文科数学答案 精品

唐山市2018—2018学年度高三年级第二次模拟考试
文科数学参考答案
一、选择题：
A 卷：AABC
B CDDC
C BB B 卷：CADAB BACBC
DB
二、填空题：
（13）(lg 2，＋∞) （14） 1 6－3
4π
（15）4
（16） π 6
三、解答题： （17）解：
（Ⅰ）1a 1＝ 3 8
(32
－1)＝3，
…1
分
当n ≥2时， n a n ＝(1a 1＋2a 2＋…＋n a n )－(1a 1＋2a 2＋…＋n －1a n －1
)
＝ 3 8(32n －1)－ 3 8
(32n －2－1)＝32n －1
， (5)
分
当n ＝1，n a n ＝3
2n －1
也成立，
所以a n ＝n
3
2n －1．
…6分 （Ⅱ）b n ＝log 3a n
n
＝－(2n －1)，
…7分
∵
1
b n b n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝ 1 2(12n －1－1
2n ＋1)， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋...＋1b n b n ＋1＝ 1 2[(1－ 1 3)＋( 1 3－ 1 5)＋...＋(12n －1－12n ＋1)] (10)
分
＝ 1 2(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1．
(12)
分
（18）解：
（Ⅰ）x
-甲＝ 1 8(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， x -乙＝ 1 8(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15， s 2甲＝ 1 8[(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132
]＝44.75，
s 2乙＝ 1 8
[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋18＋22＋42＋62＋82
]＝32.25．
甲、乙两名队员的得分均值相等；甲的方差较大（乙的方差较小）． …4分
（Ⅱ）题设所述的6个场次乙得分为：
7，8，10，15，17，19． …7分
从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下： (7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)， (8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)， (10，15)，(10，17)，(10，19)， (15，17)，(15，19)， (17，19)，
共15种可能， …9分
其中恰好有1场得分在10分以下的情形是： (7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)， (8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)， 共8种可能，
所求概率P ＝8
15
．
…12分
（19）解：
（Ⅰ）∵PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PC ， ∵AB ＝2，AD ＝CD ＝2，∴AC ＝BC ＝2，
∴AC 2＋BC 2＝AB 2
，∴AC ⊥BC ， 又BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ，
∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．
…5分
（Ⅱ）由PC ＝2，知△PBC 为等腰直角三角形，则S △BCE ＝ 1 2S △PBC ＝ 1
2
，
由（Ⅰ），AC 为三棱锥A —BCE 高． …7分
Rt △PCA ≌Rt △PCB ≌Rt △ACB ，PA ＝PB ＝AB ＝2，则S △ABE ＝ 1 2S △PAB ＝3
2
，
设三棱锥C —ABE 的高为h ，则 1 3S △ABE ·h ＝ 1 3S △BCE ·AC ， 1 3×32h ＝ 1 3× 1 2×2，h ＝63， 故三棱锥C —ABE 的高等于
6
3
．
…12分
（20）解：
（Ⅰ）设C (m ，0)，D (0，n )，P (x ，y )． 由CP →＝2PD →，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，
D
A C
E
P
B
∴⎩⎪⎨⎪⎧x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩
⎪
⎨⎪
⎧m ＝(2＋1)x ，
n ＝2＋12
y ，
…2分
由|CD →|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， ∴(2＋1)2x 2
＋(2＋1)2
2
y 2＝(2＋1)2，
整理，得曲线E 的方程为x 2
＋y 2
2
＝1． …5分
（Ⅱ）设A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)，由OM →＝OA →＋OB →，知点M 坐标为(x 1
＋x 2
，y 1
＋y 2
)．
设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 方程，得 (k 2＋2)x 2
＋2kx －1＝0，
则x 1＋x 2＝－2k k ＋2，x 1x 2＝－1
k ＋2
，
…7分
y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4
k 2＋2
，
由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2
＋(y 1＋y 2)2
2
＝1，
即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)
2＝1，解得k 2
＝2． …9分
这时|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝3[(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2]＝32
2
， 原点到直线l 的距离d ＝
11＋k
2
＝3
3
， 平行四边形OAMB 的面积S ＝|AB |·d ＝62
．
…12分
（21）解：
（Ⅰ）f '(x )＝x －a 2x ＝(x ＋a )(x －a )
x
．
…1
分
当x ∈(0，a )时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；
当x ∈(a ，＋∞)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．
当x ＝a 时，f (x )取得极小值也是最小值f (a )＝ 1 2a 2－a 2
ln a ．
…5
分
（Ⅱ）由（Ⅰ），f (x )在(2a ，＋∞)单调递增，
则所证不等式等价于f (x )－f (2a )－ 3
2a (x －2a )＞0．
…7
分
设g (x )＝f (x )－f (2a )－ 3
2
a (x －2a )，
则当x ＞2a 时，
g '(x )＝f '(x )－ 3 2a ＝x －a 2
x － 3 2a ＝(2x ＋a )(x －2a )
2x
＞0，
…9分
所以g (x )在[2a ，＋∞)上单调递增，
当x ＞2a 时，g (x )＞g (2a )＝0，即f (x )－f (2a )－ 3
2
a (x －2a )＞0，
故f (x )－f (2a )x －2a ＞ 3 2
a ．
(12)
分
（22）解：
（Ⅰ）连结OA 、AD ．
∵AC 是圆O 的切线，OA ＝OB ，
∴OA ⊥AC ，∠OAB ＝∠OBA ＝∠DAC ， …2分
又AD 是Rt △OAC 斜边上的中线， ∴AD ＝OD ＝DC ＝OA ， ∴△AOD 是等边三角形，∴∠AOD ＝60︒， 故∠ABC ＝ 1
2
∠AOD ＝30︒． …5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， 在Rt △AEB 中，∠EAB ＝∠ADB ＝60︒，
∴EA ＝ 1 2AB ＝ 1 2×32BD ＝3
4BD ，
EB ＝
32AB ＝32×32BD ＝ 3
4
BD ， …7分 由切割线定理，得EA 2
＝EF ×EB ， ∴316BD 2＝EF × 3
4
BD ， ∴BD ＝4EF ． …10分
（23）解：
（Ⅰ）设点P 、Q 的极坐标分别为(ρ0，θ)、(ρ，θ)，则
ρ＝ 1 2ρ0＝ 1
2
·4(cos θ＋sin θ)＝2(cos θ＋sin θ)，
点Q 轨迹C 2的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)， (3)
分
两边同乘以ρ，得ρ2
＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，
C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2． (5)
分
（Ⅱ）将l 的代入曲线C 2的直角坐标方程，得
(t cos φ＋1)2＋(t sin φ－1)2＝2，即t 2
＋2(cos φ－sin φ)t ＝0，
…7分
t 1＝0，t 2＝sin φ－cos φ，
由直线l 与曲线C 2有且只有一个公共点，得sin φ－cos φ＝0，
因为0≤φ＜π，所以φ＝ π
4
．
(10)
分
（24）解：
（Ⅰ）f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩
⎪⎨⎪⎧2－3x ，x ＜0，
2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x ＞1．
…2分
当x ＜0时，由2－3x ≤4，得－ 2
3
≤x ＜0；
当0≤x ≤1时，1≤2－x ≤2；
当x ＞1时，由3x －2≤4，得1＜x ≤2．
综上，不等式f (x )≤4的解集为[－ 2
3，2]．
…5
分
（Ⅱ）f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x ＜0，
2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x ＞a ．
…7分
可见，f (x )在(－∞，a ]单调递减，在(a ，＋∞)单调递增．
当x ＝a 时，f (x )取最小值a ．
所以，a 取值范围为[4，＋∞)．
…10分。