八年级数学下册《勾股定理》同步检测与评价(附答案,解析)(附答案)

勾股定理单元检测试题
一、选择题（每题3分,共18分）
1. 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（
）（A ）1,2,3（B ）2,3,4
（C ）3,4,5（D ）4,5,6
解：因为2
2
2
34
5，故选（C ）
2．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为12，那么这个
直角三角形的面积是（）
（A ）30
（B ）40
（C ）50
（D ）60解：由勾股定理知，另一条直角边的长为2
2
13
12
5，所以这个直角三角形的面
积为
1125
302.
3．如图1,一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( )
(A)0.6米 (B)0.7米 (C)0.8
米 (D)0.9米
解:依题设11
2.5,0.7AB
A B BC
.在Rt ABC 中,由勾股定理,得
2
2
2
2
2.5
0.7
2.4
AC AB
BC
由12.4,0.4AC AA ,
得1
1
2.40.42AC AC
AA .
在11Rt A B C 中, 由勾股定理,得
图1
2
2
2
2
111
1
2.5
2
1.5
B C A B AC 所以11 1.50.7
0.8
BB B C
BC
故选(C)
4．直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长
是（
）（A ）132
（B ）121
（C ）120 （D ）以上答案都不对
解：设直角三角形的斜边长为x ,另外一条直角边长为y ,则x
y.
由勾股定理,得2
2
2
11x
y
.
因为,x y 都是自然数，则有1211211x y x y .
所以121,1x
y
x
y
.
因此直角三角形的周长为121+11=132.
故选（A ）
5．直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（）
（A ）2
2d
S
d （B ）2
d
S d
（C ）2
22d
S d
（D ）2
2d S d 解:设两直角边分别为,a b ,斜边为c ,则2c d ,12S
ab .
由勾股定理,得22
2
a b
c .
所以2
2
2
2
2
2444a b a
ab b c
S d
S.
所以2
2a b d
S.所以a b c 2
22d S d .
故选（C ）
6. 直角三角形的三边是,,a b a a b ,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )
（A ）61
（B ）71 （C ）81 （D ）91
解:因为a b a
a b .根据题意,有2
2
2
a b
a b
a .
整理,得24a ab .所以4a b .
所以3,5a b
b a
b
b .
即该直角三角形的三边长是3,4,5b b b .
因为只有81是3的倍数. 故选（C ）
二、填空题（每题3分,共24分）7. 如图2，以三角形
ABC 的三边为直径分别向三角形外侧作半圆，其中两个半圆
的面积和等于另一个半圆的面积，则此三角形的形状为
_____.
解:根据题意，有1
23S S S ，即
2
2
2
1112
2
2
2
2
2
a b c .
整理,得2
2
2
a b
c .
故此三角形为直角三角形. 8. 在Rt ABC 中,3,5a
c
,则边b 的长为______.
解：本题在Rt ABC 中，没有指明哪一个角为直角，故分情况讨论：当
C 为直角时,c 为斜边，由勾股定理,得22
2
a b c ，
∴2
2
2
2
5
3
4b c
a
；
当
C 不为直角时, c 是直角边，b 为斜边，由勾股定理，得2
2
2
a
c
b ，
∴2
2
2
2
3
5
34.
b
a
c
因此,本题答案为4或34.
9. 如图3,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一
棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.
解：由勾股定理，知最短距离为
2
2
2
2
8
82
10BD
AC
AB
CD
.
图3
图2
10. 如图4，已知ABC 中，90ACB ，以ABC 的各边为边在ABC 外作三个正
方形，123,,S S S 分别表示这三个正方形的面积，
1
2
81,225S S ，则3
_____.
S 解：由勾股定理，知2
2
2
AC BC
AB ，即12
3S S S ，
所
以3
114S ．
11．如图5,已知，Rt ABC 中，90ACB
，从直角三
角形两个锐角顶点所引的中线的长5,210AD
BE
，则斜
边AB 之长为______.
解：AD 、BE 是中线，设,BC
x AC
y ，由已知，
5,25AD
BE
，
所以2
2
2
2
40,25.2
2
y x x y
两式相加，得
2
2
5654x
y
，所以2
2
52213.
AB x
y
12.如图6，在长方形ABCD 中，5DC cm,在DC 上存在一点E ,沿直线AE 把
AED 折叠，使点D 恰好落在BC 边上，设此点为F ，若ABF 的面积为2
30cm ,那么折叠AED 的面积为____
_.图6
解:由折叠的对称性,得,AD AF DE
DF .
由1
30,52
ABF
S
BF AB AB ,得12BF
.
在Rt ABF 中,由勾股定理,得2
2
13AF AB BF
.所以13AD .
设DE
x,则5,,1EC
x EF x FC
.
在Rt ECF 中,2
2
2
EC FC EF ,即2
2
2
51x
x .解得135
x
.
故2
1
1131316.92
2
5
ADE
S
AD DE cm
.
图5
图4
13.如图7，已知：ABC 中，2BC ，这边上的中线长1AD ，1
3AB
AC ，
则AB AC 为_____.
解:因为AD 为中线，所以1BD DC
AD ,于是
1,2
C B .
但1
2180C
B ,故21
2
180,1290,即90BAC .又
1
3AB AC ,两边平方,得2
2
24
23AB
AC
AB AC
. 而由勾股定理,得2
2
4AB AC
.
所以24AB AC .故2AB AC . 即2AB AC
.
14．在ABC 中,1AB AC ,BC 边上有2006个不同的点122006,,P P P ,
记2
1,2,
2006i
i
i i
m AP BP PC i ,则1
2
2006m m m =_____.
解:如图8,作AD BC 于D ,因为1AB AC ,则
BD
CD.
由勾股定理,得22
22
2
2
,AB AD
BD AP
AD
PD .所
以
2
2
2
2
AB
AP
BD
PD BD PD
BD PD
BP PC
.
所以2
2
2
1AP BP PC AB . 因此2
1
2
2006
1
2006
2006m m m .
三、解答题（每题10分,共40分）15．如图9，一块长方体砖宽5AN cm ，长10ND
cm ，CD 上的点B 距地面的高
8BD
cm ，地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？
【解】如图9，在砖的侧面展开图10上，连结AB ，则AB 的长即为A 处到B 处的最
短路程．
在Rt ABD 中，因为51015AD AN
ND
，8BD
，
所以2
2
2
2
2
2
158289
17AB
AD
BD
．
所以17AB cm ．
图8
图7
因此蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．
16．如图11所示的一块地，90ADC
，12AD
m ，9CD
m ，39AB
m ，
36BC
m ，求这块地的面积S ．
解：连结AC ，在Rt ACD 中，由勾股定理，得
2
2
2AC
AD
DC ，即2
2
2
129AC
，所以15AC ．
在ABC 中，由2
22
2
2
15
36
39AC BC
，即2
2
2
AC
BC
AB ．
所以ABC 为直角三角形，90ACB
．
所以2
1
11536129
2162
2
ABC
ADC
S
S
S
m
．
所以这块地的面积为2216m ．
17．如图12所示，在Rt ABC 中,90,,
45BAC
AC
AB DAE
,且3BD
,
4CE
,求DE 的长.
图12答图13
图9
图10
图11
解:如图13,因为ABC 为等腰直角三角形,所以
45ABD C .
所以把AEC 绕点A 旋转到
AFB ,则AFB
AEC.
所以4,,45BF
EC
AF
AE ABF
C
.连结DF .
所以DBF 为直角三角形. 由勾股定理,得2
2
2
2
2
2
4
3
5DF BF
BD
.所以5DF
.
因为
45,DAE
所以45DAF DAB EAC .
所以ADE ADF SAS . 所以5DE
DF
.
18．ABC 中，,,BC
a AC
b AB
c ，若
90C
，如图14，根据勾股定理，则
2
2
2
c b
a ，若ABC 不是直角三角形，如图
15和图16，请你类比勾股定理，试猜想
2
2
b a
与2
c 的关系，并证明你的结论。

解：若ABC 是锐角三角形，则有2
2
2
.a
b
c 若ABC 是钝角三角形，
C 为钝角，
则有2
2
2
.
a b
c 当ABC 是锐角三角形时，如图17,
证明：过点A 作AD CB ，垂足为.D 设CD 为x ，则有DB a x ，
根据勾股定理，得
2
2
2
2
.
b
x
c
a x 图14 图15 图16
图17
即22222
b x
c a ax x
2.
∴2222.
a b c ax
∵0,0
a x，∴20.
ax
∴222.
a b c
当ABC是钝角三角形时，图18,
证明：过点B作BD AC，交AC的延长线于点.D 设CD为x，则有222.
DB a x
根据勾股定理，得2222.
b x a x c
即22222
b bx x a x c
2.
∴222
a b bx c
2.
图18
∵0,0
b x，∴20.
bx
∴222.
a b c。