2022年4月2日南京师范大学附属中学高一下期中数学试卷(学生版)

南京师大附中2021－2022学年度第2学期
高一期中数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设m 为实数，平面向量a ＝(－1，2)，b ＝(2，m )，若a ∥b ，则m 的值为( ▲ )
A ．4
B ．－4
C ．1
D ．－1 2．若复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则z 在复平面内对应的点位于( ▲ )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．在△ABC 中，BC ＝15，AC ＝10，A ＝30°，则cos B ＝( ▲ )
A ．－
63 B ．63 C ．－223 D ．22
3
4．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝( ▲ )
A ．0
B ． 3
C ．1
2 D ．1
5．已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个命题：
甲：→
P A ＋→
PB ＋→
PC ＝→
0； 乙：→P A ·(→P A －→PB )＝→PC ·(→P A －→
PB )； 丙：|→
P A |＝|→
PB |＝|→
PC |； 丁：→
P A ·→
PB ＝→
PB ·→
PC ＝→
PC ·→
P A ． 如果只有一个假命题，则该命题是( ▲ )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若b a ＝1－cos B
cos A ，则△ABC 的形状是
( ▲ )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形 7．若点A ，B ，C 均位于单位圆上，且AB ＝3，则→
AB ·→
AC 的最大值为( ▲ )
A ．3＋32
B ．2 3
C ．33
2
D ．3
8．如图，某次帆船比赛LOGO 的设计方案如下：在直角三角形ABO 中挖去以点O 为圆心，OB 为半径的扇形BOC ，使得扇形BOC 的面积是直角三角形ABO 面积的一半．记∠AOB ＝a ，则1－cos2α
α·sin2α
的值为( ▲ )
A ．1
2
B ．2
C ．1
D ．4
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的．每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分． 9．下列四个等式中正确的有( ▲ )
A ．cos28°cos32°－cos62°sin32°＝12
B ．sin105°cos75°＝3
4
C ．1＋tan15°
1－tan15°＝ 3 D ．sin50°(1＋3tan10°)＝1
10．设z 1，z 2为复数，z 1≠0．下列命题中正确的有( ▲ )
A ．若z 1z 2＝0，则z 2＝0
B ．若z 12＝z 22，则|z 1|＝|z 2|
C ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 2＝－
z 1 D ．若z 13＝z 23，则z 1＝z 2 11．已知函数f (x )＝3sin x 2cos x 2－sin 2x
2
，则下列结论正确的有( ▲ )
A ．f (x )的最小正周期为4π
B ．直线x ＝－2π
3是f (x )图象的一条对称轴
C ．f (x )在(0，π
2
)上单调递增
D ．若f (x )在区间[－π2，m ]上的最大值为12，则m ≥π
3
12．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin B ＞3
3
，且(sin B ＋sin C )2＝sin 2A ＋2sin A sin C ，则下列结论正确的有( ▲ )
A ．a ＞b
B ．b ＞a
C ．a －b ＝b cos A
D ．A ＞π
3
三、填空题：本大题共4小题5个空，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．设m 为实数，复数z 1＝1－i ，z 2＝3＋m i ．若z 1 －
z 2为纯虚数，则z 1＋z 2的虚部为 ▲ ． 14．如图，照片中的建筑是某校的学生新宿舍楼，学生李明想要测量宿舍楼的高度MN ．为此他进行了如下测量：首先选定观测点A 和B ，测得A ，B 两点之间的距离为33米，然后在观测点A 处测得仰角∠MAN ＝30°，进而测得∠MAB ＝105°，∠MBA ＝45°．根据李明同学测得的数据，该宿舍楼的高度为 ▲ 米．
15．已知sin α＝
53，且α为钝角，则cos α
2
的值为 ▲ ． 16．已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |≤1，且|3b －2a |≤2．记a ，b 的夹角为θ，则cos θ的最小值为 ▲ ；|b |的最小值为 ▲ ．(本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)
在平面四边形ABCD 中，AD ＝CD ＝1，∠ADC ＝120°． (1)若∠A ＝90°，∠B ＝45°，求BC ；
(2)若∠A ＝60°，AB ＝2BC ，求cos ∠ABC ．
18．(本小题满分12分)
如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F ，G 分别在边AB ，AD ，BC 上，满足AE ＝1
3AB ，
AF ＝13AD ，BG ＝23BC ．设→AB ＝a ，→
AD ＝b ．
(1)用a ，b 表示→
EF ，→
EG ；
(2)若EF ⊥EG ，→
AB ·→EG ＝2a ·b ，求∠DAB 的值．
19．(本小题满分12分)
设复数z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，已知|z 1－z 2|＝25
5．
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若－π
2＜α＜β＜0，tan α＝－7，求2α－β的值．
20．(本小题满分12分)
在△ABC 中，已知∠BAC ＝120°，BC ＝37，O 是△ABC 的外接圆圆心． (1)求|→
AO |；
(2)若△ABC 的面积为932，且AC ＞AB ，求→AO ·→
BC ．
21．(本小题满分12分)
已知函数f (x )＝(sin x －cos x )2＋23sin(π－x )sin x ． (1)求f (x )的最小正周期；
(2)在①△ABC 的面积为c 2－(a －b )2；②边BC 上的中线长为72；③c －3cos B ＝3
2这三个条件中
任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且f (A )＝1，b ＝2， ？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
22．(本小题满分12分)
在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin A ＋sin(C －B )＝2sin2B ，A ＝π3．
(1)求证：△ABC 是直角三角形；
(2)已知c ≠2b ，a ＝23，点P ，Q 是边AC 上的两个动点(P ，Q 不重合)，记∠PBQ ＝θ． ①当θ＝π
6
时，设△PBQ 的面积为S ，求S 的最小值；
②记∠BPQ ＝α，∠BQP ＝β．问：是否存在实常数θ和k ，对于所有满足题意的α，β，都有sin2α＋sin2β＋k ＝4k sin αsin β成立?若存在，求出θ和k 的值；若不存在，说明理由。