中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第七单元 三角形 第22课时 三角形全等

第22课时三角形全等
(60分)
一、选择题(每题5分，共20分)
1．[xx·宜昌]如图22－1，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有 (C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个．
图22－1 图22－2
2．如图22－2，下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是 (D) A．BD＝DC，AB＝AC
B．∠ADB＝∠ADC，BD＝CD
C ．∠B ＝∠C ，∠BA
D ＝∠CAD D ．∠B ＝∠C ，BD ＝DC
【解析】 当BD ＝DC ，AB ＝AC 时，因为AD ＝AD ，由SSS 可得△ABD ≌△ACD ，故A 正确；当∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD 时，因为AD ＝AD ，由SAS 可得△ABD ≌△ACD ，故B 正确；当∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠CAD 时，因为AD ＝AD ，由AAS 可得△ABD ≌△ACD ，故C 正确；D 不能判定△ABD ≌△ACD ，因为不能利用SSA 判定两三角形全等．
3．[xx·湖州]如图22－3，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝5，DE ＝2，则△BCE 的面积等于 (C)
A ．10
B ．7
C ．5
D ．4
图22－3
【解析】 作EF ⊥BC 于F ， ∵BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，EF ⊥BC ， ∴EF ＝DE ＝2，
∴S △BCE ＝12BC ·EF ＝1
2
×5×2＝5.
4.[xx·宁波]如图22－4，▱ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，如果添加一个条件，使△ABE ≌△CDF ，则添加的条件不能为
(C)
A ．BE ＝DF
B ．BF ＝DE
C ．AE ＝CF
D ．∠1＝∠2
图22－4
【解析】 A ．当BE ＝DF ，△ABE ≌△CDF (SAS )，故此选项可添加； B ．当BF ＝ED ，可得BE ＝DF ，△ABE ≌△CDF (SAS )，故此选项可添加；
第3题答图
C．当AE＝CF无法得出△ABE≌△CDF，故此选项符合题意；
D．当∠1＝∠2，△ABE≌△CDF(ASA)，故此选项可添加．
二、填空题(每题5分，共20分)
5．[xx·长沙]如图22－5，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，AC＝6，则DF＝__6__.
图22－5 图22－6
6．[xx·江西]如图22－6，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有__3__对全等三角形．
【解析】∵OP平分∠MON，∴∠1＝∠2，
由OA＝OB，∠1＝∠2，OP＝OP，可证得△AOP≌△BOP(SAS)，
∴AP＝BP，
又∵OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，
∴PE ＝PF ，∴△PEA ≌△PFB (HL )，
又∵PE ＝PF ，OP ＝OP ，∴△POE ≌△POF (HL )， ∴图中共有3对全等三角形．
7．[xx·娄底]如图22－7，已知AB ＝BC ，要使△ABD ≌△CBD ，还需添加一个条件，你添加的条件是__∠ABD ＝∠CBD 或AD ＝CD __(只需写一个，不添加辅助线)．
【解析】 由已知AB ＝BC ，及公共边BD ＝BD ，可知要使△ABD ≌△CBD ，已经具备了两个边了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS ，②SSS .所以可添∠ABD ＝∠CBD 或AD ＝CD .
图22－7
8．[xx·黔东南]如图22－8，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，连结BD .请添加一个适当的条件__AB ＝CD __，使△ABD ≌△CDB .(只需写一个)
图22－8
【解析】 ∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，而BD ＝DB ， ∴当添加AB ＝CD 时，可根据“SAS ”判定△ABD ≌△CDB . 三、解答题(共20分)
9．(10分)[xx·福州]如图22－9，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC ＝AD . 证明：∵∠3＝∠4， ∴∠ABC ＝∠ABD . 在△ABC 和△ABD 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠1＝∠2，AB ＝AB ，
∠ABC ＝∠ABD ， ∴△ABC ≌△ABD (ASA ) ∴AC ＝AD .
10．(10分)[xx·武汉]如图22－10，点B ，C ，E ，F 在同一直线上，BC ＝EF ，AC ⊥BC 于点C ，DF ⊥EF 于点F ，
AC ＝DF .求证：
(1)△ABC ≌△DEF ；
(2)AB ∥DE .
证明：(1)∵AC ⊥BC 于点C ，DF ⊥EF 于点F ， ∴∠ACB ＝∠DFE ＝90°，
图22－9
图22－10
在△ABC 和△DEF 中，
⎩⎪⎨⎪
⎧BC ＝EF ，∠ACB ＝∠DFE ，AC ＝DF ，
∴△ABC ≌△DEF (SAS )； (2)∵△ABC ≌△DEF ， ∴∠B ＝∠DEF ， ∴AB ∥DE .
(24分)
11．(12分)[xx·杭州]如图22－11，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AE ＝AF ，BF 与CE 相交于点P ，求证：PB ＝PC ，并请直接写出图中其他相等的线段．
图22－11
证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ， 在△ABF 与△ACE 中，
⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝AC ，∠CAE ＝∠BAF ，AE ＝AF ，
∴△ABF ≌△ACE (SAS )， ∴∠ABF ＝∠ACE ，
∴∠ABC －∠ABF ＝∠ACB －∠ACE ， ∴∠FBC ＝∠ECB ， ∴PB ＝PC .
相等的线段还有：PE ＝PF ，BE ＝CF ，EC ＝FB ，AE ＝AF .
12．(12分)[xx·温州]如图22－12，点C ，E ，F ，B 在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，AB ∥CD ，AE ＝DF ，∠A ＝∠D . (1)求证：AB ＝CD ；
(2)若AB ＝CF ，∠B ＝30°，求∠D 的度数． 解：(1)证明：∵AB ∥CD ， ∴∠B ＝∠C ， 在△ABE 和△DCF 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠A ＝∠D ，∠C ＝∠B ，AE ＝DF ，
∴△ABE ≌△DCF (AAS )， ∴AB ＝CD ；
(2)∵△ABE ≌△DCF ， ∴AB ＝CD ，BE ＝CF ， ∵AB ＝CF ，∠B ＝30°， ∴CD ＝CF ， ∠C ＝∠B ＝30°， ∴△CDF 是等腰三角形，
∴∠D ＝1
2
×(180°－30°)＝75°.
(16分)
13．(16分)[xx·株洲]如图22－13，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 是△ABC 的一条角平分线．点O ，E ，F
分别在BD ，BC ，AC 上，且四边形OECF 是正方形． (1)求证：点O 在∠BAC 的平分线上； (2)若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长．
图22－12
图22－13
解：(1)证明：过点O 作OM ⊥AB 于点M ， ∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴OE ＝OM ，
∵四边形OECF 是正方形， ∴OE ＝OF ， ∴OF ＝OM ， ∵OM ⊥AB ，OF ⊥AD ， ∴AO 是∠BAC 的角平分线， 即点O 在∠BAC 的平分线上；
(2)∵在Rt △ABC 中，AC ＝5，BC ＝12， ∴AB ＝AC 2
＋BC 2
＝52
＋122
＝13， 设CE ＝CF ＝x ，BE ＝BM ＝y ，AM ＝AF ＝z ，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ＝12，y ＋z ＝13，x ＋z ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝2，y ＝10，z ＝3，
∴OE ＝CE ＝CF ＝2.
第13题答图。