整式方程和分式方程-教师版
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【例1】下列关于x 的方程中,为一元整式方程的是( )
A .343x y -=
B .24x -
C .32
2x x =-
D .22350x x --=
【难度】★ 【答案】D
【解析】含有一个未知数,且各项均为整式的方程,称为一元整式方程. 【总结】考察一元整式方程的概念.
【例2】判断下列关于x 的方程,哪些是一元整式方程,并指出这些整式方程分别是一元几次方
程?
① 23270x a x +-=; ②321
240(0)x x x a b a b
+-
=+≠+; ③1
3(0)1
x x x +
=≠-; ④212(0)x x x +=-≠; ⑤2
13502
m xm x ⋅+-=-; ⑥
352270(1)1x x x b b +--=≠-. 【难度】★
【答案】 ①、②、⑥都是整式方程;①是一元二次方程;②是一元三次方程;⑥是一元五次方 程.
【解析】“元”表示未知数的个数,“次”表示未知数的最高次数,各项都是整式的方程是整式方程;
【总结】考察一元整式方程的概念.
【例3】(1)若关于x 的方程62ax x +=的解为2,则a =__________;
(2)若方程2250x kx --=的一个根是1-,则k =__________. 【难度】★
【答案】(1)1a =-(2)3k =
【解析】(1)把2x =代入62ax x +=,得:2641a a +=∴=-,; (2)把1x =-代入2250x kx --=,得:2503k k +-=∴=,. 【总结】考察对方程的解的概念的理解及应用.
例题解析
【例4】若关于x 的二项方程420x m +=没有实数根,则m 的取值范围是(
)
A .0m ≤;
B .0m <;
C .0m ≥;
D .0m >;
【难度】★ 【答案】D
【解析】因为42x m =-,所以41
2x m =-,若方程没有实数根,则0m >.
【总结】考察二项偶次方程有解的情况.
【例5】关于x 的方程2410mx x --=实数根的情况是( ) A .1个
B .2个
C .1个或2个
D .不确定
【难度】★★ 【答案】D
【解析】当0m =时,方程化为1
4104
x x +==-,,只有一个解;当0m ≠时,方程为一元二次
方程,160m =+≥V ,即16m ≥-且0m ≠时,方程有两个实数根,160m =+ 【例6】如果m .n 为常数,关于x 的方程2(2)32 x km kx n -+-= ,无论k 为何值,方程的解总是 1 2 ,则m =___________,n =____________. 【难度】★★ 【答案】13216 m n == ,. 【解析】将方程整理得:()4168k x km n -=--,把12 x =代入得:()1 41682k km n -=--, 整理得:()13282m k n -= -,若k 为任意实数,则13 216 m n ==,. 【总结】考察含字母的系数的整式方程解的讨论及综合应用. (1)42416x x =; (2)4220x x +-=; (3)222(231)22331x x x x -+=-+; (4)22(1)1x x x +--=. 【难度】★★ 【答案】(1)1234022x x x x ===-=,,; (2)1211x x =-=,; (3)123433 0322 x x x x ====-,,,; (4)12342210x x x x =-==-=,,,. 【解析】解:(1)由42416x x =,得:4240x x -=,即()()2 220x x x +-=, 解得原方程的解为:1234022x x x x ===-=,,; (2)由4220x x +-=,得:()()22210x x +-=,即() ()()22110x x x ++-=, 解得原方程的解为:1211x x =-=,; (3)由222(231)22331x x x x -+=-+, 得:()()()2 22223223111231x x x x x x -+-+=-+, 即()()2 22239230x x x x ---=, 分解因式,得:()()()233230x x x x --+=, 解得原方程的解为:123433 0322x x x x ====-,,,; (4)因为22(1)1x x x +--=,所以分以下情况讨论: ①当20x +=时,解得:12x =-; ②当211x x --=时,解得:2321x x ==-,; ③当211x x --=-时,解得:4501x x ==,, 当211x x --=-时,2x +应为偶数,1x ∴=舍去, 故原方程的解为:12342210x x x x =-==-=,,,. 【总结】本题主要考察一元高次方程的解法,第(4)问注意要从多个角度进行分类讨论.