高等数学 习题册解答_10.重积分(青岛理工大学)
《重积分计算习题》课件
重积分的几何意义
平面区域上的重积分
表示被积函数对应的曲面在平面区域 上所围成的体积。
空间区域上的重积分
表示被积函数对应的立体在空间区域 上所围成的体积。
02 重积分的基本计算方法
直角坐标系下的计算方法
直角坐标系下，重积分可以通过 将积分区域划分为若干个小矩形 ，然后分别对每个小矩形进行积
分，最后求和得到结果。
计算曲面的面积
重积分可以用来计算曲面 的面积，如球面、锥面等 。
确定空间点的位置
通过重积分可以确定空间 中某点的位置，如重心、 形心等。
在物理学中的应用
计算质量分布
在力学中，重积分可以用 来计算分布质量对物体运 动的影响。
计算引力场
在万有引力定律中，重积 分可以用来计算物体之间 的引力。
计算电场
在电动力学中，重积分可 以用来计算电荷分布产生 的电场。
如何提高重积分计算的准确性和效率
多做习题
通过大量的习题练习， 提高计算准确性和效率
。
细心审题
仔细阅读题目，确保理 解题意，避免因为理解
错误导致计算错误。
掌握计算技巧
掌握一些计算技巧，如 换元法、分部积分法等 ，可以提高计算效率。
利用数学软件
对于一些复杂积分，可 以利用数学软件进行计 算，提高计算准确性。
对于多重积分，可以按照积分次 序逐层积分，从外层到内层依次
积分。
在计算过程中，需要注意积分的 上下限，以及被积函数的定义域
。
极坐标系下的计算方法
在极坐标系下，重积分可以通过将积 分区域划分为若干个小圆环，然后分 别对每个小圆环进行积分，最后求和 得到结果。
在极坐标系下，需要注意极角和极径 的范围，以及被积函数的定义域。
青岛理工大学线性代数练习册答案
第一章n 阶行列式1.求下列各排列的逆序数：(1) 134785692 (2) 139782645 (3) 13…(2n-1)24…(2n) (4) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 （11;17;2)1(-n n ;)1(-n n ） 2. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) .3.计算下列各阶行列式：(1) 600300301395200199204100103 (2)0d 0c 0b0a 0 (3)efcf bf de cd bdaeac ab --- [2000; 0; 4abcdef]4. 设xx x x x D 111123111212-=，则D 的展开式中3x 的系数为 -1 .5 求二次多项式()x f ，使得()61=-f ，()21=f ，()32=f解 设()c bx ax x f ++=2，于是由()61=-f ，()21=f ，()32=f 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-32426c b a c b a c b a 求c b a ,,如下： 06124111111≠-=-=D ，61231121161-=-=D ，121341211612==D ，183242116113-=-=D 所以 11==D D a ，22-==D D b ，33==DD c故()322+-=x x x f 为所求。
行列式的性质；克拉默法则1.n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为( D ). （A ）- （B ）+ （C ）n)1(- （D ）1)1(--n2.如果1a a a a a a a a a D 333231232221131211==，求333231312322212113121111a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4--- [-12] 3. 已知4521011130112101--=D ，计算44434241A A A A +++ [-1] 4. 计算行列式383326229432231---- [-50] 5.计算下列各行列式（D k 为k 阶行列式）(1)a11a,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0; [2--n naa ](2) aa a a x a a a x ; [1)(--n a x a ](3)n1n 321a xxxxx a x x x x xa xxx x x a xx x x x a- [利用递推公式来求]递推公式为1121)()())((---+---=n n n n D x a x a x a x a x Dn D =)1)(())((2121xa xx a x x a x x a x a x a n n -++-+-+--- (4) n2222232222222221[)!2(-n ](5)β+ααββ+αβ+ααββ+ααββ+ααββ+α1000000100001000010000[n n n n βαββαα++++--11 ] 6.问λ，μ取何值时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0x x 2x 0x x x 0x x x 321321321有非零解？ [0;1==μλ]求每类商品的销售利润率。
青岛理工大学2011级高等数学(上)B试题及答案
一、选择题：每题2分，共10分 注意：请将答案填入下表，否则不给分。
1．“当0x x →时，A x f -)(是无穷小”是A x f x x =→)(lim 0的（ ）。
A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件2．若)(0x f '存在，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000=（ ）。
A. )(0x f '-B.)(0x f 'C. )(20x f 'D.)(20x f '- 3．若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且),(b a x ∈时，0)(<'x f ，又0)(<a f ，则（ ）。
A.)(x f 在],[b a 上单增且)(b f >0B.)(x f 在],[b a 上单增且)(b f <0C.)(x f 在],[b a 上单减且)(b f <0D.)(x f 在],[b a 上单增，但)(b f 的符号无法确定 4．下列反常积分发散的是（ ）。
A.⎰1xdx B.⎰-112x dx C.⎰+∞-0dx xe xD.⎰+∞∞-+21x dx 5．如函数y=(C 1+C 2x)e 2x，满足初始条件： y|x=0=0， y '|x=0=1，则C 1,C 2的值为（ ）。
A. C 1=0，C 2=1 B. C 1=1，C 2=0 C. C 1=π，C 2=0 D. C 1=0，C 2=π 二、填空题：每题2分，共10分 注意：请将答案填入下表，否则不给分。
1．极限⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x x 7sin 3sinlim =_______________。
2．设x x f arctan )(=，则)0(f ''=_____________。
3．反常积分⎰+∞∞-++222x x dx=___________________。
资料：第十章 重积分答案
第十章 重积分答案第一节 二重积分的概念与性质1．根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值。
)1(; ,222222a y x D d y x a D≤+--⎰⎰为其中σ解：由二重积分的几何意义知，;323222a d y x a Dπσ=--⎰⎰)2(.0 , ,)(222D22>>≤++-⎰⎰a b a y x D d y x b 为其中σ 解：由二重积分的几何意义知，).32()(2D22a b a d y x b -=+-⎰⎰πσ 2．根据二重积分的性质，比较下列积分的大小。
)1(;1)2()2( ,)( )(2232≤-+-++⎰⎰⎰⎰y x D d y x d y x DD为其中与σσ 解：由 1)2()2(22≤-+-y x 知 ,1|2|,1|2|≤-≤-y x 即 ,31,31≤≤≤≤y x 于是 ,12>≥+y x 所以 32)()(y x y x +<+ 于是.)( )(32σσd y x d y x DD⎰⎰⎰⎰+<+ ;10 ,53:,)][ln( )ln()2(2≤≤≤≤++⎰⎰⎰⎰y x D d y x d y x DD是矩形区域其中与σσ解：在D 内 x +y >e , 故 ln(x+y )>1, 于是.)][ln( )ln(2⎰⎰⎰⎰+<+DDd y x d y x σσ .1 ,21,0 ,0 , )ln()3(所围成是由直线其中与=+=+==+⎰⎰⎰⎰y x y x y x D xyd d y x DDσσ解：在D 中，,0,0≥≥y x 且,121≤+≤y x 而不在直线x +y =1上的D 内任何点(x , y ), 都有 ,121<+≤y x 故 ,)ln(xy y x <+ 于是. )ln(⎰⎰⎰⎰<+DDxyd d y x σσ3．利用二重积分的性质估计下列积分的值。
)1(};4|),{( ,)94(2222≤+=++⎰⎰y x y x D d y x D其中σ 解：上，：在区域422≤+y x D ,259449)(49492222=+⋅≤++≤++≤y x y x ,422ππσ=⋅=的面积为而区域D从而 ,425)94(4922πσπ⋅≤++≤⋅⎰⎰D d y x 即 .100)94(3622πσπ≤++≤⎰⎰Dd y x)2(}.20 ,10|),{( ,)(22≤≤≤≤=--+⎰⎰y x y x D d y x xy x D其中σ 解：,),(22y x xy x y x f --+=设 则 f (x ,y )在D 上的最大值,31)31,32(==f M 最小值,4)2,0(-==f m 区域D 的面积,2=σ 从而 .32)(822≤--+≤-⎰⎰Dd y x xy x σ 4．设 f (x ,y ) 为一连续函数，试证：).0,0(),(1lim2222f dxdy y x f y x =⎰⎰≤+→ρρπρ证：由于f (x ,y )连续，由二重积分中值定理知，存在点}|,{),(222ρηξ≤+∈y x y x ，使得),,(),(),(2222ηξπρσηξρf f dxdy y x f y x =⋅=⎰⎰≤+所以 ),(1lim),(1lim222222ηξπρπρπρρρρf dxdy y x f y x ⋅=→≤+→⎰⎰).0,0(),(lim 0f f ==→ηξρ第二节 二重积分的计算1．计算下列二重积分(1) ;10 ,10 : ,122≤≤≤≤+⎰⎰y x D d y x D其中σ 解：⎰⎰+D d yx σ221⎰⎰+=1021021y dy dx x 01arctan 01313y x ⋅=12π=。
高数重积分测试题
高数重积分测试题 Prepared on 22 November 2020高数测试题七（重积分部分）答案一、 选择题（每小题5分，共25分）1、交换积分00(,)(a ydy f x y dx a ⎰⎰为常数）的次序后得（ B ） A 00(,)y a dx f x y dy ⎰⎰ B 0(,)a ax dx f x y dy ⎰⎰ C 00(,)a x dx f x y dy ⎰⎰ C 00(,)a ydx f x y dy ⎰⎰ 2、设2222222()()x y z t F t f x y z dv ++≤=++⎰⎰⎰，其中 f 为连续函数，(0)f '存在，而(0)0,(0)1f f '==，则50()limt F t t →=（ B ） A π B 45π C 35π D 25π 3、球面22224x y z a ++=与柱面222x y ax +=所围成立体体积（含在柱内部分）为（ C ）A 2cos 2004a d πθθ⎰⎰B 2cos 2008a d πθθ⎰⎰C 2cos 2004a d πθθ⎰⎰D 2cos 202a d πθπθ-⎰⎰4、设D 是xy 平面上以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )Dxy x y d σ+⎰⎰=（ A ）A 12cos sin D x yd σ⎰⎰B 12D xyd σ⎰⎰C 1(cos sin )D xy x y d σ+⎰⎰ D 05、设2222222222sin()1arctan 0(,)02x y x y x y x y f x y x y π⎧++≠⎪⎪++=⎨⎪+=⎪⎩ ， 区域22:(0)D x y εε+≤>，则01lim (,)D f x y d εσπε+→⎰⎰=（ A ） A 2π B π C 0 D ∞二、填空题（每小题5分，共25分）1、设(,,)I f x y z dxdydz Ω=⎰⎰⎰，积分区域:0z z y Ω≤≥≥所确定，则I 在柱面坐标系下的三次积分为1200(cos ,sin ,)d rdr f r r z dz πθθθ⎰⎰2、设D 是由3,(0)y x y x x ==>所围成的平面区域，则 sin D x d xσ⎰⎰= 32(cos1sin1)-+ 3、二次积分2220y x dx e dy -⎰⎰= 41(1)2e -- 4、设D 是由11,22x y -≤≤-≤≤围成的平面区域，则3(2)Dx y dxdy +⎰⎰= 05、设Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域，则222222ln(1)1z x y z dxdydz x y z Ω++++++⎰⎰⎰= 0 三、计算题1、（6分）计算 222:(0)Dxy dxdy D x y a a +≤>⎰⎰解：由对称性知3、（6分）计算D ，其中D 为 221x y +≤的第一象限部分 解：原式=220(2)48d t r πππθπ==-⎰⎰⎰ 4、（8分）22224:9Dx y dxdy D x y +-+≤⎰⎰解：5、（6分）计算Ω，其中 Ω为2216,4,0x y y z z +=+==所围成的区域 解：原式=244sin 0005123r d rdr rdz πθπθ-=⎰⎰⎰6、（8分）计算22222222:,2(0)z dv x y z a x y z az a ΩΩ++≤++≤>⎰⎰⎰解： 1222220222222202[][]59(2)()480z z a a a D D a a a z dv z d dz z d dz z az z dz z a z dz σσπππΩ=+=-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
(完整版)重积分习题及答案
第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。
(3) 在极坐标系中，面积元素为 。
2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。
4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。
5．交换积分()⎰⎰-2120,ydx y x f dy 的积分次序。
6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。
7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。
8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。
9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。
10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。
11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。
高等数学重积分习题课PPT课件
质心定义
质心是物体质量的中心点，对于 连续分布的物体，质心可以通过 重积分计算得到。
形心定义
形心是物体几何形状的中心点， 对于平面图形或立体图形，形心 可以通过重积分计算得到。
质心与形心的关系
在某些情况下，质心和形心可能 重合，但在一般情况下，它们是 不同的点。质心和形心的求解方 法类似，都需要用到重积分。
保号性
若在区域$D$上，有$f(x,y) leq g(x,y)$，则 $iint_{D} f(x,y) dsigma leq iint_{D} g(x,y) dsigma$。
积分区域的可加性
若区域$D$被划分为两个子区域$D_1$和$D_2$， 且它们没有公共部分，则$iint_{D} f(x,y) dsigma = iint_{D_1} f(x,y) dsigma + iint_{D_2} f(x,y) dsigma$。
球面坐标系下三重积分计算
球面坐标变换
将直角坐标系下的三重积分通过球面坐标变 换转化为球面坐标系下的三重积分。
投影法与截面法在球面坐标 系中的应用
类似于直角坐标系和柱面坐标系下的方法，通过投 影或截面将三重积分转化为二重积分或一重积分进 行计算。
利用球面坐标系的性质简 化计算
根据球面坐标系的性质，选择合适的积分顺 序和积分限，简化三重积分的计算过程。
学习方法与建议
01
重视基础知识的学习
在学习重积分的过程中，需要重视基 础知识的学习，如多元函数的微分学 、向量分析等，这些知识是理解和应 用重积分的基础。
02
多做习题巩固知识
通过大量的习题练习，可以加深对重 积分知识的理解和掌握，提高解题能 力和思维水平。
03
寻求帮助和辅导
青岛理工大学线性代数练习册答案
第一章n 阶行列式1.求下列各排列的逆序数：(1) 134785692 (2) 139782645 (3) 13…(2n-1)24…(2n) (4) 13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 （11;17;2)1(-n n ;)1(-n n ） 2. 已知排列9561274j i 为偶排列，则=),(j i (8,3) .3.计算下列各阶行列式：(1) 600300301395200199204100103 (2)0d 0c 0b0a 0 (3)efcf bf de cd bdaeac ab --- [2000; 0; 4abcdef]4. 设xx x x x D 111123111212-=，则D 的展开式中3x 的系数为 -1 .5 求二次多项式()x f ，使得()61=-f ，()21=f ，()32=f解 设()c bx ax x f ++=2，于是由()61=-f ，()21=f ，()32=f 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-32426c b a c b a c b a 求c b a ,,如下： 06124111111≠-=-=D ，61231121161-=-=D ，121341211612==D ，183242116113-=-=D 所以 11==D D a ，22-==D D b ，33==DD c故()322+-=x x x f 为所求。
行列式的性质；克拉默法则1.n 阶行列式ij a D =，则展开式中项11342312n n n a a a a a - 的符号为( D ). （A ）- （B ）+ （C ）n)1(- （D ）1)1(--n2.如果1a a a a a a a a a D 333231232221131211==，求333231312322212113121111a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4a a 3a 2a 4--- [-12] 3. 已知4521011130112101--=D ，计算44434241A A A A +++ [-1] 4. 计算行列式383326229432231---- [-50] 5.计算下列各行列式（D k 为k 阶行列式）(1)a11a,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0; [2--n naa ](2) aa a a x a a a x ; [1)(--n a x a ](3)n1n 321a xxxxx a x x x x xa xxx x x a xx x x x a- [利用递推公式来求]递推公式为1121)()())((---+---=n n n n D x a x a x a x a x Dn D =)1)(())((2121xa xx a x x a x x a x a x a n n -++-+-+--- (4) n2222232222222221[)!2(-n ](5)β+ααββ+αβ+ααββ+ααββ+ααββ+α1000000100001000010000[n n n n βαββαα++++--11 ] 6.问λ，μ取何值时，齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0x x 2x 0x x x 0x x x 321321321有非零解？ [0;1==μλ]求每类商品的销售利润率。
高数第十章习题.docx
第十章重积分第二节二重积分计算法习题 一、填空题：1、+ 3兀2歹 + y 3)d(j = _______________ .其中 D: 0 < x < 1,0 < y < 1.D2、 J jxcos(x+yW = ___________________ •其中D 是顶点分别为(0,0),(龙,0),(兀,兀)的三角形闭区域.D3、 将二重积分JJ/(x,yW ，D 是由X 轴及半圆周%4 5 + y 2 = r 2(y>0)所围成的闭区域，化为先对y 后对x 的二次积分，应为D4、将二重积分Jj f(x, y)db ,其中D 是由直线y = x,x = 2及双曲线y = -(x>0)所围成的闭域，化为先对X 后对y 的二次积分, D X应为 ___________________________ ・ sinxx /(匕y)dy 改换积分次序，应为 -sin —2£_2 dyf. f(x, y)dx +〜y)dx 改换积分次序，应为 ____________________________________二、画出积分区域，并计算下列二重积分：1、 J j e x+y d(y,其中D 是由|x| + |^| <1所确定的闭区域.D2、 J J(%2+ /-x)da 其中D 是由直线y = 2y y = xRy = 2兀所围成的闭区域. D训JD三、 设平面薄片所占的闭区域D 由直线x+ y = 2, y = x 和x 轴所围成，它的面密度p(x, y) = x 2 + y 2,求该薄片的质量. 四、 求由曲面z = x 2+ 2y 2及z = 6 — 2+ — y2,所围成的立体的体积. 答案f(x,y)dy ； 4.刃6仕+『创了(兀,以仕；5、(创*： ' /(兀,y 皿;2 7 v_y4、将(心［/(x, y)dy 化为极坐标形式的二次积分为 ______________________________ .5、将£ (x 2 + y 2)^dy 化为极坐标形式的二次积分为 ____________________ ,其值为 ________________二、计算下列二重积分：1、jjln(l + x 2 + y 2)da t 其中D 是由圆周x 2 + y 2 = 1及坐标轴所围成的在第一彖限内的区域.DD4 将JJ f(x, y)dxdy , D 为x 2 + y 2<2x,表示为极坐标形式的二次积分，为 ______________D5 将JJ/(x,y)dxdy 小为05 y 51—兀，05x51,表示为极坐标形式的二次积分为W一］13 5 兀 4 、〜二 1、e-e : 2、—:3、 兀；4、—F —•二 S 一•四、6龙63 2 3极坐标习题一.填空题：arcsin v/•（） p/r「1 /•^•-arcsin vr2 r\+x 26、Whc 加（3）如 IM 如/（3心 7、WL f^y ）dy.5、将二次积分 MTy)dy 改换积分次序，应为 ___________________________7、将二次积分3' «［”（兀皿=）?叫dy（彳-x ）（x-刃3>将X 2 +)労化为极坐标形式的二次积分为 y-x 2 dxdy,其中D ： -1 <x<l,0< y <2.2、 Jj(x 2 + y 2)d(m 中 D 是由直线 y 二兀，y = x + a,y = a,y = 3a(a > 0)所罔成的区域. D3、 JJjF 一F — bdb,其中D 是由圆周X 2 + y 2 = Rx 所围成的区域.D4、 j||x 2 + / -2c/cr, Jt 中 D ：F + y2s3.D芒/*2acos^三、 试将对极坐标的二次积分I = J/(rcos^,rsin^)rJr 交换积分次序."4°yz 7^ /> ° 四、 设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线r = 2 &上一段弧(0<3<-)与直线0 =-所闱成，它的面密度为p(x, y) = x^ + y\求 这薄片的质量.五、计算以xoy 面上的圆周x 2 + y 2 = ax 成的闭区域为底，而以曲面z = x 2 + y 2为顶的曲顶柱体的体积. 答案r — r2cos^r — p(cos^+sin^)"—、1、J ：d/(rcos^,rsin 0ydr ； 2、 啊&sineI/(厂cos&rsin&)厂dr ； 5、|4kccOlan*JO4、丄龙.三、/ = £ 1rdr^\ f(rcosO,rsin2 ° "4第三节三重积分习题 一、填空题：1、若Q 由ill 「血z = x 2 + >?2及平血z=l 所围成，则三重积分JJJ/(%, y, z)dxdydz 化为三次积分是 Q222、若O 是由illiiiicz = A ><C >0), * +》〒 = l,z=o 所围成的在第一卦限内的闭区域，则三重积分jjj/(x,z^dxdydz 可化为三61 Q次积分为 ________ ■3、 若Q:0<x< 1,()< y < 1,0<z< 1,则 jj (兀 + y + z)dxdydzQ4、 若 Q ：是由 x = 0, z = 0, z = h(h > 0), x + 2y =。
第十一章青岛理工大学高数练习册答案
第十一章 无穷级数§ 1 常数项级数的概念和性质 1C,2D,3C 4、若+∞=∞→nn b lim ，0≠n b ,求 )11(11+∞=-∑n n n b b 的值 解： (=nS 11143322111)11......()11()11()11(++-=-+-+-+-n n n b b b b b b b b b b 所以11lim b S n n =∞→ 5、若级数∑∞=1n na收敛，问数列{n a }是否有界解：由于0lim =∞→nn a ，故收敛数列必有界。
6、若a a nn =∞→lim ，求级数)(11∑∞=+-n n n a a 的值解：=n S 1113221)......())(()(++-=-+-+-n n n a a a a a a a a故a a a a a a n n n n n-=-=-+∞→∞=+∑11111)(lim )(7、求)(12121-+∞=-∑n n n a a 的值解：=nS +-)(3a a a a a a a a n n n -=-+-+-+12121235)......()(故)(12121-+∞=-∑n n n a a =a a a n n -=-=+∞→1)(lim 128、求∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的和 ()41§ 2 常数项级数的审敛法一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性1、 判定级数∑∞=+-1)13)(23(1n n n 的敛散性解：由于)13)(23(1+-n n <21n,而∑∞=121n n收敛，故∑∞=+-1)13)(23(1n n n 收敛2、 判定敛散性∑∞=11n nnn解：nn = 2121).1(1.....1.1.<-=-+<nn n n n n n故n n n 1>n 21,而级数∑∞=121n n 发散，故∑∞=11n n nn 发散3、 判定敛散性∑∞=+111n na)0(>a,1>a 收敛; ≤<a 01, 发散4、 判定敛散性 ∑∞=-++13221n n nne n en ne (收敛);二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性5、 判定级数∑∞=1!.3n nn nn 的敛散性解：e a a nn n 3lim 1=+∞→>1,所以∑∞=1!.3n nn n n 发散6、 判定级数∑∞=-1354n nn n的敛散性解：154lim 1<=+∞→nn n a a ，所以∑∞=-1354n n nn收敛7、∑∞=+112tan.n n n π收敛8、 nn n an∑∞=+1)1( ，1>a 收敛三、判别下列级数是否收敛。
重积分习题(含答案)
x 2 y 2 被柱面 z 2 2 x 所割下部分的曲面面积.
2 2 2 2
5．求由曲面 z x 2 y 及 z 6 2 x y 所围成的立体的体积. 6． 计算三重积分 的区域。
x z dv ，其中 是由曲面 z
x 2 y 2 与 z 1 x 2 y 2 所围成
注意到
2 0
cosd 0 ，因此
2
x z dv 0
d 4 d r 3 sin cos dr
0 0
1
2
4 0
sin cos d
sin 2
2 2
4 0
8
1 2 x y 0
xd z dx
1 2 0
1 2 x 0
1 1 2 x1 2 x y dy 2 x1 2 x dx 2 0 96
1
4．求锥面 z
x 2 y 2 被柱面 z 2 2 x 所割下部分的曲面面积.
解 曲面 z x2 y 2 与 z22x 的交线在 xOy 面上的投影为 所求曲面在 xOy 在上的投影区域为 D{(x y)|x2y22x}
2
2
D
D
0
0
=3
2
0
d = 6
6． 计算三重积分 的区域。
x z dv ，其中 是由曲面 z
x 2 y 2 与 z 1 x 2 y 2 所围成
解：由于曲面 z
x 2 y 2 是一个圆锥面，曲面 z 1 x 2 y 2 是上半单位球面，
青岛理工大学《大物习题册》下第9和10章答案
= t 时原点： t = ，
O -0.10
10.0m
x/m
t t 所以 =−
t = th th tt − SI 波函数 = th th tt − ttt −
SI
(2) y7.5 m=0.1cos(500πt-7.5*π/10-π/3)= 0.1cos(500πt-13π/12) SI
(3) t=0 时，v7.5 m=-ωAsin(ωt-φ)=-50πsin(-13π/12)=-40.6 m/s2
t+ t
= 6.0×10-2 m；
2 = /2 [图（b）]. 则运动方程为 x2 = 6.0×10-2 cos (10t+0.5) (m)
‘
2
专业班级
学号
姓名
序号
§9.3~9.7
9.7 一物体质量为 0.25 kg，在弹性力作用下作简谐运动，弹簧的劲度系数 k=25N/m，如果起
始振动时具有势能 0.01 J 和动能 0.01 J，则其振幅为：【 D 】
S2
的相位落后
1 2
π
，在
S1
、S2
的
连线上， S1 外侧各点（例如 P 点）两波引起的两简谐振动的相位差
/4
是［ A ］
(A) 0
(B) 1 π 2
(C) π
(D) 3 π2
P
S1 S2
10.9 一平面简谐波在弹性介质中传播时，某一时刻介质中某质元在负的最大位移处，则它的能量
是［ B ］
(A) 动能为零，势能最大 (C) 动能最大，势能最大
x1 x2
0.4 cos(2t )m 6
0.3cos(2t 5 )m 6
（1）画出 x1 和 x2 的振动曲线；
青岛理工大学数学建模期末考试题目及答案详解
青岛理工大学数学建模期末考试题目及答案详解1、30、等腰三角形ABC中,AB=2BC,且BC=12,则△ABC的周长为( ). [单选题]A. 48B. 60(正确答案)C. 48或60D. 362、11．11点40分，时钟的时针与分针的夹角为（）[单选题] *A．140°B．130°C．120°D．110°(正确答案)3、33、点P(-5,-7)关于原点对称的点的坐标是（）[单选题] *A. (-5,-7)B. (5,7)(正确答案)C. (5,-7)D. (7,-5)4、12.下列方程中，是一元二次方程的为（）[单选题] *A. x2+3xy=4B. x+y=5C. x2=6(正确答案)D. 2x+3=05、16．我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（）[单选题] *A．-10℃(正确答案)B．-13℃C．+10℃D．+13℃6、260°是第（）象限角？[单选题] *第一象限第二象限第三象限(正确答案)第四象限7、函数f（x）=-2x+5在（-∞，+∞）上是（）[单选题] *A、增函数B、增函数(正确答案)C、不增不减D、既增又减8、24．下列各数中，绝对值最大的数是（）[单选题] *A．0B．2C．﹣3(正确答案)D．19、8、下列判断中：1.在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，就构成了平面直角坐标系；2.坐标平面内所有的点与所有实数之间是一一对应的；3.在直角坐标平面内点(x,y)与点(y,x)表示不同的两点；4.原点O的坐标是(0,0)，它既在x轴上，又在x轴上。
其中错误的个数是（）[单选题] *A.1B.2(正确答案)C.3D.410、的单调递减区间为（）[单选题] *A、（-1,1）(正确答案)B、（-1,2）C、（-∞，-1）D、（-∞，+∞）11、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B、33C、16D、412、4．在﹣，，0，﹣1，4，π，2，﹣3，﹣6这些数中，有理数有m个，自然数有n 个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（）[单选题] *A．3(正确答案)B．2C．1D．413、5．下列说法中正确的是（）[单选题] *A．没有最大的正数，但有最大的负数B．没有最小的负数，但有最小的正数C．没有最小的有理数，也没有最大的有理数(正确答案)D．有最小的自然数，也有最小的整数14、-2/5角α终边上一点P（-3，-4），则cosα=（）[单选题] *-3/5(正确答案)2月3日-0.333333333-2/5角α终边上一点P（-3，-4），则tanα=（）[单选题] *15、17．已知的x∈R那么x2（x平方）>1是x>1的（）[单选题] *A．充分不必要条件B．必要不充分条件(正确答案)C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16、1．如果点M（a＋3，a＋1）在直角坐标系的x轴上，那么点M的坐标为（）[单选题] *A．（0，－2）B．（2，0）(正确答案)C．（4，0）D．（0，－4）17、下列说法正确的是[单选题] *A.一个数前面加上“-”号，这个数就是负数B.零既不是正数也不是负数(正确答案)C.零既是正数也是负数D.若a是正数，则-a不一定是负数18、19．如图，共有线段（）[单选题] *A．3条B．4条C．5条D．6条(正确答案)19、y=kx+b（k是不为0的常数）是（）。
重积分部分难题解答
重积分部分难题解答1．（P148,第2题）求函数()y x y x f 22sin .sin ,=在闭正方形区域:D ()ππ≤≤≤≤y x 0,0上的函数值的平均值.解：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰ππ0202sin .sin ,ydy xdx dxdy y x f D202sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰πxdx ；又.22sin 41222cos 1sin |002ππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰⎰x x dx x xdx 所以().4,2π=⎰⎰dxdy y x f D故()y x f ,在闭正方形区域D 上的函数值的平均值为()().414,122===⎰⎰ππσdxdy y x f D S D2．（P148,第3题）设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，证明不等式()()().22dx x fa b dx x f ba b a ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡证明：考虑积分 ()()[]d x d y y f x f I D⎰⎰-=2一方面 ()()()()dxdy y f dxdy y f x f dxdy x f I DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=22.2()()()();222dx x fa b dy x fdx dxdy x fbab a baD⎰⎰⎰⎰⎰-==()()()()dy y fa b dy y fdx dxdy y f bababaD⎰⎰⎰⎰⎰-==222()();2dx x f a b ba⎰-=()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ba b a babaDdy y f dx x f dxdy y f x f dx dxdy y f x f ...().2⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰ba dx x f 代入）得 ()()().2222⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰ba badx x f dx x f a b I 另一方面显然0≥I ，即()()()02222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰b a badx x f dx x f a b ，故 ()()().22dx x f a b dx x f b a b a ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡3．（P149,第4题）设()x f 在闭区间[]b a ,上为正值连续函数.证明不等式()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 证法一：考虑到定积分与变量的记号无关.故有：()()⎰⎰=b a bay f dy x f dx()().dy y f dx x f bab a⎰⎰=所以， ()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D b a b a dxdy y f x f x f dx dx x f 其中，⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b y a b x a D 同理， ()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D b a b a dxdy x f y f x f dx dx x f ， ()()()()()()()()()().2.2⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D Db a b a dxdy y f x f x f y f dxdy y f x f x f y f x f dx dx x f ()222.Dd x d yb a ==-⎰⎰ 即：()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 证法二：因为()0≥x f ，所以，20b a dx ⎡⎤⎢≥⎢⎣⎰，即： ()()()220.b baadxf x dx b a f x λλ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰------（1） （1）式左边是λ的非负二次三项式，因此必有判别式()()()20b b a a dx b a f x dx f x ⎡⎤⎡⎤∆=--≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰，故()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 4．（书p149页习题8）设函数()x f 在[]b a ,上连续，证明：()()().dx x b x f dx x f dy bab ay a-=⎰⎰⎰证法一：()dxx f dy b aya⎰⎰对应的二重积分的积分区域⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b x a b y x D 交换积分次序后，重新计算()dx x f dy b a y a⎰⎰，则有 ()=⎰⎰dx x f dy bay a()dy x f dx b ab x⎰⎰()().dx x b x f ba-=⎰.证法二：记()()dx x f y F ya⎰=，则()()dy y F dx x f dy b a b a y a ⎰⎰⎰= ()[]()dy y F y y F y ba b a ⎰'-=|.()()()dy y f y a aF b bF ba⎰--=. ()()dx x f x dx x f b baba⎰⎰--=.0. ()().dx x b x f ba -=⎰5．（书p149页习题10）设()x f 为[]1,1-上的连续函数，证明：().4210⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰≤≤dx x f ab dxdy b y f a x f by ax证明：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰⎰--≤≤bb a a by ax dy b y f dx a x f dxdy b y f a x f . 其中对于dx a x f aa ⎰-⎪⎭⎫⎝⎛，令,a x u =则()()()dx x f a du u f a du u f a dx a x f aa⎰⎰⎰⎰===⎪⎭⎫⎝⎛--10101122；同理，对于dy b y f b b ⎰-⎪⎭⎫⎝⎛，令,b y v =则()()()dxx f b dv v f b dv v f b dy b y f bb⎰⎰⎰⎰===⎪⎭⎫⎝⎛--1010112.2().4210⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰≤≤dx x f ab dxdy b y f a x f by a x6．（书p158页习题3）证明：dy yxdx xx⎰⎰2sin21π().242sin3242+=+⎰⎰πππdy yxdx x证明：（一）记 ⎩⎨⎧≤≤≤≤.,21:1x y x x D ，⎩⎨⎧≤≤≤≤2,42:2y x x D .分别画出草图.则12.D D D = （二）按所给积分次序很困难，故更换积分次序，即要将积分区域视为-Y 型区域：⎩⎨⎧≤≤≤≤.,21:2y x y y D ，此时无须分块. 原式dx yxdy y y⎰⎰=22sin21π⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰y x d y x dy yy y22sin2221πππdy y x y y y ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21|22cos 2ππdy y y ⎰-=212cos 2ππ ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰y d y 2sin4212ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰212122sin 2sin 4|ydy y y πππ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=|2122cos .214y πππ().2421432+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ππππ 7．（书p158页习题4）求⎰⎰-=1102.2xy dy e dx x I解：按所给积分次序很困难，画出积分区域D 的图形，交换积分次序.dx x dy e I y y ⎰⎰-=02102⎰-=103231dy y e y ()⎰--=12261y e d y()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰--10210222|61y d e e y y y []().216116161111101|2------=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=e e e e e y8．（书p158页习题5）利用极坐标，求下面的二重积分：（ⅰ）()D dxdy y xy x I D,22⎰⎰++=为由上半圆周122=+y x （0≥y ）与直线xy ±=围成的圆扇形； （ⅱ）D dxdy yx y x I D,112222⎰⎰++--=为单位圆（122≤+y x ）； （ⅲ）D dxdy y x I D,sin 22⎰⎰+=为圆环域（22224ππ≤+≤y x ）；（ⅳ）D dxdy x yI D,arctan ⎰⎰=为单位圆（122≤+y x ）含在第一象限内的部分.解：（ⅰ）()=++=⎰⎰dxdy y xy x I D22()022++⎰⎰dxdy y xD.841422.224102πππθππ=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==⎰⎰dr r r d（ⅱ）rdr r r d dxdy yx y x I D⎰⎰⎰⎰+-=++--=201022222211411πθ rdr r r ⎰+-=1022112π（令t r =2） dt t t ⎰+-=111πdt t t ⎰--=10211πdt t ⎰-=10211πdt t t ⎰--1021π .12⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππ （ⅲ）⎰⎰⎰⎰=+=20222.sin 4sin πππθrdr r d dxdy y x I D⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ2.sin .2.4rdr r ()⎰-=πππ2cos .2r rd 2222cos cos 6.|r r rdr ππππππ⎡⎤=--=-⎢⎥⎣⎦⎰ （ⅳ）rdr r r d dxdy x y I D.cos sin arctan arctan 2010⎰⎰⎰⎰==πθθθ==⎰⎰rdr d .2010πθθ .1621.21.2102202201||πθθθππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰r dr r d 9．（书p158页习题6）计算下面的二重积分：（ⅰ）D dxdy x y I D,2⎰⎰-=为正方形（20,11≤≤≤≤-y x ）；（ⅱ）D dxdy y x I D,422⎰⎰-+=为圆域（922≤+y x ）；（ⅲ）()D dxdy y x I D,cos ⎰⎰+=为正方形（20,20ππ≤≤≤≤y x ）.解：（ⅰ）（画图）12D D D = ，则原式=()()1222.D D y x dxdy x y dxdy -+-⎰⎰⎰⎰其中，⎩⎨⎧≤≤-≤≤,11,2:21x y x D ， ⎩⎨⎧≤≤-≤≤,11,0:22x x y D 于是，有()d y x y dx I x⎰⎰--=11222().15465115431122=+=-+⎰⎰-dy y xdx x （ⅱ）设222212:04,:49.D x y D x y ≤+≤≤+≤则12.D D D = 所以，()()12222244D D I x y d x y d σσ=--++-⎰⎰⎰⎰()()222322024144.2d r rdr d r rdr πππθθ=-+-=⎰⎰⎰⎰ （ⅲ）以直线2π=+y x 将区域D 分成两个子区域，12D D D =其中，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤,20,20:1ππx x y D ， ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-,20,22:2πππx y x D ()dy y x dx I x⎰⎰-+=22cos ππ()dy y x dx x⎰⎰-+-+2022cos πππ其中()=+⎰⎰-dy y x dx x202cos ππ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2020|sin ππ()12s i n 120-=-=⎰ππdx x ；()dy y x dx x ⎰⎰-+-2022cos πππ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-2022|sin πππ ().121cos 20-=--=⎰ππdx x 所以 .21212-=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππI10．（书p159页习题7）求(),t F '其中()()0002>=⎰⎰≤≤≤≤-t dxdy et F ty tx y tx .解：（一）()dx edy dxdy et F t ty tx ty tx ytx ⎰⎰⎰⎰-≤≤≤≤-==00dy y tx d e t y tt y tx ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-00222dy e t y t t y tx⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-002|2 dy e t y t yt ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-02122t d y e t y t y t ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-022122令,tu y =则,tdu dy =()()du t e u t F u 211212⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=- ()du e u t u ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1012212 （二） ()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='⎰⎰--10122112121222u u e u t t du e u t t F ().2t F t =11．（书p159页习题8）根据⎰⎰=DD dxdy 的面积，求下面曲线围成图形的面积：（ⅰ）由抛物线x y =2与半圆周22y x -=围成的图形； （ⅱ）曲线()xy y x =+222围成的图形.解：（ⅰ）联立 ⎩⎨⎧-==.2,22y x x y 得⎩⎨⎧==.1,1y x 或⎩⎨⎧-==.1,1y x 故两曲线的交点为()1,1及()1,1-.化出区域D 的草图，并视之为-Y 型区域. 则所求面积为 []⎰⎰⎰⎰⎰-----===1122112222y ydx dy dxdy A y yD32222a r c s i n .2223222|10212-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=--=⎰y y ydy y .312+=π （ⅱ）解：记1D 为D 在第一象限内的那部分区域，则⎰⎰⎰⎰===20sin cos 01221πθθθrdr d dxdy A A D .21cos .sin 222020sin cos 02|⎰⎰==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππθθθθθθd d r 12．（书p159页习题9）求下面立体图形的体积（ⅰ）球面()02222>=++a az z y x 的上半部分与圆锥面222y x z +=围成图形； （ⅱ）圆柱面222a z y =+与222a z x =+围成的立体的图形. （ⅰ）解法一：画出积分区域Ω的草图.联立 ⎩⎨⎧+==++.,2222222y x z az z y x ，消去z ，得Ω在xoy 面投影.:222a y x D ≤+ ()[]d xdy y x y x a a V D⎰⎰+---+=22222()[]⎰⎰--+====πθ2022ardr r r a a d 极⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰⎰⎰a a ar d r r a dr r ardr 0002222π 3.a π= 解法二：画出积分区域Ω的草图，显然见Ω的体积为球体az z y x 2222≤++的体积的上半部分体积加上锥体()a z y x z ≤≤+≥0222的体积故 ..3134.2132321a a a a V V V πππ=+=+=（ⅱ）解法一：()()(),22222z az aD S z A z -=-==所以，()().316883220a dz z a dz z A V a a =-==⎰⎰ 解法二：()()().3163388883330222221111a aa dx y a dy dy x a dx V V V V a xay=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=+==⎰⎰⎰⎰13．（P159,第12题）根据下面的提示，证明贝塔函数()t s ,β与伽马函数()t Γ之间的关系为()()()()t s t s t s +ΓΓΓ=,β ()0,0>>t s其中 ()(),1,111dx x xt s t s --⎰-=β()dx e x t x t -+∞-⎰=Γ01证明：（ⅰ）令2u x =，则 udu dx 2=， 故 ()()u d u eu t u t 2212-+∞-⎰=Γdu e uu t .20122-+∞-⎰=换记为 ()dx e x t x t .20122-+∞-⎰=Γ.（ⅱ）()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΓΓ⎰--+∞→dx e x t s a x t a 0122lim 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰--+∞→dy e y ay s a 0122lim 2. ()dxdy y x f Da ⎰⎰+∞→=,lim 4. (){}a y a x y x D ≤≤≤≤=0,0|,为正方形区域，()().,221212y xs t e y x y x f +---=（ⅲ）显然，由于()0,≥y x f ，故有()()≤⎰⎰dxdy y x f aK ,()≤⎰⎰dxdy y x f D,()().,2d x d y y x f aK⎰⎰ （1） 其中 ()(){}222|,a y x y x a K ≤+= ；()(){}2222|,2a y x y x a K ≤+=分别是半径为a 及的a 2圆含在第一象限的部分.（1）式左端积分()222121t s xyK a x y e dxdy ----⎰⎰（极坐标）()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-----⎰⎰rdr e r r d r s a t s t .sin cos 212012121220θθθπ其中()()θθθπd s t 12122sin cos --⎰()()()θθθθθπd s t sin .cos 2sin cos 21121202--=--⎰（令u =θ2cos ，则du d =-θθθsin cos 2）()du u u s t 1101121----=⎰()().,211211110t s du u u s t β=-=--⎰； （2）其中rdr e r rr s t a.212120---⎰（令u r =2，则du rdr =）du e u u s a --+⎰=120221dx e x xt s a --+⎰=10221； （3）故由（2）、（3）两式，得（1）式左端积分().,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t s β⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎰dx e x x s a 120221()dx e x t s xa t s --+⎰=201,41β. 同理得（1）式右端积分 ()dx e x t s x a t s --+⎰=2201,41β.故（1）化为 ()dx e x t s x a t s --+⎰201,41β ()dxdy y x f D⎰⎰≤,两边令,+∞→a 有()()()()≤ΓΓ≤+Γt s t s t s .41.,41β()()t s t s +Γ.,41β 故()()()()t s t s t s ΓΓ=+Γ.41..,41β即得： ()()()().,t s t s t s +ΓΓΓ=β14．（书p166页习题1）引入适当的变换，将下面的二重积分化为一重积分： （ⅰ）()dxdy y x f I y x ⎰⎰≤++=1；（ⅱ）()D dxdy xy f I D,⎰⎰=为双曲线1=xy 和2=xy （0,0>>y x ）与直线x y =和x y 4=围成的区域；（ⅲ）dxdy x y f I xy x ⎰⎰≤+⎪⎭⎫⎝⎛=22； （ⅳ）()dxdy c by ax f I y x ⎰⎰≤+++=122（022≠+b a ）.解：（ⅰ）画出积分区域D （如图，为一个正方形区域）.作变量代换： ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧-=+=.2,2.,v u y v u x y x v y x u 由二重积分的换元法()()dudv J u f dxdy y x f I D y x ⎰⎰⎰⎰'≤+=+=1()()2121212121,,-=-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=v y uy v x u xv u y x J ； ⎩⎨⎧≤≤-≤≤-'.11,11:u v D()()dv u f du dudv u f I D ⎰⎰⎰⎰--'==11112121 ()()⎰⎰--==1111.221du u f du u f （ⅱ）画出积分区域D （如图）.作变量代换： ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==..,.,v u y v u x x y v xy u 换元法 ()()dudv J u f dxdy xy f I D D⎰⎰⎰⎰'==.()()v vu uv v v uuv v y u y v xu xv u y x J 1.2121212121,,=-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂= ⎩⎨⎧≤≤≤≤'.21,41:u v D()()dv vdu u f dudv v u f I D ⎰⎰⎰⎰=='21411.211.21 ()⎰=21..2ln du u f （ⅲ）画出积分区域D （如图）.作变量代换： ⎩⎨⎧==.s i n ,c o s θθr y r x由二重积分的换元法 ()θθd r d J f d x d y x y f I D D ⎰⎰⎰⎰'=⎪⎭⎫⎝⎛=tan .()()r r r y ryxrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤'.22,cos 0:πθπθr D ()θθr d r d f d x d y x y f I D D ⎰⎰⎰⎰'=⎪⎭⎫⎝⎛=tan()r d rf d ⎰⎰-=22c o st a n ππθθθ ().cos .tan 21222⎰-=ππθθθd f （ⅳ）作正交变量代换：..,22222222v u y x b a av bu y b a bv au x +=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=由二重积分的换元法 ()()d u d vJ c b a u f d x d y c by ax f I D y x ⎰⎰⎰⎰'≤+++=++=22122.()().1,,22222222=+-+++=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=b a a ba b b a b b a a vy uy v x uxv u y x J.1:22≤+'v u D或 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤--'.11,11:22u u v u D ()d udv c b a u f I D ⎰⎰'++=22()d v c b a u f du u u⎰⎰----++=11112222().1211222⎰-++-=du c b a u f u15．（书p167页习题2）引入适当的变换，求下列曲线所围成图形的面积： （ⅰ）()222a x y x =+-；解：作变量代换： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=.,.,u v y v x x v y x u 222a v u =+. dxdy S D⎰⎰=1dudv J D ⎰⎰'=1其中()().11110,,=-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=vy u y vxu x v u y x J 222a v u ≤+ .12a dudv S D π==⎰⎰'16．（书p167页习题3）求由下列曲面包围的立体的体积：（ⅰ）1222222=++cz b y a x （椭球面）；（ⅱ）1222222-=-+c z b y a x （双叶双曲面），12222=+by a x （椭圆柱面）；（ⅲ）12222=++c z b y a x ，.0,13232==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛z b y a x 解：（ⅰ）根据对称性及二重积分的几何意义，知⎰⎰--==122221144D dxdy b y a x c V V .0,0,1:22221>>≤+y x b y a x D为计算方便，特引入变量替换 令⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x则被积函数化为 2222211r c by a x c z -=--=积分区域1D 化为 .20.1:21⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≤'πθr D ⎰⎰'-==121144D drd J r c V V θ ()()abr br b ra a y ryxr xr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎰⎰'-==D drd J r c V V θ21144 ⎰⎰'-=D rdrd r abc θ214⎰⎰-=201214πθrdr r d abc ().341322|10232abc r ab ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=（ⅱ）根据对称性及二重积分的几何意义，知⎰⎰++==Ddxdy b y a x c V V 2222122上 其中 .1:2222≤+b y a x D为计算方便，特引入变量替换 令⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x则被积函数化为 2222211r c by a x c z +=++=积分区域D 化为 .1:2≤'r D ⎰⎰'+==D drd J r c V V θ21122()()abr br b ra a y ryxr xr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎰⎰'+==D drd J r c V V θ21122⎰⎰'+=D rdrd r abc θ212 ⎰⎰+=πθ201212rdr r d abc()().122341322|10232-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=abc r ab ππ（ⅲ）12222=++c z b y a x ，.0,13232==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛z b y a x 根据对称性及二重积分的几何意义，知⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1222214D dxdy b y a x c V 其中 ()0,0,1:32321≥≥≤⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛y x b y a x D为计算方便，特引入变量替换 令⎩⎨⎧==.sin ,cos 33θθbr y ar x 则被积函数化为 ().s i n c o s 16262θθr r c z --=积分区域1D 化为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≤'20.1:1πθr D ()⎰⎰'--=16262sin cos 14D drd J r r c V θθθ()().sin .cos 3cos .sin 3sin sin .cos 3cos ,,222323θθθθθθθθθθθabr br b ra a y r y xr x r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂= ()⎰⎰'--=16262sin cos 14D drd J r r c V θθθ()⎰⎰--=201226262sin .cos sin cos 112πθθθθθrdr r r d abc()⎰-=2042cos cos 6πθθθd abc ()⎰--20108cos cos 3πθθθd abc()⎰--20108sin sin 3πθθθd abc⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2.!!10!!9!!8!!732.!!4!!346πππabc abc ⎪⎭⎫⎝⎛--2.!!10!!9!!8!!73πabc.25675abc π=17.（书p174页习题2）计算下列各三重积分（先画出积分区域的草图）：（ⅰ）()dz dxdy z y x dxdydz⎰⎰⎰Ω+++31，其中Ω为由坐标平面0,0,0===z y x 和平面1=++z y x 围成的四面体；（ⅱ）dz dxdy z xy ⎰⎰⎰Ω32，Ω为由曲面xy z =和平面0,1,===z x x y 围成的区域；（ⅲ）dz xyzdxdy ⎰⎰⎰Ω，Ω为单位球1222≤++z y x 位于第一卦限的那部分区域；（ⅳ）dz zdxdy ⎰⎰⎰Ω，Ω()0,022>>+=R h y x Rhz 与平面h z =围成的区域； 解：（ⅰ）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,10:⎩⎨⎧≤≤-≤≤x x y D()d x d y d z z y x ⎰⎰⎰Ω+++311=()dz z y x dy dx xyx ⎰⎰⎰---+++101010311()()z y x d z y x dy dx xyx ++++++=⎰⎰⎰---111110103()⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=1010102|11.21xy x dy z y x dx ()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=10102411121x dy y x dx ⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=1010|411121dx y y x x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=101144321dx x x ().1652ln 21811ln 4321|102-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=x x x （ⅱ）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,0:⎩⎨⎧≤≤≤≤x x y D 故d x d y d z z xy ⎰⎰⎰Ω32=dz z dy y xdx x xy ⎰⎰⎰100032 ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100042|41xxy dy z y xdx ⎰⎰=1006441x dy y x xdx ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=10075|7141dx y x x ⎰=1012281dx x =1/364 （ⅲ）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.10,10:2⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤x x y D 故dxdydz xyz ⎰⎰⎰Ω=dz z ydy xdx x y x ⎰⎰⎰---11010222⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110102222|21x y x dy z y xdx ()⎰⎰---=1010222121x dy y x y xdx ()12220011114248x x y dx ⎡=---=⎢⎣⎦⎰ （ⅳ）由对称性知，dz zdxdy ⎰⎰⎰Ωdz zdxdy ⎰⎰⎰Ω=14其中1Ω为Ω在第一卦限内的那部分区域，1Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.0,0:221⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤Rx x R y D 故d x d y d z z ⎰⎰⎰Ω=⎰⎰⎰+-Rh y x Rhx R zdz dy dx 022224⎰⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Rx R h y x R hdy z dx 022222|214 ()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=R x R dy y x R h h dx 0022222222dx y y x R y hRx R ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-003222|223112()dx xRx R x R x R hR⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+---=032222222223112⎰-=Rdx x R h2222dx x R xRh R⎰--0222222()dx xRR h R⎰--3222232其中 222202222141.22R h R h dx x R h R ππ==-⎰；=--⎰dx x R xRh R222222 tdt R t tR R Rh cos .cos sin 2202222⎰-πdt t t R h ⎰-=202222cos sin 2π()dt t t R h ⎰--=204222sin sin 2π222282.!!4!!32.!!2!!2R h R h πππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=；()=--⎰dx xRR h R 03222232⎰-203322c o s .c o s 32πt d tR t R R h ⎰-=20422c o s 32πt d t R h .82.!!4!!3322222R h R h ππ-=-=所以d x d y d z z ⎰⎰⎰Ω222R h π=228R h π-=-228R h π.422R h π= 18（书p174页习题3）利用改变积分次序的方法，将下面的三次积分表示成一重积分（ⅰ）()ρρηξξηd f d d I x⎰⎰⎰=0；（2）().1010dz z f dy dx I yx ⎰⎰⎰+=解：（1）先将后两次积分()ρρηξηd f d ⎰⎰0中的积分次序进行变换：()()()[]()()ρρξρρηρηρρρρηξξρξξξρξηd f d f d f d d f d -===⎰⎰⎰⎰⎰⎰000|-所以，()()()()ξρξρρρρξρξρξd f d d f d I x xx -=-=⎰⎰⎰⎰0()()ρρρρρρρξξρρd x x f d f x xx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰222002222| ()().220ρρρd x f x-=⎰（2）先将后两次积分()dz z f dy yx ⎰⎰+1中的积分次序进行变换：()()()dy z f dz dy z f dz dz z f dy xz x xx yx ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+++=111010()()()dz x z z f dz z f x xx +-+=⎰⎰+11所以， ()()()∏+I =+-+=∧+⎰⎰⎰⎰dz x z z f dx dz z f dx I x xx 110110-.其中，()()()dz z z f dx z f dz z-==I ⎰⎰⎰11101- ()()()()dx x z z f dz dx x z z f dz z z +-++-=∏⎰⎰⎰⎰-11211110()()()dz z z f dz z z z f 22222121-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰，所以，∏+I =I ()()dz z z f -=⎰11()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎰⎰dz z z f dz z z z f 222221210 ()()()()dz z z f dz z z f 221210221221-+-=⎰⎰. 19（书p174页习题4）证明不等式()dz dxdy xyz ⎰⎰⎰Ω≤cos 1()2s i n≤+⎰⎰⎰Ωdz dxdy xyz 其中Ω为为正方体区域()10,10,10≤≤≤≤≤≤z y x . 证明：显然，对于()Ω∈z y x ,,，414410πππ+≤+≤⇒≤≤xyz xyz()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+4sin 2sin cos πxyz xyz xyz24sin 24sin21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤=ππxyz ，即 ()()2s i n c o s 1≤+≤x y z x y z 所以，由估值定理知()()[]2s i nc o s 1≤+≤⎰⎰⎰Ωdz dxdy xyz xyz （注意到正方体的体积为1）. 20（书p174页习题5设函数()z y x f ,,在区域3R ⊂Ω内连续，若对于Ω内任何一个有界子域ω都有()0=⎰⎰⎰dz dxdy xyz f ω证明：(),0,,≡z y x f 其中().,,3R z y x ∈证明：反证法设()0,,≡z y x f ，()3,,R z y x ∈的结论不成立，则必存在某点()30000,,R z y x P ∈，使得 ().0,,000≠z y x f 不妨假设().0,,000>z y x f 因为()z y x f ,,在()0000,,z y x P 处连续，故有()().0,,,,lim 000000>=→→→z y x f z y x f z z y y x x （1）故根据函数极限的定义知，对于(),0,,210000>=z y x f ε,00>∃δ使得 当()()()0202020δ<-+-+-z z y y x x 时（即()()00,,,δP U z y x P ∈时），就有()()()000000,,21,,,,z y x f z y x f z y x f <- （2） 由（2）式可解得，当()()00,,,δP U z y x P ∈时，就有()().0,,21,,000>>z y x f z y x f （3） 所以，由积分中值定理有()()≥⎰⎰⎰dz dxdy xyz f P U 00,δ()0.34.,,30>δπζηξf （4） 而（4）式与函数()z y x f ,,在对于Ω内任何一个有界子域ω上都有()0=⎰⎰⎰dz dxdy xyz f ω的假设前提是矛盾的！所以，(),0,,≡z y x f 其中().,,3R z y x ∈21（书p179页习题1）利用适当的方法，计算下列各三重积分： 解：（ⅰ）()()dxdy y x dz dz dxdy y x zD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+Ω22222.3163242.||2032020242202πππθπ====⎰⎰⎰⎰z dz r rdr r d dz z z如采用柱面坐标系：()dz dxdy y x ⎰⎰⎰Ω+22.3166.2142222.2|206420223222202πππθπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰r r dr r r dz r rdr d r （ⅱ）采用柱面坐标计算.联立⎪⎩⎪⎨⎧+=--=,,22222y x z y x z 消z , 得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为圆域.1:22≤+y x Ddz zdxdy ⎰⎰⎰Ωdr z r zdz rdr d r r r r⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛==--11022220|22222.2πθπ().127642|106421042πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=⎰r r r dr r r r（ⅲ）dxdy y x dz dz dxdy y x zD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++Ω122221111()dz z rdr r d dz z2010220101ln 212.11+=+=⎰⎰⎰⎰πθπ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰1022102121ln |dz z z z z π().222ln arctan 22ln |10⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=πππz z（ⅳ）dxdy yx e dz dz dxdy yx e zD z z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+Ω212222()⎰⎰⎰⎰⎰===21021202122.z zz ze zd dz ze rdr re d dz ππθπ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰2121|2dz e ze z z π.2222212|e e e e z ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=（ⅴ）解法一：柱面坐标法：联立⎩⎨⎧=++=++,2,222222Rz z y x R z y x 消z ,得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为 圆域.43:222R y x D ≤+ dz dxdy z⎰⎰⎰Ω2dr z r dz z rdr d R R r R r R R r R r R R ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==------230233220|222222223.2πθπ()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=R dr r R R r R r 23032232232π（令t R r sin =） []⎰-+-=3235c o s s i n c o s 3c o s 31c o s 232ππt d t t t t t R⎰=3045sin cos 34ππtdt t R ⎰-305sin cos 32ππtdt t R⎰+325s i n c o s 2ππt d t t R⎰-335s i n c o s 2ππt d t t R|30555cos 34ππt R -=|30252cos 32ππt R +|30353cos 2ππt R -|30454cos 2ππt R + ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32311545R π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4335R π⎪⎭⎫ ⎝⎛--87325R π⎪⎭⎫⎝⎛-+161525R π .480595R π= 其实，此题最宜采用球面坐标计算：这时首先要把积分区域Ω分成两个子区域： .21Ω⋃Ω=Ω其中 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,0,30,20:1R ρπϕπθ ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,c o s 20,232,20:2ϕρπϕππθR则dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2=dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω12dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω+22 ρρϕρϕϕθππd d d R⎰⎰⎰=20300222.cos sin ρρϕρϕϕθπππϕd d d R ⎰⎰⎰+2023cos 20222.cos⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰R d d 04302cos .sin 2ρρϕϕϕππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰ϕππρρϕϕϕπcos 204232cos .sin 2R d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=||0530351cos 312R ρϕππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰2375cos .sin 32512ππϕϕϕπd R 551.247.2R π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+|2385cos 81564ππϕπR 5607R π=5160R π+.480595R π= （ⅵ）()dz dxdy z y x ⎰⎰⎰Ω++222ρρρϕϕθππd d d R⎰⎰⎰=2022.sin⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰ρρϕϕππd d R 040.sin 2.5451.cos 25050||R R πρϕππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-= （ⅶ）dxdy y x dz dz dxdy y x zD z⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+Ω2222 ⎰⎰⎰-=R z Rz rdr r d dz 00202.πθ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--=Rdz R z R 0322432π（令t R R z sin 22+=） ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛=223cos 2.cos 232πππtdt R t R ⎰-=2244cos .161.32πππtdt R .642.!!4!!3..12424R R πππ== （ⅷ）显然(),0ln 222=++⎰⎰⎰Ωdz dxdy z y x z 因为积分区域Ω：41222≤++≤z y x 关于xoy 坐标面对称，且被积函数关于z 为奇. 22 .（书p180页习题3）设()u f 连续函数，求函数 ()()dz dxdy z y x f t F t z y x ⎰⎰⎰≤+=++=2222222 的导数()F t '.解：()()()22222222220tx y z t F t f x y z dxdydz d d f d ππθϕρρρ++≤=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2204t f d πρρρ=⎰， 所以，()()224F t f t t π'=.20.（书p180页习题4）设k n m ,,为非负整数，Ω为单位球体.1222≤++z y x 求 ⎰⎰⎰Ω=dxdxydz z y x I k n m解：（一） 当k n m ,,中至少有一个为奇数时 例如k 为奇数时，于是⎰⎰⎰Ω=dxdxydz z y x I k n m⎰⎰⎰≥≤++=1222z z y x k n m dxdxydz z y x ⎰⎰⎰≤≤+++1222z z y x k n m dxdxydz z y x （记为） .21I I +=今在积分2I 中作变量代换即令⎪⎩⎪⎨⎧-===.,,w z v y u x ，则 .1100010001-=-=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=wz vz uz wyv y u y w xv x u x J 故 ⎰⎰⎰≥≤++-=012222w w v u k n m dudvdw w v u I ⎰⎰⎰≥≤++=1222z z y x k n m d x d x y d z z y x .1I -=于是 .01121=-=+=I I I I I（二） 当k n m ,,均偶数时，此时被积函数k n m z y x 关于三个坐标平面皆对称.于是 ⎰⎰⎰≥≥≥≤++=0,0,012228z y x z y x kn m dxdxydz z y x I 为方便计算，引入球坐标变换 ρρϕϕϕθθθππd d d I k n m km m nm⎰⎰⎰+++++=1220120c o s .s i ns i n .c o s 8ϕϕϕθθθππd d k n m k n m n m c o s .s i n s i n .c o s 31.820120⎰⎰+++++=⎰20s i n .c o s πθθθd nm⎰--=2011c o s .s i n .s i n .c o s πθθθθθd n m()()()⎰---=202212212sin sin .sin 121πθθθd n m （令t =θ2sin ） ()dt t t n m 21121121--⎰-=()dt tt n m 12110121.121-+-+⎰-= .21,2121⎪⎭⎫ ⎝⎛++=n m β ϕϕϕπd k n m cos .sin 201⎰++.21,2221⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=k n m β ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=21,2221.21,212131.8k n m n m k n m I ββ .2321.22..222121312⎪⎭⎫⎝⎛+++Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛++Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛++Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ+++=k n m k n m n m n m k n m .23212121.312⎪⎭⎫⎝⎛+++Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ+++=k n m k n m k n m 由于 ⎪⎭⎫⎝⎛-Γ--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ23.23.2121.2121n n n n n n⎪⎭⎫⎝⎛Γ--==21.2123.21 n n ()()..2!!121..2!!122πnn n n -=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ-= 比如：..2!!52121.23.2523.23.2525.252132273π=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯Γ=⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ故 ()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+++=+++ππππ222222!!22!!12!!12!!1.312k n m k n m k n m k n m k n m I()()()().!!2!!1!!1!!1.34+++---+++=k n m k n m k n m π书中183P 所提供的答案有误.23 .（书p180页习题5）求由曲面ax c z b y a x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2222222()0,0,0>>>c b a 包围的立体体积.解：根据对称性及二重积分的几何意义，知 ⎰⎰⎰Ω==1441dxdxydz V V其中1Ω为由曲面ax c z b y a x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2222222()0,0,0>>>c b a 包围的立体体积Ω在第一卦限的那部分区域.为方便计算，令⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin ϕρθϕρθϕρc z b y a x 则曲面ax c z b y a x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2222222的方程化为.cos .sin 23θϕρa = 积分区域1Ω 化为.20,20,c o s .s i n:321πθπϕθϕρ≤≤≤≤≤'Ωa 则 ⎰⎰⎰'Ω=14ρϕθd d d J Vρϕθρϕθρϕθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=zz z yy y x x xJ ϕϕρθϕθϕρθϕρθϕθϕρθϕρc o ss i n 0s i n s i n s i n c o s c o s s i n c o s s i n c o s c o s s i n s i n c c b b b a a a --=.sin 2ϕρabc = ⎰⎰⎰'Ω=1s i n 42ρϕθϕρd d d a b c V ρρϕϕθθϕππd d d abc a ⎰⎰⎰=32cos sin 022020sin 4()⎰⎰=20202s i n c o s .s i n 314ππϕϕθϕθd a d a b c .33bc a π=24.（书p187页习题1）讨论下列二重积分的收敛性（当收敛时，并求出积分值）解：（ⅰ）()⎰⎰>++12222y x yxdxdyμ（μ为参数）(){}()21|,22≥≤+<=n n y x y x D n()()⎪⎩⎪⎨⎧≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡--===+-⎰⎰⎰⎰.1,1221.2,1,ln 2.122201222μμπμπθμπμμn n rdr r d yxdxdynD n因此当1>μ时，广义积分()⎰⎰>++12222y x yxdxdyμ收敛，且收敛于().111lim2-=---+∞→μπμπμnn 当1≤μ时，广义积分()⎰⎰>++12222y x y x dxdy μ发散.（ⅱ）dxdy ey x y x⎰⎰≥+--12222； (){}()21|,22≥≤+≤=n n y x y x D n.1212.22222|1201⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-----⎰⎰⎰⎰n n r nr D y x e e e rdr ed dxdy enππθπ=⎰⎰--+∞→dxdy e nD y x n 22lim.1lim 2ee e n n ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→因此广义积分dxdy e y x y x ⎰⎰≥+--12222收敛，且收敛于.eπ（ⅲ）()dxdy y x ey x y x22sin .22+⎰⎰+∞<<∞-+∞<<∞---；()(),2211sin .,44222222r r e e y x e y x f rr y x=<=≤+=--- ()dxdy y x e y x y x 22sin .22+⎰⎰+∞<<∞-+∞<<∞--- ⎰⎰⎰+∞-+∞-==02020sin 2.sin .2tdt e rdr r e d t r πθπ().211cos sin |022ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∞+-t e t t（ⅳ）()dxdy yxx y y x ⎰⎰+∞<≤≤≤+-11022222；()dy yxx y ⎰∞++-122222()dy yxy ⎰∞++=12222()dy yxx ⎰∞++-12222()dy yxy ⎰∞++=12222()dy yxx ⎰∞++-12222()dy y x y y ⎰+∞+=122222()dy yx y y x ⎰∞++-1222222. 其中()=+⎰+∞dy yx yy 122222⎰∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-12212y x d y （分部积分） ⎰+∞+∞+++-=1221221211.2|dy y x y x y dy yx x ⎰+∞+++=122212111.21；（1）()dy y x yy x ⎰∞++1222222⎰∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=122212y x d y x （分部积分） ⎰∞+∞+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=1222212221211.2|dy y x y x y x y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+=⎰∞+∞+12212211211.21|dy y x y x x .121211.2112222⎰∞+++-+=dy y x x x ()dy y x x y ⎰∞++-122222⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=⎰∞+dy y x x 122212111.21⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-⎰∞+12222121211.21dy y x x x .112111.21222x x x +=++-= ()dxdy y xx y y x ⎰⎰+∞<≤≤≤+-11022222()dy y xx y dx ⎰⎰∞++-=10122222.4arctan 11|1012π==+=⎰x dx x（ⅴ）()dxdy yxx y yx ⎰⎰≤≤+-122222()dy yxx y x⎰∞++-22222()dy yxy x⎰∞++=2222()dy yxx x⎰∞++-2222()dy yxy x⎰∞++=2222()dy yxx x⎰∞++-2222()dy y x y y x⎰+∞+=22222()dy yx y y x x ⎰∞++-222222. ()=+⎰+∞dy yx yy x222222222111.22|x x y dy x y x y +∞+∞-+++⎰dy y x x x ⎰+∞++=221211.41 ()dy yx yy x x⎰∞++222222⎰∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x y x d y x 22212（分部积分） ⎰∞+∞+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=x x dy y x y x y x y x 22222221211.2|⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎰⎰∞+∞+x x dy y x dy y x 22211211.41。
第八章青岛理工大学高数练习册答案
第八章 多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一二、求下列函数的定义域： 1、 };1|),{(22≠+x y y x 2、 };0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、0； 2 、 (6e ) 四、证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21,二者不相等，所以极限不存在五 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。
当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sin lim22)0,0(),(f yx xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。
所以函数 在整个xoy 面上连续。
六、设)(2y x f y x z+++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式.解：f(x)=x x-2，z y xy y x -++=2222§ 2 偏导数1证明：x yx yx ye x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设yx y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)4解：1-=∂∂y zx y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂ x x y z u y zln 1=∂∂ 5、设222z y x u ++=，证明 : u zu y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂ 6、)0,0(0),(lim 0f y x f y x ==→→ 连续； 201sinlim )0,0(xf x x →= 不存在， 000lim )0,0(0=--=→y f y y 7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 xb x a f b x a f x ),(),(lim 0--+→（2f x (a,b)）§ 3 全微分1、单选题（1）D 2B2、求下列函数的全微分：42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：1）xy ez= )1(2dy x dx x y edz xy +-=2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zy x u = 解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz y z yln ln 121-+=- 3、设)2cos(y x y z-=， 求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--=∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(y x z z y x f +=求：)1,2,1(df)542(251dz dy dx +--5、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin)(),(2222y x y x yx y x y x f 在（0，0）点处的连续性 、偏导数、 可微性 解：)0,0(01sin)(lim2222)0,0(),(f yx y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。
高等数学B(上)(山东联盟)知到章节答案智慧树2023年青岛理工大学
高等数学B（上）（山东联盟）知到章节测试答案智慧树2023年最新青岛理工大学
第一章测试
1.
参考答案:
周期函数
2.
参考答案:
3.
参考答案:
对
4.
参考答案:
5.
参考答案:
-4
第二章测试1.
参考答案:
2.
参考答案:
不一定可导
3.
参考答案:
4.
参考答案:
5.
参考答案:
充分必要条件第三章测试
1.
参考答案:
2
2.
参考答案:
3.
参考答案:
4.
参考答案:
5.
参考答案:
既非充分也非必要条件
第四章测试
1.
参考答案:
2.
参考答案:
错
3.
参考答案:
对
4.
参考答案:
对
5.
参考答案:
错
第五章测试
1.
参考答案:
恒为零
2.
参考答案:
3.
参考答案:
对
4.
参考答案:
错
5.
参考答案: 错。
重积分部分难题解答
重积分部分难题解答1．（P148,第2题）求函数()y x y x f 22sin .sin ,=在闭正方形区域:D ()ππ≤≤≤≤y x 0,0上的函数值的平均值.解：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰ππ0202sin .sin ,ydy xdx dxdy y x f D202sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰πxdx ；又.22sin 41222cos 1sin |002ππππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰⎰x x dx x xdx 所以().4,2π=⎰⎰dxdy y x f D故()y x f ,在闭正方形区域D 上的函数值的平均值为()().414,122===⎰⎰ππσdxdy y x f D S D2．（P148,第3题）设函数()x f 在闭区间[]b a ,上连续，证明不等式()()().22dx x fa b dx x f ba b a ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡证明：考虑积分 ()()[]d x d y y f x f I D⎰⎰-=2一方面 ()()()()dxdy y f dxdy y f x f dxdy x f I DDD⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=22.2()()()();222dx x fa b dy x fdx dxdy x fbab a baD⎰⎰⎰⎰⎰-==()()()()dy y fa b dy y fdx dxdy y f bababaD⎰⎰⎰⎰⎰-==222()();2dx x f a b ba⎰-=()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ba b a babaDdy y f dx x f dxdy y f x f dx dxdy y f x f ...().2⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰ba dx x f 代入）得 ()()().2222⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰ba badx x f dx x f a b I 另一方面显然0≥I ，即()()()02222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰⎰b a badx x f dx x f a b ，故 ()()().22dx x f a b dx x f b a b a ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡3．（P149,第4题）设()x f 在闭区间[]b a ,上为正值连续函数.证明不等式()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 证法一：考虑到定积分与变量的记号无关.故有：()()⎰⎰=b a bay f dy x f dx----（1）以及()().dy y f dx x f b a b a ⎰⎰=-----（1） 所以， ()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡Db a b a dxdy y f x f x f dx dx x f ---------------（2） 其中，⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b y a b x a D同理， ()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡Db a b a dxdy x f y f x f dx dx x f -----------------（3）， （2）+（3），得：()()()()()()()()()().2.2⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D Db a b a dxdy y f x f x f y f dxdy y f x f x f y f x f dx dx x f ()222.Dd x d yb a ==-⎰⎰ 即：()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰证法二：因为()0≥x f ，所以，20b a dx ⎡⎤⎢≥⎢⎣⎰，即： ()()()220.b b a a dx f x dx b a f x λλ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰------（1）（1）式左边是λ的非负二次三项式，因此必有判别式()()()20bb a a dx b a f x dx f x ⎡⎤⎡⎤∆=--≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰，故 ()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰4．（书p149页习题8）设函数()x f 在[]b a ,上连续，证明：()()().dx x b x f dx x f dy bab ay a-=⎰⎰⎰证法一：()dx x f dy baya⎰⎰对应的二重积分的积分区域⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b x a b y x D 交换积分次序后，重新计算()dx x f dy b a y a ⎰⎰，则有 ()=⎰⎰dx x f dy b a y a ()dy x f dx b a b x ⎰⎰()().dx x b x f ba -=⎰.证法二：记()()dx x f y F ya ⎰=，则()()dy y F dx x f dy b abay a⎰⎰⎰= ()[]()dy y F y y F y bab a⎰'-=|.()()()dy y f y a aF b bF ba⎰--=. ()()dx x f x dx x f b baba⎰⎰--=.0. ()().dx x b x f ba -=⎰5．（书p149页习题10）设()x f 为[]1,1-上的连续函数，证明：().4210⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰≤≤dx x f ab dxdy b y f a x f by ax证明：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰⎰--≤≤b b a a by ax dy b y f dx a x f dxdy b y f a x f . 其中对于dx a x f a a ⎰-⎪⎭⎫⎝⎛，令,a x u =则()()()dx x f a du u f a du u f a dx a x f aa⎰⎰⎰⎰===⎪⎭⎫⎝⎛--10101122；同理，对于dy b y f b b ⎰-⎪⎭⎫⎝⎛，令,b y v =则()()()dxx f b dv v f b dv v f b dy b y f bb⎰⎰⎰⎰===⎪⎭⎫⎝⎛--1010112.2().4210⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰⎰≤≤dx x f ab dxdy b y f a x f by a x6．（书p158页习题3）证明：dy yxdx xx⎰⎰2sin21π().242sin3242+=+⎰⎰πππdy yxdx x证明：（一）记 ⎩⎨⎧≤≤≤≤.,21:1x y x x D ，⎩⎨⎧≤≤≤≤2,42:2y x x D .分别画出草图.则12.D D D = （二）按所给积分次序很困难，故更换积分次序，即要将积分区域视为-Y 型区域：⎩⎨⎧≤≤≤≤.,21:2y x y y D ，此时无须分块. 原式dx yxdy y y⎰⎰=22sin21π⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰y x d y x dy yy y22sin2221πππdy y x y y y ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21|22cos 2ππdy y y ⎰-=212cos 2ππ ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰y d y 2sin 4212ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰212122sin 2sin 4|ydy y y πππ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=|2122cos .214y πππ().2421432+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=ππππ7．（书p158页习题4）求⎰⎰-=112.2xy dy edx x I解：按所给积分次序很困难，画出积分区域D 的图形，交换积分次序.dx x dy e I y y ⎰⎰-=02102⎰-=103231dy y e y ()⎰--=102261y ed y()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰--10210222|61y d e e y y y []().216116161111101|2------=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=e e e e e y8．（书p158页习题5）利用极坐标，求下面的二重积分：（ⅰ）()D dxdy y xy x I D,22⎰⎰++=为由上半圆周122=+y x （0≥y ）与直线xy ±=围成的圆扇形； （ⅱ）D dxdy yx y x I D,112222⎰⎰++--=为单位圆（122≤+y x ）； （ⅲ）D dxdy y x I D,sin 22⎰⎰+=为圆环域（22224ππ≤+≤y x ）；（ⅳ）D dxdy x yI D,arctan ⎰⎰=为单位圆（122≤+y x ）含在第一象限内的部分.解：（ⅰ）()=++=⎰⎰dxdy y xy x I D22()022++⎰⎰dxdy y xD.841422.224102πππθππ=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯==⎰⎰dr r r d（ⅱ）rdr r r d dxdy yx y x I D⎰⎰⎰⎰+-=++--=201022222211411πθ rdr r r ⎰+-=1022112π（令t r =2） dt t t⎰+-=111πdt t t ⎰--=10211πdt t ⎰-=10211πdt tt ⎰--1021π |10arcsin t π=()210211121t d t --⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎰π2.ππ=|121t -+π2.ππ=π-.12⎪⎭⎫⎝⎛-=ππ （ⅲ）⎰⎰⎰⎰=+=20222.sin 4sin πππθrdr r d dxdy y x I D⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ2.sin .2.4rdr r ()⎰-=πππ2cos .2r rd.6sin 6cos cos 222222||πππππππππ-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰r rdr r r （ⅳ）rdr r r d dxdy x y I D.cos sin arctan arctan 2010⎰⎰⎰⎰==πθθθ==⎰⎰rdr d .2010πθθ .1621.21.2102202201||πθθθππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰r dr r d 9．（书p158页习题6）计算下面的二重积分：（ⅰ）D dxdy x y I D,2⎰⎰-=为正方形（20,11≤≤≤≤-y x ）；（ⅱ）D dxdy y x I D,422⎰⎰-+=为圆域（922≤+y x ）；（ⅲ）()D dxdy y x I D,cos ⎰⎰+=为正方形（20,20ππ≤≤≤≤y x ）.解：（ⅰ）此题中积分区域本来是非常规范的矩形域⎩⎨⎧≤≤≤≤-.20,11:y x D （画图）但由于被积函数为分段函数2||y x -2222,,.,y x y x x y y x⎧-≥⎪=⎨-≤⎪⎩，故需要用抛物线2y x =将积分区域分成两个小区域.即12D D D = ，则原式=()()1222.D D y x dxdy x y dxdy -+-⎰⎰⎰⎰其中，⎩⎨⎧≤≤-≤≤,11,2:21x y x D ， ⎩⎨⎧≤≤-≤≤,11,0:22x x y D 于是，有()d y x y dx I x⎰⎰--=11222().15465115431122=+=-+⎰⎰-dy y xdx x （ⅱ）设222212:04,:49.D x y D x y ≤+≤≤+≤则12.D D D = 所以，()()12222244D D I x y d x y d σσ=--++-⎰⎰⎰⎰()()222322024144.2d r rdr d r rdr πππθθ=-+-=⎰⎰⎰⎰ （ⅲ）以直线2π=+y x 将区域D 分成两个子区域，12D D D =其中，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤,20,20:1ππx x y D ， ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-,20,22:2πππx y x D ()dy y x dx I x⎰⎰-+=22cos ππ()dy y x dx x⎰⎰-+-+2022cos πππ其中()=+⎰⎰-dy y x dx x202cos ππ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2020|sin ππ()12s i n 120-=-=⎰ππdx x ；()dy y x dx x ⎰⎰-+-2022cos πππ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-2022|sin πππ ().121cos 20-=--=⎰ππdx x 所以 .21212-=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππI10．（书p159页习题7）求(),t F '其中()()000>=⎰⎰≤≤≤≤-t dxdy et F ty tx y tx .解：（一）()dx edy dxdy et F t ty tx ty tx ytx ⎰⎰⎰⎰-≤≤≤≤-==0022dy y tx d e t y tt y tx ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-00222dy e t y t ty tx ⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-002|2 dy e t y tyt ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-02122t d y e t y t y t ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-022122令,tu y =则,tdu dy =()()du t e u t F u 211212⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=- ()du e u t u ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1012212 （二） ()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='⎰⎰--101221121212u u e u t t du e u t t F ().2t F t =11．（书p159页习题8）根据⎰⎰=DD dxdy 的面积，求下面曲线围成图形的面积：（ⅰ）由抛物线x y =2与半圆周22y x -=围成的图形； （ⅱ）曲线()xy y x =+222围成的图形.解：（ⅰ）联立 ⎩⎨⎧-==.2,22y x x y 得⎩⎨⎧==.1,1y x 或⎩⎨⎧-==.1,1y x 故两曲线的交点为()1,1及()1,1-.化出区域D 的草图，并视之为-Y 型区域. 则所求面积为 []⎰⎰⎰⎰⎰-----===1122112222y ydx dy dxdy A y yD32222a r c s i n .2223222|10212-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=--=⎰y y ydy y .312+=π （ⅱ）解法一：由()xy y x =+222，知0xy ≥，即图形分布在第一及第三象限.化为极坐标方程表示为()θθθsin .cos 2=r故 ()θθθs i n .c o s =r ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈2,ππθ或.2,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πθ所以，所求面积为()⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯==202021cos .sin sin cos 2122ππθθθθθθd d A A().21sin 21sin .sin |20220===⎰ππθθθd解法二：记1D 为D 在第一象限内的那部分区域，则⎰⎰⎰⎰===20sin cos 01221πθθθrdr d dxdy A A D.21c o s .s i n 222020s i n c o s 02|⎰⎰==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππθθθθθθd d r 12．（书p159页习题9）求下面立体图形的体积（ⅰ）球面()02222>=++a az z y x 的上半部分与圆锥面222y x z +=围成图形； （ⅱ）圆柱面222a z y =+与222a z x =+围成的立体的图形. （ⅰ）解法一：画出积分区域Ω的草图.联立 ⎩⎨⎧+==++.,2222222y x z az z y x ，消去z ，即得Ω在xoy 面上的投影区域为 .:222a y x D ≤+所以，所求立体的体积为()[]d xdy y x yx a a V D⎰⎰+---+=22222()[]⎰⎰--+====πθ2022ardr r r a a d 极⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰⎰⎰a a ar d r r a dr r ardr 0002222π ().32.21.23.22.230232233|a r a a a a ππππ=---=解法二：画出积分区域Ω的草图，显然见Ω的体积为球体az z y x 2222≤++的体积的上半部分体积加上锥体()a z y x z ≤≤+≥0222的体积故 ..3134.2132321a a a a V V V πππ=+=+=（ⅱ）解法一：()()(),22222z azaD S z A z -=-==所以，()().316883220a dz z a dz z A V a a =-==⎰⎰ 解法二：()()().3163388883330000222221111a a a dx y a dy dy x a dx V V V V a x a y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=+==⎰⎰⎰⎰解法三：（切片法）[].31688830220a dz z a D dxdy dz dv V a a z=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω13．（P159,第12题）根据下面的提示，证明贝塔函数()t s ,β与伽马函数()t Γ之间的关系为 ()()()()t s t s t s +ΓΓΓ=,β ()0,0>>t s其中 ()(),1,1101dx x xt s t s --⎰-=β()dx e x t x t -+∞-⎰=Γ01提示：（ⅰ）在()t Γ中用2x 替换x ，得()dx e x t x t .20122-+∞-⎰=Γ.（ⅱ）()()()dxdy y x f t s Da ⎰⎰+∞→=ΓΓ,lim 4，其中()a y a x D ≤≤≤≤0,0为正方形，函数()().,221212y xs t e y x y x f +---=（ⅲ）如图所示，()a K 表示半径为a 的圆)(222a y x ≤+含在第一象限的部分，()a K 2表示半径为a 2的圆)2(222a y x ≤+含在第一象限的部分.由于函数 ()y x f ,的非负性，()()≤⎰⎰dxdy y x f aK ,()≤⎰⎰dxdy y x f D,()().,2d x d y y x f a K⎰⎰ （ⅳ）计算上述不等式两端的积分，并让.+∞→a 证明：（ⅰ）令2u x =，则 udu dx 2=， 故 ()()u d u eu t u t 2212-+∞-⎰=Γdu e uu t .20122-+∞-⎰=换记为 ()dx e x t x t .20122-+∞-⎰=Γ. （1）（ⅱ）()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ΓΓ⎰--+∞→dx e x t s a x t a 0122lim 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰--+∞→dy e y ay s a 0122lim 2. ()d x d y y x f Da ⎰⎰+∞→=,lim 4. （2）其中(){}a y a x y x D ≤≤≤≤=0,0|,为正方形区域，()().,221212y x s t e yx y x f +---=（ⅲ）显然，由于()0,≥y x f ，故有()()≤⎰⎰dxdy y x f aK ,()≤⎰⎰dxdy y x f D,()().,2d x d y y x f aK⎰⎰ （3）其中 ()(){}222|,a y x y x a K ≤+= ；()(){}2222|,2a y x y x a K ≤+=分别是半径为a 及的a 2圆含在第一象限的部分. （3）式左端积分()dxdy ey x y x a K s t 221212----⎰⎰=（改为极坐标）()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-----⎰⎰rdr e r r d r s a t s t .sin cos 212012121220θθθπ （4）其中()()θθθπd s t 121220sin cos --⎰ ()()()θθθθθπd s t sin .cos 2sin cos 21121202--=--⎰（令u =θ2cos ，则du d =-θθθsin cos 2）()du u u s t 1101121----=⎰()().,211211110t s du u u s t β=-=--⎰； （5）其中rdr e r rr s t a.212120---⎰（令u r =2，则du rdr =）du e u u s a --+⎰=120221dx e x xt s a --+⎰=10221； （6）故由（5）、（6）两式，得 （3）式左端积分().,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t s β⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎰dx e x x s a 120221()dx e x t s xa t s --+⎰=201,41β. （7） 同理得（3）式右端积分()dx e x t s x a t s --+⎰=2201,41β. （8）故（3）化为()dx e x t s xa t s --+⎰201,41β ()dxdy y x f D⎰⎰≤,()dx e x t s x a t s --+⎰≤2201,41β （9） （9）式两边令,+∞→a 有 ()()()()≤ΓΓ≤+Γt s t s t s .41.,41β()()t s t s +Γ.,41β 故()()()()t s t s t s ΓΓ=+Γ.41..,41β （10） （10）化简，即得：()()()().,t s t s t s +ΓΓΓ=β 14．（书p166页习题1）引入适当的变换，将下面的二重积分化为一重积分： （ⅰ）()dxdy y x f I y x ⎰⎰≤++=1；（ⅱ）()D dxdy xy f I D,⎰⎰=为双曲线1=xy 和2=xy （0,0>>y x ）与直线x y =和x y 4=围成的区域；（ⅲ）dxdy x y f I xy x ⎰⎰≤+⎪⎭⎫⎝⎛=22； （ⅳ）()dxdy c by ax f I y x ⎰⎰≤+++=122（022≠+b a ）.解：（ⅰ）画出积分区域D （如图，为一个正方形区域）.作变量代换： ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒⎩⎨⎧-=+=.2,2.,v u y v u x y x v y x u 由二重积分的换元法()()dudv J u f dxdy y x f I D y x ⎰⎰⎰⎰'≤+=+=1()()2121212121,,-=-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=v y u y v x u xv u y x J ； ⎩⎨⎧≤≤-≤≤-'.11,11:u v D()()dv u f du dudv u f I D ⎰⎰⎰⎰--'==11112121 ()()⎰⎰--==1111.221du u f du u f （ⅱ）画出积分区域D （如图）.作变量代换： ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==..,.,v u y v u x x y v xy u 换元法 ()()dudv J u f dxdy xy f I D D⎰⎰⎰⎰'==.()()v vuuv v v uuv v y uy v xu xv u y x J 1.2121212121,,=-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧≤≤≤≤'.21,41:u v D ()()dv v du u f dudv v u f I D ⎰⎰⎰⎰=='21411.211.21()⎰=21..2ln du u f（ⅲ）画出积分区域D （如图）.作变量代换： ⎩⎨⎧==.s i n ,c o s θθr y r x由二重积分的换元法 ()θθd r d J f d x d y x y f I D D ⎰⎰⎰⎰'=⎪⎭⎫⎝⎛=tan .()()r r r y ryxrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤'.22,cos 0:πθπθr D ()θθr d r d f d x d y x y f I D D ⎰⎰⎰⎰'=⎪⎭⎫⎝⎛=tan()r d rf d ⎰⎰-=22c o st a n ππθθθ ().cos .tan 21222⎰-=ππθθθd f （ⅳ）作正交变量代换：..,22222222v u y x b a av bu y b a bv au x +=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=由二重积分的换元法 ()()d u d vJ c b a u f d x d y c by ax f I D y x ⎰⎰⎰⎰'≤+++=++=22122. ()().1,,22222222=+-+++=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=b a a ba b b a b b a a vy uy v x uxv u y x J.1:22≤+'v u D或 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤--'.11,11:22u u v u D ()d udv c b a u f I D ⎰⎰'++=22()d v c b a u f du u u⎰⎰----++=11112222().1211222⎰-++-=du c b a u f u15．（书p167页习题2）引入适当的变换，求下列曲线所围成图形的面积： （ⅰ）()222a x y x =+-；（ⅱ）k yh x by a x +=+2222（0,0,0,0>>>>k h b a ）；（ⅲ）0,0,144===+y x by a x .)0,0(>>b a ； （ⅳ）()()122222111=+++++c y b x a c y b x a （01221≠-b a b a ）. 解：（ⅰ）作变量代换：⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=.,.,u v y v x x v y x u 则原方程化为222a v u =+. （1） 于是，曲线所围成的面积为d x d y S D⎰⎰=1d u d vJ D ⎰⎰'=1 其中()().11110,,=-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=vy u y v xuxv u y x J （2） 222a v u ≤+ （3）所以.12a dudv S D π==⎰⎰'（ⅱ）令⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x则原方程化为 .sin cos θθkbh a r += （1） 由于0≥r ，故有0s i n c o s ≥+θθkb h a . （2） 为使（2）式有解，首先要求θ不能落在第三象限（否则，.0sin cos ≤+θθkbh a ）因此确定θ不能超出⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈ππθ,2的范围.下面进一步讨论θ的取值范围.().a 若.2,20cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒≥ππθθ，则由（2）式，得： bh ak-≥θtan ， （3） 由（3）式解得： 2a r c t a n πθ≤≤-bh ak ； （4）().b 若.,20cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⇒≤ππθθ，则由（2）式，得：bhak-≤θtan ， （5） 由（3）式解得： .a r c t a n 2bhak-≤≤πθπ （6）综合（4）、（6）两式，知θ的取值范围为.arctan arctan bhak bh ak -≤≤-πθ 于是，曲线所围成的面积为d x d y S D⎰⎰=1θd r d J D ⎰⎰'=1()()abr br b ra a y ryxr xr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,, （7） ⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-≤≤'.arctan arctan ,cos 0:bh ak bh ak r D πθθ （8）故 θd r d a b r S D ⎰⎰'= dr r d ab bh akbhakk bh a ⎰⎰--+=arctanarctansin cos 0πθθθ⎰--⎪⎭⎫⎝⎛+=bh akbh akd k b h a ab arctan arctan 2sin cos 2πθθθ⎰--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=bh ak bhak d k b h a k b h a k b h a ab arctan arctan 222222222sin cos 1.2πθθθ ⎰--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=bh ak bhak d k bh a k bk b ha h ak b h a ab arctan arctan 2222222222222sin cos .2πθθθ （9） 令 .tan ,.cos sin 02222022220bh ak kbh a k bk b h a h a=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ααα （10） 则 ()⎰--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=bh akbh ak d k b h a ab S arctan arctan 022222sin .2πθαθ ()⎰--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=bh akbhak d k b h a ab arctan arctan 0222222cos 1.2πθαθ ⎰--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=bh ak bh ak d k b h a ab arctan arctan 2222.4πθ()⎰--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-bhakbh ak d k b h a ab arctan arctan 0222222cos .4πθαθ π.42222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k b h a ab ()|arctan arctan 0222222sin .21.4bh akbhak k b h a ab --+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-παθ π.42222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=k b h a ab 0-.42222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=k b h a ab π （（ⅲ））令⎩⎨⎧==.sin ,cos 88θθbr y ar x 则原方程化为.1=r （1） 于是，曲线所围成的面积为d x d y S D⎰⎰=1θd r d J D ⎰⎰'=1其中()().s i n.c o s 8c o s .s i n 8s i n s i n .c o s 8c o s ,,777878θθθθθθθθθθθab r br b ra a y ryxrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂= （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤'.20,10:πθr D （3）故 θθθd r d a b r S D 77s i n .c o s 8⎰⎰'= dr r d ab ⎰⎰=21077sin .cos 8πθθθ⎰=2077sin .cos 4πθθθd ab （令θsin =u ）()⎰-=2032714πdu uu ab ()⎰-+-=2131197334πdu u u u uab.7014141103814abab =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=（ⅳ）()()122222111=+++++c y b x a c y b x a （01221≠-b a b a ）.令⎩⎨⎧++=++=.,222111c y b x a v c y b x a u 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+--=-+--=.,12212121211221122112b a b a a c c a u a v a v b a b a b c b c v b u b x则原方程化为.122=+v u （1） 于是，曲线所围成的面积为d x d y S D⎰⎰=1d u d vJ D ⎰⎰'=1 其中()().1,,122112211122121221112212b a b a b a b a a b a b a a b a b a b b a b a b v y u y v xuxv u y x J -=------=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=.1:22≤+'v u D dudv b a b a S D 122111-=⎰⎰'..11221πb a b a -=（令θsin =u ）16．（书p167页习题3）求由下列曲面包围的立体的体积：（ⅰ）1222222=++cz b y a x （椭球面）；（ⅱ）1222222-=-+c z b y a x （双叶双曲面），12222=+by a x （椭圆柱面）；（ⅲ）12222=++c z b y a x ，.0,13232==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛z b y a x 解：（ⅰ）根据对称性及二重积分的几何意义，知⎰⎰--==122221144D dxdy b y a x c V V .0,0,1:22221>>≤+y x b y a x D为计算方便，特引入变量替换 令⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x则被积函数化为 2222211r c by a x c z -=--=积分区域1D 化为 .20.1:21⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≤'πθr D ⎰⎰'-==121144D drd J r c V V θ ()()abr br b ra a y ryxr xr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎰⎰'-==D drd J r c V V θ21144 ⎰⎰'-=D rdrd r abc θ214⎰⎰-=201214πθrdr r d abc ().341322|10232abc r ab ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=（ⅱ）根据对称性及二重积分的几何意义，知⎰⎰++==Ddxdy b y a x c V V 2222122上 其中 .1:2222≤+b y a x D为计算方便，特引入变量替换 令⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x则被积函数化为 2222211r c by a x c z +=++=积分区域D 化为 .1:2≤'r D ⎰⎰'+==D drd J r c V V θ21122()()abr br b ra a y ryxr xr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎰⎰'+==D drd J r c V V θ21122⎰⎰'+=D rdrd r abc θ212 ⎰⎰+=πθ201212rdr r d abc()().122341322|10232-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=abc r ab ππ（ⅲ）12222=++c z b y a x ，.0,13232==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛z b y a x 根据对称性及二重积分的几何意义，知⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1222214D dxdy b y a x c V 其中 ()0,0,1:32321≥≥≤⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛y x b y a x D 为计算方便，特引入变量替换 令⎩⎨⎧==.sin ,cos 33θθbr y ar x 则被积函数化为 ().s i n c o s 16262θθr r c z --=积分区域1D 化为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤≤'20.1:1πθr D ()⎰⎰'--=16262sin cos 14D drd J r r c V θθθ()().sin .cos 3cos .sin 3sin sin .cos 3cos ,,222323θθθθθθθθθθθabr br b ra a y r y xr x r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂= ()⎰⎰'--=16262sin cos 14D drd J r r c V θθθ()⎰⎰--=201226262sin .cos sin cos 112πθθθθθrdr r r d abc()⎰-=2042cos cos 6πθθθd abc ()⎰--20108cos cos 3πθθθd abc()⎰--20108sin sin 3πθθθd abc⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2.!!10!!9!!8!!732.!!4!!346πππabc abc ⎪⎭⎫⎝⎛--2.!!10!!9!!8!!73πabc.25675abc π=17.（书p174页习题2）计算下列各三重积分（先画出积分区域的草图）：（ⅰ）()dz dxdy z y x dxdydz⎰⎰⎰Ω+++31，其中Ω为由坐标平面0,0,0===z y x 和平面1=++z y x 围成的四面体；（ⅱ）dz dxdy z xy ⎰⎰⎰Ω32，Ω为由曲面xy z =和平面0,1,===z x x y 围成的区域；（ⅲ）dz xyzdxdy ⎰⎰⎰Ω，Ω为单位球1222≤++z y x 位于第一卦限的那部分区域；（ⅳ）dz zdxdy ⎰⎰⎰Ω，Ω为圆锥面()0,022>>+=R h y x Rhz 与平面h z =围成的区域； 解：（ⅰ）()dz dxdy z y x dxdydz⎰⎰⎰Ω+++31；Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,10:⎩⎨⎧≤≤-≤≤x x y D 故()d x d y d z z y x ⎰⎰⎰Ω+++311=()dz z y x dy dx xyx ⎰⎰⎰---+++101010311()()z y x d z y x dy dx xyx ++++++=⎰⎰⎰---111110103()⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=1010102|11.21xy x dy z y x dx ()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=10102411121x dy y x dx ⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=1010|411121dx y y x x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=101144321dx x x ().1652ln 21811ln 4321|102-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=x x x （ⅱ）dz dxdy z xy ⎰⎰⎰Ω32；Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,0:⎩⎨⎧≤≤≤≤x x y D 故d x d y d z z xy ⎰⎰⎰Ω32=dz z dy y xdx xxy⎰⎰⎰100032 ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=100042|41xxy dy z y xdx ⎰⎰=1006441x dy y x xdx ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=10075|7141dx y x x ⎰=1012281dx x.3641131.281|1013==x （ⅲ）dz xyzdxdy ⎰⎰⎰Ω；Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.10,10:2⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤x x y D 故d x d y d z xyz ⎰⎰⎰Ω=dz z ydy xdx x y x ⎰⎰⎰---101010222⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110102222|21x y x dy z y xdx ()⎰⎰---=1010222121x dy y x y xdx ()()⎰⎰-----⎪⎭⎫⎝⎛-=101022222112121x y x d y x x d x ()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-1010222|212141dx y x x x ()⎰-=1022181dx x x ()()⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1022211.2181x d x x ().481131.161|1032=--=x （ⅳ）由对称性知，dz zdxdy ⎰⎰⎰Ωdz zdxdy ⎰⎰⎰Ω=14其中1Ω为Ω在第一卦限内的那部分区域，1Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.0,0:221⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤Rx x R y D 故d x d y d z z ⎰⎰⎰Ω=⎰⎰⎰+-Rh y x Rhx R zdz dy dx 022224⎰⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Rx R hy x R hdy z dx 022222|214 ()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=R x R dy y x R h h dx 0022222222dx y y x R y hRx R ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-003222|223112 ()dx xRx R x R x R hR⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---=032222222223112⎰-=Rdx x R h2222dx x R x Rh R⎰--0222222()dx xRR h R⎰--3222232其中 222202222141.22R h R h dx x R h Rππ==-⎰；=--⎰dx x R xRh R222222 tdt R t tR R Rh cos .cos sin 2202222⎰-πdt t t Rh ⎰-=202222cos sin 2π()dt t t Rh ⎰--=204222sin sin2π222282.!!4!!32.!!2!!2R h R h πππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=；()=--⎰dx xRR h R 03222232⎰-203322c o s .c o s 32πt d tR t R R h ⎰-=20422c o s 32πt d t R h .82.!!4!!3322222R h R h ππ-=-=所以d x d y d z z ⎰⎰⎰Ω222R h π=228R h π-=-228R h π.422R h π= 18（书p174页习题3）利用改变积分次序的方法，将下面的三次积分表示成一重积分（ⅰ）()ρρηξξηd f d d I x⎰⎰⎰=0；（2）().1010dz z f dy dx I yx ⎰⎰⎰+=解：（1）先将后两次积分()ρρηξηd f d ⎰⎰0中的积分次序进行变换：()()()[]()()ρρξρρηρηρρρρηξξρξξξρξηd f d f d f d d f d -===⎰⎰⎰⎰⎰⎰00000|-所以，()()()()ξρξρρρρξρξρξd f d d f d I x xx-=-=⎰⎰⎰⎰0()()ρρρρρρρξξρρd x x f d f x xx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰222002222| ()().220ρρρd x f x-=⎰（2）先将后两次积分()dz z f dy yx ⎰⎰+10中的积分次序进行变换：()()()dy z f dz dy z f dz dz z f dy xz x xx yx ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+++=11101()()()dz x z z f dz z f x xx+-+=⎰⎰+110所以， ()()()∏+I =+-+=∧+⎰⎰⎰⎰dz x z z f dx dz z f dx I x xx 110110-.其中，()()()dz z z f dx z f dz z-==I ⎰⎰⎰11101- ()()()()dx x z z f dz dx x z z f dz z z +-++-=∏⎰⎰⎰⎰-11211110()()()dz z z f dz z z z f 22222121-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰，所以，∏+I =I ()()dz z z f -=⎰11()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎰⎰dz z z f dz z z z f 222221210 ()()()()dz z z f dz z z f 221210221221-+-=⎰⎰. 19（书p174页习题4）证明不等式()dz dxdy xyz ⎰⎰⎰Ω≤cos 1()2s i n≤+⎰⎰⎰Ωdz dxdy xyz 其中Ω为为正方体区域()10,10,10≤≤≤≤≤≤z y x . 证明：显然，对于()Ω∈z y x ,,，有414410πππ+≤+≤⇒≤≤xyz xyz()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+4sin 2sin cos πxyz xyz xyz24s i n 24s i n 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤=ππxyz ，即()()2s i n c o s 1≤+≤x y z x y z 所以，由估值定理知()()[]2s i nc o s 1≤+≤⎰⎰⎰Ωdz dxdy xyz xyz （注意到正方体的体积为1）. 20（书p174页习题5设函数()z y x f ,,在区域3R ⊂Ω内连续，若对于Ω内任何一个有界子域ω都有()0=⎰⎰⎰dz dxdy xyz f ω证明：(),0,,≡z y x f 其中().,,3R z y x ∈ 证明：反证法设()0,,≡z y x f ，()3,,R z y x ∈的结论不成立，则必存在某点()30000,,R z y x P ∈，使得 ().0,,000≠z y x f 不妨假设().0,,000>z y x f因为()z y x f ,,在()0000,,z y x P 处连续，故有()().0,,,,lim 000000>=→→→z y x f z y x f z z y y x x （1）故根据函数极限的定义知，对于(),0,,210000>=z y x f ε,00>∃δ使得 当()()()0202020δ<-+-+-z z y y x x 时（即()()00,,,δP U z y x P ∈时），就有()()()000000,,21,,,,z y x f z y x f z y x f <- （2） 由（2）式可解得，当()()00,,,δP U z y x P ∈时，就有()().0,,21,,000>>z y x f z y x f （3） 所以，由积分中值定理有()()≥⎰⎰⎰dz dxdy xyz f P U 00,δ()0.34.,,30>δπζηξf （4） 而（4）式与函数()z y x f ,,在对于Ω内任何一个有界子域ω上都有()0=⎰⎰⎰dz dxdy xyz f ω的假设前提是矛盾的！所以，(),0,,≡z y x f 其中().,,3R z y x ∈ 21（书p179页习题1）利用适当的方法，计算下列各三重积分： 解：（ⅰ）()dz dxdy y x ⎰⎰⎰Ω+22，本题宜采用“切片法”计算()()dxdy y x dz dz dxdy y xzD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+Ω22222.3163242.||2032020242202πππθπ====⎰⎰⎰⎰z dz r rdr r d dz z z如采用柱面坐标系：()dz dxdy y x⎰⎰⎰Ω+22.3166.2142222.2|206420223222202πππθπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰r r dr r r dz r rdr d r （ⅱ）dz zdxdy ⎰⎰⎰Ω，本题宜采用柱面坐标计算.联立⎪⎩⎪⎨⎧+=--=,,22222y x z y x z 消z , 得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为圆域.1:22≤+y x Ddz zdxdy ⎰⎰⎰Ωdr z r zdz rdr d r r r r⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛==--11022220|22222.2πθπ().127642|106421042πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--=⎰r r r dr r r r（ⅲ）dz dxdy yx ⎰⎰⎰Ω++2211，本题宜采用“切片法”计算dxdy yx dz dz dxdy yxzD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++Ω122221111()dz z rdr r d dz z2010220101ln 212.11+=+=⎰⎰⎰⎰πθπ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰1022102121ln |dz z z z z π().222ln arctan 22ln |10⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=πππz z （ⅳ）dz dxdy yx e z ⎰⎰⎰Ω+22，本题宜采用“切片法”计算dxdy yx e dz dz dxdy yx e zD z z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+Ω212222()⎰⎰⎰⎰⎰===21021202122.z z z ze zd dz ze rdr re d dz ππθπ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰2121|2dz e ze z z π.2222212|e e e e z ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=（ⅴ）dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2解法一：柱面坐标法：联立⎩⎨⎧=++=++,2,222222Rz z y x R z y x 消z ,得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为 圆域.43:222R y x D ≤+dz dxdy z⎰⎰⎰Ω2dr z r dz z rdr d R R r R r R R r R r R R ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==------232303220|222222223.2πθπ()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=R dr rR R r R r 23032232232π（令t R r sin =）()[]⎰--=30333c o s .c o s c o s s i n 32ππt d tR t R R t R t R []⎰-+-=30235c o s s i n c o s 3c o s 31c o s 232ππt d t t t t t R⎰=3045sin cos 34ππtdt t R ⎰-305sin cos 32ππtdt t R⎰+3025s i n c o s 2ππt d t t R⎰-335s i n c o s 2ππt d t t R|30555c o s 34ππt R -=|30252c o s 32ππt R + |30353c o s 2ππt R -|30454c o s 2ππt R + ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32311545R π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4335R π⎪⎭⎫ ⎝⎛--87325R π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+161525R π .480595R π=其实，此题最宜采用球面坐标计算：这时首先要把积分区域Ω分成两个子区域：.21Ω⋃Ω=Ω其中 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,0,30,20:1R ρπϕπθ ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,c o s 20,232,20:2ϕρπϕππθR则dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2=dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω12dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω+22ρρϕρϕϕθππd d d R⎰⎰⎰=20300222.cos sin ρρϕρϕϕθπππϕd d d R ⎰⎰⎰+2023cos 20222.cos⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰R d d 04302cos .sin 2ρρϕϕϕππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰ϕππρρϕϕϕπcos 204232cos .sin 2R d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=||0530351cos 312R ρϕππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰2375cos .sin 32512ππϕϕϕπd R 551.247.2R π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+|2385cos 81564ππϕπR。
专升本《高等数学》易错题解析-第十章：重积分的应用
第九章(二) 重积分的应用重积分的应用十分广泛。
尤其是在几何和物理两方面。
几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。
物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。
在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。
通过这一章节的学习，我们认为应达到如下要求： 1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。
2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。
3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。
一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用 二、典型错误分析例1． 求如下平面区域D 的面积，其中D 由直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成。
如图： y1=xy （2，2）)21,2(O 1 2 x [错解]89)2(2212221=-===⎰⎰⎰⎰⎰dy y dx dy d S yDσ [分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。
问题在于区域D ，若先按x 积分，再按y 积分，则应注意到区域D 因此划分为两个部分，在这两个部分，x 、y 的积分限并不相同，因此此题若先积x, 后积y ，则应分两部分分别积分，再相加。
[正确解] 2ln 2322112121-=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰y y Ddx dy dx dy d S σ 例2..设平面薄片所占的闭区域D 是由螺线θγ2=上一段弧)20(πθ≤≤与直线2πθ=所围成，它的面密度为22),(y x y x +=ρ，求该薄片的质量。
[错解] 24023420320220πθθθσρπθπ====⎰⎰⎰⎰⎰d r dr r d d MD[分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。
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D
解：
exydxdy =
1
dx
e l1 x y dy (
1e x dx)(
1e y dy) (e 1)2
00
0
0
D
12 设 I= R2 x2 y2 dxdy ,其中 D 是由 x2+y2=Rx 所围城的区域，求 I ( 1 R3 )
D
3
13、计算二重积分 | x2 y2 4 | dxdy ，其中 D 是圆域 x 2 y 2 9
1
dx
x e x2 dy
1
dy
y e y2 dx e 1
0
0
0
0
D
15、计算二重积分 x y dxdy ，D： x2 y 2 1, x y 1.
D x2 y2
解：
D
x x2
y y2
dxdy =
2 d
0
1 1
cos sin
r(cos r2
sin )rdr
4 2
§3 三重积分
4、设 是由三个坐标面与平面 x 2y z =1 所围成的空间区域,则
xdxdydz=(
).
A1 48
B 1 48
C1 24
D 1 . 24
5
、设
是锥面
z c
2 2
x2 a2
y2 b2
(a
0,
b
0,
c
0)
与平面
x
0,
y
0,
z
c
所围成的
空间区域在第一卦限的部分,则
xy z
dxdydz
=(
x2 yR2
R
3
6、求圆柱体 x2 y 2 2Rx 包含在抛物面 x2 y 2 2Rz 和 xoy 平面之间那部分立
体的体积
解： V
1 (x2 y 2 )dxdy 3R3
2R x2 y2Rx
4
第九章 自测题
一、选择题: （40 分）
1、
1
dx
1x f (x, y)dy =(
00
上的连续函数，则二重积分 f (x2 y2 )dxdy 为（ ）
D
A 2 f (x2 , y2 )dxdy
B 4 f (x2 , y2 )dxdy
D1
D1
C 8 f (x2 , y2 )dxdy
D1
D 1 f (x2 , y2 )dxdy 2 D1
7、.设 f(x,y)为连续函数，则
a
dx
1 x1
）
A
1dy y1
0 1
f
( x,
y)dx
2 dy y21
1 1
f
(x,
y)dx
B
1
y 1
dy f (x, y)dx
0
1
C
1dy y1
0 1
f
( x,
y)dx
2
1
dy1
y2 1
f
(x,
y)dx
D 02dy1 y21 f (x, y)dx
5、设有界闭域 D1、D2 关于 oy 轴对称，f 是域 D=D1+D2 上的连续函数，则二重
）
A ： 7 ln 3 ln 2 1
8
2
C ： 9 ln 3 ln 2 1
8
2
B ： 9 ln 3 ln 2 1
8
2
D ： 9 ln 3 ln 2 1
8
4
2、设 D 是由不等式 x y 1所确定的有界区域，则二重积分 ( x y)dxdy 为
D
（
）
A ：0
B： 1
C ：2
D： 1
)
A
1 x
dy
1
f (x, y)dx
0
0
C
11
dy f (x, y)dx
00
B
1
1 x
dy f (x, y)dx
00
D
1
dy
1 y
f (x, y)dx .
00
2、设 D 为 x2 y2 a2 ,当 a (
)时, a2 x2 y2 dxdy .
D
A1
B
3
3
2
C
3
3
4
D
1
3
2
3、设 I (x2 y2 )dxdy ,其中 D 由 x2 y2 a2 所围成,则 I =( B ).
D
A
2
d
a a2rdr a4
0
0
B
2
d
a r 2 rdr 1 a 4 ;
0
0
2
C
2
d
a r2dr 2 a3
0
0
3
D
2
d
a a 2 adr 2a 4 .
0
0
（）
A ( 4 ,0,0 ) 3
B ( 5 ,0,0 ) 3
C ( 5 ,0,0 ) 4
(4)、 质量分布均匀(密度为 )的立方体所占有空间区
D ( 7 ,0,0 ) 4
域: {(x, y, z) | 0 x 1,0 y 1,0 z 1},该立方体到 oz 轴的转动惯量 IZ=( )
x f (x, y)dy 为(
)
0
0
A
a
a
dy f (x, y)dx
0
y
B
a
y
dy f (x, y)dx
0
a
C
a
y
dy f (x, y)dx
0
0
D
a
x
dy f (x, y)dx
0
0
8、求
I
D
x2 y2
dxdy
，其中 D : 由 x=2,y=x,xy=1 所围成.
(9) 4
9、设 I=
2、设 是由曲面 x2+y2=2z , 及 z=2 所围成的空间有界域，在柱面坐标系下将三
重积分 f (x, y, z)dxdydz 表示为累次积分，I=（
）
A
2
1
2
d d 2 f(cos , sin , z)dz
0
0
0
B
2
2
2
d d 2 f(cos , sin , z)dz
0
0
0
C
1、设 是由 x=0，y=0，z=0 及 x+2y+z=1 所围成的空间有界域，则 xdxdydz 为
(
)
A
1
1
1x2 y
dx dy xdz
0
0
0
B
1
1 y
1x2 y
dx 2 dz
xdy
00
0
C
1
1 x
1x2 y
dx 2 dy
xdz
00
0
D
111
dx dy xdz
000
第十章 重积分
§1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值
I
D
( I
D
x2 y2 dxdy
其中 D 为： x2 y 2 4
x2 y 2 dxdy=.4.2 1 ..4.2 16 )
3
3
2、设 D 为圆域 x2 y 2 a2 , a 0, 若积分
a
2
2
0
x2 y2 1z2
4、设 是由曲面 z=xy, y=x, x=1 及 z=0 所围成的空间区域，求 xy2 z3dxdydz (1/364)
5、设 是球域： x2 y 2 z 2 1，求 z ln(x2 y2 z2 1) dxdydz x2 y2 z2 1
(0)
6、计算 (x2 y2 )dxdydz 其中 为：平面 z=2 与曲面 x2 y 2 2z 2 所围成的
I1 ln(x y)dxdy, I2 [ln(x y)]2 dxdy ，比较 I1 , 与 I 2 的大小关系
D
D
解：在 D 上， ln( x y) [ln( x y)]2 ,故 I1 I 2
5、 设 f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 x2 y 2 1, 和曲面 z [ f (xy)]2 所围的
f ( x2 y 2 z 2 dxdydz
t t0
4 x2 y2 z2 t 2
=
lim
t 0
1 t 4
2
d
0
d
0
t 0
f (r)r 2 sindr
lim t 0
4
t r 2 f (r)dr
0
t4
f '(0)
§4
重积分的应用
1、(1)、由面积 x2 y2 =2x, x2 y2 =4x,y=x,y=0 所围成的图形面积为（
）
A 1 ( 2) 4
B 1 ( 2) 2
C 3 ( 2) 4
D 2
(2) 、位于两圆 2sin 与 4sin 之间，质量分布均匀的薄板重心坐标是( )
A (0, 5 ) 3
B (0, 6 ) 3
C (0, 7 ) 3
D (0, 8 ) 3
(3)、由抛物面 z 2 y2 4x 和平面 x=2 所围成的质量分布均匀的物体的重心坐标是
3
dx
ln x f (x, y)dy ,交换积分次序后 I 为：
1
0
I=
3
dx
ln x f (x, y)dy =
ln 3
dy
3
f (x, y)dx
1
0
0
ey
10、改变二次积分的次序：
02dx0x