水力学第二章 水静力学习题

dp Xdx Ydy Zdz X a x Y 0 Z g
在自由液面上
dp 0
代入上式
第二章 水静力学
ax dx gdz 0
所以
ax dz dx g
p p0 ax x gz 按相对压强计算，在自由液面上 p0 pa p a x x gz z 2m 点A的坐标 x 1.5m
α
a

c
D
解：⑴、求总压力
P hc A
1 2 1 a d sin d 2 4
1 0 1 9800 1 0.5 sin 60 3.14 0.52 2 4
2082 N
⑵ 由测压管测得：
………..①
p2 pa 2 h2 ………….②
………….③
p1 pa1 h1
⑶ 由直立煤气管中 p1 与 p2 关系可求得 g ：
p1 p2 g H
p1 p2 g H
…………..④
将①②③式代入④式， 移项后得：
h2 h1 g a =12.65 N / m3 9800 N / m3 0.115 0.1 20 H
h
B
D
p
压强分布图
h
总压力的作用线通过压强分布图形体积的形心，压向被作用平面。 对于矩形平板，静水总压力的作用点可由三角形压强分布图形面 积的形心定出。
§2-6作用在平面上的静水总压力 试求作用在关闭着的池壁圆 例：
形放水闸门上静水总压力和作用 点的位置。 已知闸门直径d=0.5m，距离a=1.0m ，闸门与自由水面间的倾斜角α=600 ，水为淡水。 hc
S
1 h 3
b m
c
h


h 2m n S 3 mn
n
§2-6作用在平面上的静水总压力
二、图解法
采用图解法时，须先绘出压强分布图， 然后根据压强分布图形计算总压力。
C
b c
A
h
B
1、求大小 总压力为：
D
p
h
1 2 1 P hc A h bh h b 2 2
例1badhchhabc即为相对压强分布图abed即为绝对压强分布图eapap第二章水静力学例2bah1h221hh?叠加后余下的红色梯形区域即为静水压强分布图ap例311hp11hp22hp为一折面的静水压强分布图h2h1a例4为两种例4为两种和21第二章水静力学cbh1h212d11he122hh?作用于平面acdb1的液体先做111hp再做ec12211hhh?则adec即为所求压强分布图例5右图为一弧形闸门求各点的压强只能逐点计h算且沿半径方向指向圆弧的圆心
P hc A
1 9.8 100 0.5 12 4
100m A B 1m
773.15kN
作用点：
Jc y D yc yc A
hc
yc
1 64
hc
h
d 4
2
1 hc d 4
§2-6作用在平面上的静水总压力
1 hc 16 hc
V1 V2

1 2 D H1 d H 2 4 4
2
2 H1 2 2 0.1 0.62 d2 D = = 0.144 m2 0.5 H
得：d 0.379 m
(b) 由 Z
2r 2
2g
，可求出ω
已知旋转后油液形成的抛物线旋转体高：
ZH
代入上式移项后得：
水
煤
H 20m 高处的测压管
中测的水柱高差 h2 115 mm ，管外空气重度
气
a 12.65 N / m3 ，求管中
静止煤气的重度。
↓
水
解：⑴ 对直立煤气管道中的煤气而言，不同高程的大气压强不 能看成常数， 设点2的大气压强值为 pa 2 ， 则点1的大气压强 值为
pa1 pa 2 a H
§2-6作用在平面上的静水总压力 例题：
输水水管道在试压时，压强表的 读数为10atm，管道直径d=1.0m，求 作用在管端法兰堵头上的静水总压力 及作用点。
d 设法兰堵头上静水压强均匀分布
p 10 atm 100 mH 2O柱 98 KN m 2 10 980 KN m
§2-6作用在平面上的静水总压力
设总压力的作用点沿斜面距水面为yD
yD hc yc α
则：
Jc 1 1 d 4 3.14 0.54 0.0031 m 4 64 64
a


c
D
Jc Jc 1 y D yc a d 1 1 yc A 2 a d d 2 2 4
1 r d 2
2
2 gZ 2 gH 2 9 .8 0 .5 =272.22 rad / s 2 2 0.379 2 r2 1 d 4 2
272 .22 =16.499rad/s
⑵ 求盖板和容器底上的最小和最大压强（用相对压强表示）
2 底板： 最小压强 pmin 0 H 0.8 9.8 0.5 3.92 KN / m x 0 （作用在底板 中心点上） y 0
弧的圆心。
第二章 水静力学 例1：
有一小车，内盛液体，车内
Z
尺寸长L=3.0m，宽b=1.2m，静止
时水深h=2.0m，小车作水平等加 速运动，ax=4.0m。试计算小车运
x 0 2m A 3m B θ
a
动时水面倾斜角和底面AB受力大
小？
解： 根据平衡微分方程
代入： dp ax dx gdz
简便方法：直接计算AB板中心点压强 z 2m 代入 x0
p 1000 0 9.8 2 19.6kN / m
2
第二章 水静力学
例2：边长为b的敞口立方水箱中原来装满水，当容器 以匀加速度向右运动时， 试求： h
⑴ 水溢出1/3时的加速度 a1 ⑵ 水剩下1/3时的加速度a 2 解：水溢出1/3时
1 0.0031 1.0 0.5 2 1 1 0.5 1 3.14 0.5 2 4 2
1.25 0.013 1.26 （米）
§2-6作用在平面上的静水总压力 问 题：
作用在自由面上的压强 p0 所形成的压力P0的压 力中心在何处？ 答： 力P0 的压力中心和平面的形心点C重合，这是因 为压强p0在平面上均匀分布的缘故。
由于 所以堵头上的总压力
2
d 1m 100 m 可认为堵头上的平均压强为 p
1 2 P p A p d 4 1
980
4 作用点通过堵头的中心C点
3.14 12 769 .69 KN
§2-6作用在平面上的静水总压力
方法（Ⅱ）压强严格按照 p h 来计算 总压力：
2
z 2m
2
13600 N / m 13.6kN / m
平均压强 作用在AB底面上的力：
pB 1000 4 1.5 9.8 2
1 p p A pB 19.6k N / m 2 2
P p A p L b 19.6 31.2 70.6kN
1
； ；
b
a1
a2 h2
1 2 1 3 b h1 b 2 3
2 h1 b 3 2 a1 h1 2 a1 g 6.54m / s 2 t g1 3 b 3 g
水剩下1/3时（自算）
a2 14.715 m / s 2
§2-6作用在平面上的静水总压力
几种常见平面的Jc及形心点位置的计算式 平面形状 惯性矩Jc 形心点距下底的距离
矩 形 圆 形 半 圆 形
c
s
l
b
d s
bl 3 Jc 12
S
l 2
d 4 Jc 64
S
d 2
s
c
d 2
J c 0.1098 r 4
(式中
d r 2
S 0.5756 r
)
三 角 s 形
梯 形
s
h
c
bh3 Jc 36
h3 m 2 4mn n 2 Jc m n 36
1 100 0.5 16 100 0.5
100.5006 m
比较两种计算方法的结果： 773 .15 769 .69 ⑴、总压力的相对误差： 100 0 0 0.45 0 0 733 .15
⑵、作用点距离误差：
yD hc 100.5006 100.5 0.0006 0.6mm
h2
p2 h2
例4
和
A
2
作用于平面AC
1
h2
h1
D
先做 DB p1 1h1 再做
B
C
EC 1h1 2 h2 h1
2
E
则ADEC即为所求压强分 布图
2 h2 h1 1h1
第二章 水静力学
例5
右图为一弧形闸门， 求各点的压强只能逐点计 算，且沿半径方向指向圆 h
y 0
最大压强：
p顶 max p底 max－ H
0.8 9.8 0.5 9.81.25 0.5
11.27 KN / m2
D 2 2 （作用在盖板 x y 的圆周上） 2
2
3、有一个容器，上部为油，下部为水， 已知h1=1m，h2=2m，油的重度
第二章 水静力学
pa
D A
例1
ABC 即为相对压强 分布图 ABED 即为绝对压 强分布图 h
E
C
B
pa
h
A
例2
叠加后余下的红色 梯形区域即为静水 压强分布图 h1
h2
B
h1 h2
第二章 水静力学
例3
为一折面的静 水压强分布图
为两种 1
的液体
p1 h1 p1 h1
h1
= 三角形面积A 宽度b
所以；平面上静水总压力的大小等
a、压强分布图
hD
hC
h
于作用在平面上的压强分布图的体
积。
b、剖面图
h
§2-6作用在平面上的静水总压力
2、求作用点
C
b c
A
1 3 bh Jc 1 2 12 hD hc h h 1 hc A 2 3 h bh 2
解： 取坐标如图所示， 由于容器有顶盖，故旋转时液面不能自由升高。 根据液面分界面与容器底相切的条件，旋转时液面形成的抛 物线旋转体的顶部与容器底的o点相切。 所以此旋转体的高为
H 0.5m ，设其底的直径为d。
⑴ 求容器旋转速度ω （a） 旋转前后的油液的体积保持不变，可求出d 1 转前： V1 D 2 H1 V2 d 2 H 转后： 2 4 4 由
最大压强 p底 max
2 D 2 2 0H 2g
3.92 9.8 1.25 16.17 KN / m2
D （作用在底板 x 2 y 2 的圆周上） 2
2
盖板：
pmin pa 0（作用在盖板中心点 x 0 上） 最小压强：
计算液体任一点的压强：
dz ax 4 tg 0.408 dx g 9.81 22.18 0
p A 1000 4 1.5 9.8 2
25600 N / m 25.6kN / m
2
2
第二章 水静力学
B点坐标
x 1.5m
=5.30 N / m3 2、 一直径D=600mm，高度H=500mm的圆柱形容器，其中盛 水深度H2=0.4m，上部盛油（比重为0.8）深度H1=0.1m， 容器顶盖中心有一小孔与大气相通。求液体分界面与容
器底相切时，容器的旋转速度ω及盖板上和容器底上的最
小和最大压强值。
ω
ω
油γ
油γ
水γ
水γ
旋转后液面的分界面
1 Px hc Az H 2 1 2 2
B
P
P=
Px2 Py2 = 19600 2 30800 2 = 36450N
tgα=Pz/Px=30800/19600=1.57α=57.5°
第一、二章习题课
1、图示一直立煤气管道，
↓
在底部的测压管中测的水
柱高差 h1 100 mm ，在
比较结果： 在工程上，方法1计算完全可满足要求。
§2-7作用在曲面壁上的静水总压力




§2-7作用在曲面壁上的静水总压力
例： 如图为一圆柱形闸门。半
径R=2水深H=R=2m.求作用在 闸门AB上的静水总压力和方 向。（闸门长度按单宽计）
O Pz
A Px α H
解：总压力必然通过圆心。
= 9800×2 ÷2=19600N Pz =γV=γ×（1/4）×πR2· 1 = 9800×(1/4)×π×22×1=30800N