 今测得氮气在00C 时的导热系数为237103.W m K 11⨯⋅⋅---，计算氮分子的有效直径.
已知氮的分子量为28. 解：⎪⎭
⎫
⎝⎛=
M C VM λυρκ31 R C VM 25= RT pM nm =
=ρ m R
MT p R M
RT M pM RT
73
531069.131.8815.273102810
013.11107.235681565283---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
==ππκ
πκ
λ
p
d kT n
d 2
2
221ππλ=
=
m p kT d 107
523102.21069.110013.1215.2731038.12---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
=
πλ
π
12.26 在270
C 时,2mol 氮气的体积为0.1L ,分别用范德瓦耳斯方程及理想气体状态方程计算其压强,并比较结果.已知氮气a =0.828atm ⋅L 2⋅mol -2, b =3.05⨯10-2L ⋅mol . 解：RT pV ν=
Pa V
RT
p 7
3
1099.410
1.015.30031.82⨯=⨯⨯⨯=
=
-ν ()RT b V V a p ννν=-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+22
p 2p 0
V 0
2V V
()()Pa
V a b V RT p 72
53
2221044.91.010013.1828.04101005.321.015.30031.82⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=--=--ννν 第13章
13.1 (1)理想气体经过下述三种途径由初态I (2p 0,V 0)变到终态Ⅱ(p 0,2V 0).试计算沿以下每一路径外界对气体所作的功:(a )先从V 0到2V 0等压膨胀然后等体积降压；(b )等温膨胀；(c )先以V 0等体积降压到p 0后再等压膨胀.(2)对1mol 的范氏气体重复以上三个过程的计算？ [答案：(1)(a)2p 0V 0,(b) 2p 0V 0ln2,(c)p 0V 0;
(2) (a)2p 0V 0, （b)0
0002002ln ))(( V a b V b V b V V a
p ----+
,(c)p 0V 0] 解：(1)
(a) ()0000022220
0V p V V p pdV A V V =-==⎰ (b) 200222ln 2ln 00
V p RT dV V
RT
pdV A V V V V ====⎰
⎰
(c) ()00000220
V p V V p pdV A V V =-==
⎰
(2) 范德瓦尔斯方程： ()RT b V V a p mol mol
=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+2 (a) 00220
V p pdV A V V ==⎰
(b)
()0000
20000
222222ln 22ln 000
V a
b V b V b V V a p V a V a RT dV V a b V RT
pdV A b
V b V V V V V ----⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭
⎫
⎝⎛--==--⎰
⎰
(c) 0020
V p pdV A V V ==
⎰
13.2 由如图13-40所示.一系统由状态a 沿acb 到达状态b ,吸热量80Cal ,而系统做功126J.⑴
经adb 过程系统做功42J ,问有多少热量传入系统？⑵当系统由状态b 沿曲线ba 返回状态a 时,外界对系统做功为84J ,试问系统是吸热还是放热？热量是多少？ 解：1Cal=4.2J
(1) A E Q +∆= J Q 3362.480=⨯=
J A Q E 210126336=-=-=∆ 所以经adb 过程传入系统的热量 J A E Q 252422101=+=+∆= (2) J A 84-=
029484210<-=--=+∆=J A E Q 所以系统是放热，热量是294J
13.3 如图13-41所示.单原子理想气体从状态a 经过程abcd 到状态d ,已知p a =p d =1atm ,p b =p c =2atm ,V a =1L ,V b =1.5L ,V c =3L ,V a =4L .⑴试计算气体在abcd 过程中内能的变化、功和热量；⑵如果气体从状态d 保持压力不变到状态a (图中虚线),求以上三项的结果；⑶若过程沿曲线从a 到c 状态,已知该过程吸热257Cal ,求该过程中气体所做的功. 解：(1) b a →
()a b m V T T C E -=∆.ν
a a a RT V p ν= R
V p T a a a ν=
b b b RT V p ν= R
V p T b
b b ν=
()a a b b a a b b V p V p R V p R V p R E -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆2
3
23ννν
()J 231004.31010132515.1223
⨯=⨯⨯-⨯⨯=
- ()J p d V A b a
V V 2
31076.010*******.0212
1⨯=⨯⨯⨯+⨯==-⎰
J A E Q 2
1080.3⨯=+∆= 同理： c b →
()()J V p V p E b b c c 231056.4101013255.12322
323
⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯=-=
∆-
图13-41 习题13.3图
p
p 1
2
J pdV A c
b
V V 231004.3105.11013252⨯=⨯⨯⨯==-⎰
J A E Q 21060.7⨯=+∆=
d c →
()()J V p V p E c c d d 231004.31010132532412323
⨯-=⨯⨯⨯-⨯⨯=-=
∆- ()J pdV A d c
V V 231052.110101325212
1
⨯=⨯⨯+⨯==-⎰
J A E Q 21052.1⨯-=+∆=
J E 21056.4⨯=∆总 J A 21032.5⨯=总 J Q 21088.9⨯=总
(2) ()()J V p V p E d d a a 231056.410101325412
323
⨯-=⨯⨯-⨯=-=
∆- J pdV A a
d
V V 231004.3103101325⨯-=⨯⨯-==-⎰
J A E Q 21060.7⨯-=+∆=
(3) c a →
()J E 221060.71056.404.3⨯=⨯+=∆
J E Q A 221019.31060.72.4257⨯=⨯-⨯=∆-=
13.4 如图13-42所示.一定质量的氧气在状态A 时,V 1=3L ,p 1=8.2×
105Pa ,在状态Ｂ时V 2=4.5L ,p 2=6×105Pa .分别计算气体在下列过程吸收的热量,完成的功和内能的改变：⑴经ACB 过程,⑵经ADB 过程. 解：(1) ACB 过程
C A → ()()35103102.862
5
25-⨯⨯⨯-⨯=-=∆A A C C V p V p E
J 31065.1⨯-=
J A 0=
J Q 31065.1⨯-=
B C → ()()J V p V p E C C B B 3531025.21061035.42
5
25⨯=⨯⨯⨯-⨯=-=∆-
()()J V V p A 335122109.01035.4106⨯=⨯-⨯⨯=-=- J Q 31015.3⨯=
图13-42 习题13,4图
J E 3106.0⨯=∆总 J A 3109.0⨯=总 J Q 3105.1⨯=总
(2) ADB 过程
D A →
()()J V p V p E A A D D 35310075.3102.81035.42
5
25⨯=⨯⨯⨯-⨯=-=∆-
()()J V V p A 3351211023.11035.4102.8⨯=⨯-⨯⨯=-=-
J Q 310305.4⨯=
B D → ()()J V p V p E D D B B 33510475.2105.4102.8625
25⨯-=⨯⨯⨯-⨯=-=∆-
J A 0=
J Q 310475.2⨯-=
J E 3106.0⨯=∆总 J A 31023.1⨯=总 J Q 31083.1⨯=总
13.5压强为p =1.01×103Pa,体积为0.0082 m 3的氮气,从初始温度300K 加热到400K. (1)如加
热时分别体积不变需要多少热量？(2) 如加热时分别压强不变需要多少热量？ [答案: Q V =683J; Q p =957J]
解：(1) RT pV ν= RT
pV
=
ν ()J R RT pV T C E m V 6901003000082
.01001.125300400255.=⨯⨯⨯⨯=-=∆=∆ν
J
E Q V 690=∆=
(2)J T R RT
pV
T C Q m p p 9661003000082.01001.1271255.=⨯⨯⨯⨯
=∆⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
∆=ν 13.6 将500J 的热量传给标准状态下2 mol 氢气.(1)若体积不变,问此热量变为什么?氢气的温度变为多少?(2)若温度不变,问此热量变为什么?氢气的压强及体积各变为多少?(3)若压强不变, 问此热量变为什么? 氢气的温度及体积各变为多少？
[答案: (1) T=285K; (2)Pa 1007.942⨯=p ,V 2=0.05m 3
,(3)T =281.6K; V 2=0.046 m 3
] 解：(1) 全部转化为内能 T C Q m V V ∆=.ν K R C Q T m V 122
52500
.=⨯==
∆ν K T 15.2851215.2732=+=
(2) 全部转化为对外界做功 1
2
ln
V V RT Q T ν= 12V e V RT
Q T ν= 3310448.0104.222m V =⨯⨯=-
3205.0m V =
2211V p V p = Pa V V p p 4521121007.905
.00448
.010013.1⨯=⨯⨯==
(3) 一部分用于对外做功，一部分用于内能增加 T C Q m p p ∆=.ν
K R C Q T m
p p
6.82
72500
.=⨯=
=
∆ν K T 75.2816.815.2732=+=
2211T V T V = 32112046.075.28115
.2730448
.0m T T V V =⨯==
13.7 一定量的理想气体在某一过程中压强按2V
c
p =
的规律变化,c 是常量.求气体从V 1增加到 V 2所做的功.该理想气体的温度是升高还是降低? [答案: 212
1
);11(T T V V c A >-= ]
解：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-===
⎰
⎰
212112
1
2
1
V V c dV V c
pdV W V V V V 由理想气体状态方程 RT pdV ν= 得，
RT
V V c ν=2
RT V c
ν= 可知1221V V T T = 因为 12V V > ， 所以 21T T > 即气体的温度降低
13.8 1mol 氢,在压强为1.0×105Pa,温度为20o C 时体积为0V .今使它分别经如下两个过程达到同一状态：(1)先保持体积不变,加热使其温度升高到80o C,然后令它等温膨胀使体积变为原来的2倍；(2)先等温膨胀至原体积的2倍,然后保持体积不变加热至80o C .试分别计算以上两种过程中吸收的热量、气体做的功和内能的增量,并作出p-V 图.
[答案: Q 2=2933J,A =1687J,∆U =1246J]
解：
(1) 定容过程
J A 0=
()J R T C Q E m V V 50.124620802
5
.=-=∆==∆ 等温过程 J E 0=∆ ()J RT V V RT Q A T 16.20342ln 8015.27331.82ln ln
1
2
=⨯+⨯==== J Q 66.3280=总 J A 16.2034=总 J E 50.1246=∆总 (2) 等温过程
J E 0=∆
J RT Q A T 56.16882ln 15.29331.82ln =⨯⨯===
定容过程
J A 0=
()J R T C Q E m V V 50.124620802
5
.=-=
∆==∆ J Q 06.2935=总 J A 56.1688=总 J E 50.1246=∆总 13.9 某单原子理想气体经历一准静态过程,压强T
c
p =
,其中c 为常量.试求此过程中该气体的摩尔热容C m . [答案: C m =（7/2）R ] 解：由理想气体状态方程 RT pV ν= 其中 T
c p =
得， 2T c
R
V ν=
dT c
RT
dV ν2=
根据热力学第一定律，A E Q +∆= T R R dT c RT T c T R pdV T C Q m V ∆⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+∆=+∆=⎰⎰223223.ννν
ν 则可得，R T Q C m 2
7
=∆=
ν
13.10 为了测定气体的γ=⎛⎝ ⎫
⎭
⎪C C p V 可用下列方法：一定量的气体初始温度、压强和体积分别
为T 0,p 0和V 0,用通有电流的铂丝对它加热，第一次保持气体体积V 0不变,温度和压强各变为T 1和p 1；第二次保持压力,p 0不变,温度和体积各变为T 2和V 1,设两次加热的电流和时间都相同.试证明
γ=
--()()p p V V V p 100
100
解： 过程1为定容过程 V 不变，
()01T T C T C Q V V -=∆=νν
由理想气体状态方程得， 000RT V p ν= R V p T ν0
00=
101RT V p ν= R
V p T ν0
11=
即 ()001V p p R
C Q V
-=
(1) 过程2为定压过程 p 不变，
()02T T C T C Q p p -=∆=νν
由理想气体状态方程得， R
V p T ν1
02=
即 ()001p V V R C Q p -= (2)
由(1)(2)式即证得， ()()0
01001p V V V p p C C V
p --=
=
γ
13.11气缸内有单原子理想气体,若绝热压缩使其容积减半,问气体分子的平均速率变为原来速率的几倍?若为双原子理想气体,又为几倍?
[答案:1.26;1.15] 解：由理想气体绝热方程 常量=-T V 1γ 得，
21
2111T V T V --=γγ 1
2112-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=γV V T T 其中122
1
V V =
1122-=γT T
又由 M RT
πυ8= 可知， 2
1
1
2122
-==γυυT T
1
p 单原子理想气体 R 35
=γ, 则 26.1231
12==υυ
双原子理想气体 R 57
=γ, 则 15.1251
1
2==υυ
13.12一定量的理想气体经历如图13-43所示的循环,其中AB 、CD 是等压过程,BC 、DA 是绝热过程,A 、B 、C 、D 点的温度分别为T 1、T 2、T 3、T 4.试证明此循环效率为 2
3
1T T -=η. 解：等压过程AB 吸热 ()121T T C Q p -=ν
等压过程CD 放热 ()432T T C Q p -=ν BC 、DA 是绝热过程 0=Q 1
243
12111T T T T Q Q Q A
---=-==
η 利用绝热方程 常量=--γγT p 1 得，
γγγγ----=312211T p T p 3112
2T p p T γ
γ--
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=
γγγγ----=412111T p T p 41121T p p T γ
γ--
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=
2
3
11211T T p p -
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-γ
γη 13.13设有一理想气体为工作物质的热机循环,如图13-44所示,试证明其效率为
1
)/(1
)/(12121---=p p V V γ
η.
解：b a →为等体升温过程，吸热 ()a b m V T T C Q -=.1ν
a c →为等压压缩过程， 放热
()a c m p T T C Q -=.2ν
2 1
图13-45习题13.14狄赛尔循环
()()
a b m V a c m p T T C T T C Q Q ---
=-
=..12
11η 利用理想气体状态方程 RT pV ν=, 得
()()222111
V p V p R
V p V p R T T a a b b a b -=-=
-νν 循环效率为 ()()1111212
12
2212
212---=---=p p V V V p V p V p V p γγ
η 13.14 有一种柴油机的循环叫做狄赛尔循环,如图13-45所示.其中BC 为绝热压缩过程,DE 为绝热膨胀过程,CD 为等压膨胀过程,EB 为等容冷却过程,试证明此循环的效率为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-'⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-'-
=-11
)/(121
212V V V V V V γγγη解：CD 为等压膨胀过程， 吸热 ()C D p T T C Q -=ν1
EB 为等容冷却过程， 放热 ()B E V T T C Q -=ν2 循环效率 C
D B
E T T T T Q Q ---
=-
=γη11112 利用理想气体状态方程 RT pV ν=, 得
()B B E E B E V p V p R T T -=
-ν1
()C C D D C D V p V p R
T T -=-ν1
()()
2
'11111V V p p p V V p V p V p V p C B E C C D D B B E E ---=---
=γγη 利用绝热方程 常量=γpV ， 得
γγ
E E D D V p V p = E D p V V p γ
⎪⎭
⎫ ⎝⎛='1
()()221211
V p V p R
V p V p R T T a a c c a c -=-=
-νν
γγ
B B
C C V p V p = B C p V
V p γ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 由C D p p =得 γ
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=2'V V p p B E
()
()
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-111111111112'1212
'
2'122'1V V V V V V V V V V p p p p V V p p p p V B C B E
B C B E γγγγγη 13.15 1mol 理想气体在400K-300K 之间完成一卡诺循环,在400K 的等温线上,起始体积为0.001 m 3,最后体积为 0.005 m 3,试计算气体在此循环中所作的功,以及从高温热源吸收的热量和传给低温热源的热量.
[答案:A =1.24×103J,Q 2=4.01×103J] 解：J V V RT Q 31
2
111035.5ln
⨯==ν 该循环效率为 %25400
3001112=-=-
=T T η 可得 J Q A 311034.1⨯==η
由 21Q Q A -=, 得 J A Q Q 3121001.4⨯=-=
13.16 1mol 刚性双原子分子理想气体,作如图13-46所示的循环,其中1-2为直线,2-3为绝热线,3-1为等温线,且已知θ=450,T 1=300K,T 2=2T 1,V 3=8 V 1，试求：(1)各分过程中气体做功、吸热及内能增量；(2)此循环的效率. 解：(1)21→
由理想气体状态方程可得， 111RT V p =
222RT V p = 又由图可知，11V p =, 22V p =
12
1
RT V
= 11RT V =
1222RT V = 122RT V =
22V V =()J R T T C E V 5.623230025
12=⨯=-=∆ ()
J RT V V VdV pdV A V V V v 5.12462
1
211212221
21
==-===⎰⎰
J A E Q 7479=+∆= 吸热
32→
O Q = A E -=∆ 利用绝热方程 γγpV V p =22, 得 13322223
2
3
2
--===⎰⎰γγ
γ
V p V p V
dV
V p pdV A V V V V γγ3322V p V p = 232
3p V
V p γ
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛= J RT V V V p V
V V p A 5.623215
782121
821
28157
1221
22223
2
22=-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
--γγγγ
13→
0=∆E A Q =
J V V RT A 51848ln 30031.8ln
1
3
1-=⨯⨯-=-= J Q 5184-= 放热
(2) 循环效率 %7.307479
5184
1112=-=-
=Q Q η *13.17 0.1mol 单原子理想气体,由状态Ａ经直线AB 所表示的过程到状态B,如图13-47所示,已知V A =1L , V B =3L ,p A =3atm .(1)试证A 、
B 两状态的温度相等;(2)求AB 过程中气体吸收的热量;(3)求在AB 过程中，温度最高的状态
C 的体积和压力(提示：写出过程方程T =T (V ));(4)由(3)的结果分析从A 到B 的过程中温度变化的情况,从A 到C 吸热还是放热？证明Q CB =0.能否由此说从C 到B 的每个微小过程都有δQ =0？ 解：(1) 由理想气体状态方程, 得 A A A RT V p ν= B B B RT V p ν=
又由已知条件可知 B B A A V p V p = 即证: B A T T =
(2) ()0=-=∆A B V T T C E ν
p (atm)
图13-47 习题13.17图
J pdV A 25310052.410013.11022221⨯=⨯⨯⨯⎪⎭⎫
⎝⎛+⨯⨯==-⎰
J A Q 210052.4⨯==
(3) 由理想气体状态方程 RT pV ν=, 得
R pV T ν=
又由图可知： 4+-=V p 即 ()
V V R T 412+-=ν 由极值条件：0=dV
dT
， 得 042=+-V
即当 L V 2=， atm p 2= 时T 取到极大值
(4) 由 (3) 可知， B A →过程中 温度T 满足函数 ()
V V R
T 41
2+-=ν C A →过程中温度升高，到达C 点时取得极大值
B C →过程中温度降低，到达点时温度又回到A 点时的值
C A →过程 ()0>-=∆A C V T T C E ν
0>A
0>+∆=A E Q 吸热
dA dE dQ +=
()()dV V V R
C dT C dE V
V 63421
+-=+-==ννν ()dV V pdV dA 4+-==
()dV V dQ 104+-= 即证： ()010432=+-=⎰
dV V Q L
L
CB
但不能说从C 到B 的每个微小过程都有0=Q δ
13.18一台家用冰箱放在气温为300K 的房间内,做—盒-13℃的冰块需从冷冻室中吸出 2.09×105J 的热量.设冰箱为卡诺制冷机,求： (1)做一盒冰块所需之外功；
(2)若此冰箱能以2.09×102J·s -1的速率取出热量,求所要求的电功率是多少瓦? (3)做一盒冰块所需之时间. 解：(1)卡诺循环 制冷系数2
12
2T T T A Q e -=
=
a
b
c
p
V
O
a
b
c
d
O
p 代入数据得 5.6260
300260
=-=
e
J e Q A 4521022.35.61009.2⨯=⨯==
(2) W e P P 2.325.61009.22
'=⨯==
(3) h s P Q t 28.01010
09.21009.232
5
'2≈=⨯⨯== 13.19 以可逆卡诺循环方式工作的致冷机,在某种环境下它的致冷系数为w =30.在同样的环境下把它用作热机,问其效率为多少？
[答案：%2.3=η]
解：卡诺循环 制冷系数A
Q w 2
=
得 wA Q =2 卡诺热机循环效率 1
Q A
=
η 且 A Q Q +=21 ()%2.330
11
111=+=+=+=
w A w A η
13.20根据热力学第二定律证明: (1)两条绝热线不能相交;(2) 一条等温线和一条绝热线不能相交两次.
解：(1)假设两条绝热线可以相交，如图所示
ab 为等温线 bc 、ac 为绝热线
此循环过程中 A Q =1 即热全部转化为功， 这与热力学第二定律的开尔文表述相矛盾 所以，即证得：两条绝热线不能相交
(2) 假设一条等温线和一条绝热线可以两次相交，如图所示
ab 为等温线 cd 为绝热线
此循环过程中 A Q =1 即热全部转化为功 这与热力学第二定律的开尔文表述相矛盾， 即证
13.21一杯质量180g 温度为100 0C 的水置于270C 的空气中,冷却到室温后水的熵变是多少？空气的熵变是多少？总熵变是多少？
[答案：-164J/K ，233J/K ，69J/K]
解：熵变的定义：⎰=∆T dQ
S 热量的计算公式: ⎰=mcdT Q
1
12165300
373ln 22.4180ln 21-⋅-=⨯⨯-====
∆⎰⎰K J T T mc dT T mc T dQ S T T 水 ()12
212185300
73
22.4180-⋅=⨯⨯=-===
∆⎰K J T T T mc T Q T dQ S 空气 120165185-⋅=-=∆+∆=∆K J S S S 空气水总
13.22 1mol 理想气体经一等压过程,温度变为原来的2倍.该气体的定压摩尔热容为C p ,m ,求此过程中熵的增量. [答案: 2ln Δp C S =] 解：2ln 2
1
2
1
p T T p T T p C T
dT
C T
dT C S ===
∆⎰
⎰
13.23 一房间有N 个分子, 某一宏观态时其中半个房间的分子数为n .
⑴写出这种分布的熵的表达式S =k ln Ω； ⑵n =0状态与n =N /2状态之间的熵变是多少？ ⑶如果N=6⨯1023,计算这个熵差.
解：(1)根据玻耳兹曼熵的表达式 W k S ln =, 得
()⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
--=⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛==⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛--N
N n N k e
N k n W k S A N
N n A 2
22222ln
2
ln ln 2
(2)熵的变化：
k N N
N N k N k S S S A A
N 2222ln 2
ln
2
02
=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-
-=-=∆ (3) 23106⨯=N 时， 熵差为
123
2314.42
1038.1106--⋅=⨯⨯⨯=∆K J S
第14章
14.1 作简谐运动的质点,速度最大值为3cm/s ,振幅A =2cm ,若速度为正最大值时开始计时.(1)求振动的周期；(2)求加速度的最大值；(3)写出振动的表达式. 解： (1) 由2/m A A T ωπ==v ，可得
2/20.02/0.03 4.2m T A s ππ==⨯⨯=v
(2) 22222
/0.03/0.02 4.510/m m a A A m s ω-====⨯v
(3) 由于0t =时，m =+v v ，可知/2ϕπ=-，而10.03/0.021.5m
s A
ω-=
==v ，
所以有
cos()0.02cos(1.5/2)x A t t ωϕπ=+=-
14.2 一水平弹簧振子的振幅A =2cm,周期T =0.50s.当t =0时 (1)物体过x =1cm 处且向负方向
运动；（2）物体过x =-1cm 处且向正方向运动.分别写出以上两种情况下的振动表达式. 解： (1) 22cos() 2.010cos(4)3
x A t t T ππ
ϕπ-=+=⨯+
(2) 22.010cos(42/3)x t ππ-=⨯-
14.3 设一物体沿x 轴作简谐振动,振幅为12cm ,周期为2.0s ；在t =0时位移为6.0cm ,且向x 轴正方向运动.试求:(1)初相位；(2)t =0.5s 时该物体的位置、速度和加速度；(3)在x =-6.0cm 且向x 轴负方向运动时,物体的速度和加速度以及它从这个位置到达平衡位置所需要的时间. 解： (1) 001cos 2
3
x A π
ϕϕ==∴=±
又∵00>v ，即0sin 0A ωϕ->
00sin 03
π
ϕϕ∴<=-
(2) 12cos()()0.53
x t cm t s π
π=-=时
0.5t s x cm ==
1
0.52
2
2
0.512sin()6312cos()3t s t s
t cm s a t cm s
π
ππππ
ππ-=-==--=-⋅=--=-⋅v
(3) 12cos x ϕ=
)
习题14.3图
2A
当6x cm =-时1cos 2
ϕ=-
∵0sin 2
ϕ<∴=
v
12212sin 655
66
cm s a x cm t t s
πϕωππϕϕωωπ-=-=-⋅=-=∆∆=⋅∆∆===v 14.4 两个谐振子作同频率、同振幅的简谐振动.第一个振子的振动表达式为
)c o s (1φω+=t A x ,当第一个振子从振动的正方向回到平衡位置时,第二个振子恰在正方
向位移的端点.求:(1)第二个振子的振动表达式和二者的相位差；(2)若t =0时,2
1A
x -=并向x 负方向运动,画出二者的x-t 曲线及旋转矢量图.
解： (1) 用旋转矢量法分析，当第一个振子从振动的正方向回到平衡位置时，第二个振子恰好在正方向端点。

如图所示，显然第二个振子比第一个振子落后2
π。

即2πϕ-=∆
所以，第二个振子的振动表达式为
)2cos(2π
ϕω-
+=t A x
(2) 当t=0时，2cos 1A A x ==ϕ 即有πϕ3
2
=
所以，)3
2cos(1πω+
=t A x
6
cos(232cos(2πωππω+=-+=t A t A x
习题14.4图
14.5 两质点沿同一直线作频率和振幅均相同的简谐振动,当它们每次沿相反方向互相通过时,
它们的位移均为它们振幅的一半,求这两个质点振动的相位差。

解：如图所示：
图14-41习题14.7图
1212cos()cos()2
33A
A t A t t t ωϕωϕπ
ωϕπ
ωϕ=+=++=±
+=±
210ϕϕϕ∆=-=或2
3
π
依题意取2
3
π
14.6一简谐振动如图14-40所示,已知速度振幅为10 cm·s -
1,求振动方程. 解：由图可知：2A cm =, 0002
A
x =->v
∵1
1105A cm s
s ωω--=⋅∴=
0001
2
cos 2
3
x A ϕϕπ==-
=±
而00020
sin 0
3
ϕϕπ>∴<=-v
2
2cos(5)()3
x t cm π∴=-
14.7 在光滑的桌面上,有劲度系数分别为k 1和k 2的两个弹簧
以及质量为m 的物体,用它们构成两种弹簧振子,如图14-41所示.分别求这两个系统的固有角频率.
解：(1)若物体从平衡位置向左偏移了x ，则由受力分析可得到
x k k x k x k )()(F 2121+-=+-=合
所以，21k k k += 而m
k k m k 2
1+==
ω (2)同样，若物体向左偏移了x ，而两弹簧伸长量分别为21x x 和，则有21x x x +=。

所以，11x k F =，22x k F = 即有F k k x x )1
1(
2
121+=+ F k k x )1
1(
2
1+=
所以，2
12
1k k k k k +=
)
(212
1k k m k k m
k +==
ω
14.8 有一轻弹簧,下面挂一质量为10g 的物体时,伸长量为4.9cm,用此弹簧和一质量为80g 的小球构成一竖直方向的弹簧振子,求振动的周期及振动表达式.
解： 弹簧挂10g 物体平衡时有kx mg =
)/N (210
9.4108.92
2
m x mg k =⨯⨯==⇒-- 当挂80g 物体时，)/(510802
3
s rad m k =⨯==
-ω 在初始状态0t =时，{00
cos 1.0cos 5.0/x A cm
A cm s ϕωϕ====v
由上方程可求得00tan 14A x πϕϕω⎧==⎪⎪⎨⎪=-=-⇒=-⎪⎩
所以)4
5cos(1022π
-
⨯=
t x
14.9 劲度系数k ,质量M 的水平弹簧振子,作振幅为A 的简谐运动时,一块质量为m 的粘土从h 高度自由下落到振动物体上并与之一起运动.如果粘土落到振动物体上时,(1)振子刚好处于最远处,(2) 振子刚好处于平衡位置,分别求上面两种情况下振子的周期和振幅？
解： (1) m 在M 处于最远处时落在物体上一同运动且振幅仍为A 。

2T π
=
(2) 振子处于平衡位置时m 下落粘合： 此时水平方向无外力作用，
0x
F
=∑，动量守恒：
设振子运动速度0v ，一同运动速度v 。

则
00()M
M m M m M
=+∴=
+v v
v v
振子系统机械能守恒：
22022112211()'22
M kA m M kA =+=v v
(1)
(2)
习题14.9图
'A ∴=
,2T =
14.10质量为m =0.01kg ,摆长为l =1m 的单摆开始时处在平衡位置.(1)若t =0时给摆球一个向右的水平冲量I =0.05kg.m/s ,且摆角向右为正,求振动的初相位及振幅；(2) 若冲量向左则初相位为多少？
解： (1) 由0t =时，000,0=>v v 可知02
π
ϕ=-
05/I
I m m s m
=∆∴=
=v
v 2
01(1cos )2
m m mgl θ=-v cos 0.26
1.5m m rad θθ=≈
(2) 0t =时，00000
2
π
θϕ=<∴=
v
14.11 一物体放在水平木板上,此板沿水平方向作简谐振动,频率为每秒2次,物体与板面间的最大静摩擦系数为0.50.问:(1)当此板沿水平方向作频率为2Hz 的简谐振动时,要使物体在板上不致滑动,振幅的最大值应是多大？(2)若令此板改作竖直方向的简谐振动,振幅为5.0cm ,要使物体一直保持与板面接触,则振动的最大频率是多少？
解： (1)当板沿水平方向运动时，物体是在静摩擦力作用下作简谐振动，当该静摩擦力 未达到最大静摩擦力时，物体不致在木板上滑动。

x m ma f 2ω-==
最大静摩擦力 mg f μ=max
物体不致在木板上滑动，满足max max f ma ≤， 所以 mg A m μω≤2
m g
A 031.02=≤
ω
μ (2)物体运动到最高点时，加速度最大，方向向下。

有牛顿第二定律有：N mg ma -=max N 是木板对物体的支持力，所以
)()(2max A g m a g m N ω-=-=
2240g A π->v
习题14.10图
要使物体保持与板接触，则需0>N 。

所以 2
2
40g A π->v
2.2Hz <
=v
14.13质量为M =4.99kg 的木块和劲度系数为k =8×103N·m -
1构成弹簧振子,开始时静止在光滑水平面上,当质量为10g 的子弹以1000 m/s 的速度沿弹簧长度方向水平射入木块后开始振动,求周期、振幅和振动能量. 解：
20.05()T s π==
子弹射入过程中，子弹木块系统水平动量守恒：
0222()20/()
1
()10211()0.0522
m m m M m s
m M E m M J
m M kA A m =+==+=+=+=∴=v v v
v v v
14.14 在简谐振动中,当位移为振幅的一半时,总能量中有多大一部分为动能,多大一部分为势能;在多大位移处,总能量的一半是动能,另一半是势能？从平衡位置到此位置最短需要多长时间？
解：对于简谐振动 )cos(
ϕω+=t A x 来说，其动能和势能分别为 )sin(21
2ϕω+=
t KA E k )cos(21
2ϕω+=t KA E p
则当2A x =
时，2
1
)cos(=+ϕωt ，23)sin(=
+ϕωt 所以 43212⋅=
KA E k ，41
212⋅=KA E P 即 总E E k 43= ，总E E P 4
1
=
(2) 欲E E E P k 2
1
==，
则应有)sin()cos(ϕωϕω+=+t t
即2
2
)cos(±
=+ϕωt A x 22±=⇒
m
v
习题14.13图
当A x 2
2
±
=时，总能量一半是动能，一半是势能。

14.15 一质点同时参与了两个一维的简谐振动cos ωt 和
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+2cos 3πωt .试求该质点的合振动的振幅A 及初相
位0ϕ.
解：2)cos(212212
221=-++=
ϕϕA A A A A 合
0023tg ϕϕπ
==
14.16 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动,其表达式为
)
SI ()
6
2cos(03.0)
SI ()
62cos(04.021π
π
-=+=t x t x
试写出合振动的表达式. 解：1100.046
A m π
ϕ==
2200.036
A m π
ϕ==-
222
121220102cos()37
0.06A A A A A A m ϕϕ=++-=≈
11221122sin sin tan 0.08cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=
=≈+
0.06cos(2arctan 0.08)()x t m =+
14.17 三个同方向、同频率的简谐振动为
)
6
510cos(1.0)210cos(1.0)
6
10cos(1.0321π
π
π
+=+
=+=t x t x t x 试用旋转矢量法求出合振动的表达式. 解：如图，1x 与3x 合成振动与2x 同步
2.020==∴A A 合
习题14.15图
022
π
ϕϕ==
0.2cos(10)2
x t π
∴=+
14.18 如图14-43所示两个同频率简谐振动,试写出合振动的表达式.
解：由两振动曲线可知两分振动的方程:
1240.02cos()
3642
0.02cos()
33
x t x t π
πππ=+=+
124520.02cos()cos
312445
)()
312
x x x t x t m π
ππππ=+=⨯+⋅=+
14.19 两支C 调音叉,其一是标准的256Hz,另一是待校准的.同时轻敲这两支音叉,在25s 内听
到10拍.如果给待校音叉滴上一滴石腊后拍频增加, 试问待校音叉的频率是多少？
解：拍频10
0.425
Hz υ∆=
= 由滴石腊后拍频增加可知待校音叉的频率小于标准音叉频率， 2560.4255.6Hz υ∴=-= 14.20 设有下列两对相互垂直的振动:
(1)x ＝a sin ωt ,y ＝b c os ωt ； (2)x ＝a cos ωt ,y ＝b sin ωt ,
试问它们的合成分别代表什么运动,两者有何区别？ 解：(1)
{sin cos x a t
y b t ωω== 消t ：22221x y a b +=
合运动为椭圆(右旋)顺时针
(2)
{
cos sin x a t
y b t ωω== 消t ：22221x y a b +=
两椭圆轨迹方程相同(左旋)逆时针
14.23 日光灯电路中，灯管相当于一个电阻R ,镇流器是一个电感L ,二者串联,若灯管两端电压和镇流器两端电压分别为
)(V)
2
100cos(2200(V)
100cos 29021π
ππ+==t u t u
试求总电压u 的表达式.
解： 题目所求的总电压为所给两同方向同频率简谐运动的电压的合成。

振幅)cos(221212
22
1ϕϕ-++=U U U U U
14.20图
(a)
14.20图(b)
V V 31096210≈=
而9
20
cos cos sin sin tan 22112211=++=
ϕϕϕϕϕU U U U
所以 )9
20arctan
100cos(310+=t U π
第15章
15.1 平面简谐波的振幅为5.0cm,频率为100Hz,波速为400m/s,沿x 轴正方向传播,以波源处的
质点在平衡位置向y 轴正方向运动时作为计时起点,求:(1)波源的振动方程;(2)波函数;(3)t =1s 时距波源100cm 处的质点的相位. 解：(1) 波源： 5.02200A cm ωπνπ===
00002
:v t y π
ϕ==>∴=-
波源振动方程为2
510cos(200)2
y t π
π-=⨯-
(2) x 正向传400/u m s =
波方程2
510cos[200()]4002
x y t ππ-=⨯-
- (3) 11001t s x cm m === 代入
200()200199400222
x t πππ
ϕπππ=-
-=--= 15.2 已知波函数为
y=a cos ( bt - cx + d )
式中a 、b ，c 及d 为常量.试求:(1)波的振幅、频率、周期、波长、波速及x =0处的初相;(2)在波的传播方向上,相距为l 的两点的相位差.
解：cos()y a bt cx d =-+
0cos[2(
)]22t x a b c
πϕππ=-+ 对比0cos[2()]t x
y A T πϕλ=-+可知
(1) 222b A a T b c ππ
νλπ====
0b
u d c λνϕ===。