平面及其方程演示文稿

故 可 取n a b i jk
n a b 3 4 6 14i 9 j k
2 3 1
14( x 2) 9( y 1) (z 4) 0,
即
14x 9 y z 15 0.
例3 求过下列三点M1(1,1,1)、M2(2,1,2)、 M 3 (3,3,1) 的 平 面 方 程. 解 先求法向量n. 因为n M1M2, n M1M3,
面.方 程 Ax By Cz D 0 称 为 平 面 的一 般 方 程,
其 中x、y、z 的 系 数 就 是 该 平 面 一 个法 线 向 量n
的 坐 标,即
n ( A, B,C).
3. 特殊的三元一次方程所表示的平面
Ax By Cz D 0. D 0, Ax By Cz 0,平面过原点. A 0, By Cz D 0, n (0, B,C )垂 直
因为过空间任一点可以作而且只能作一平 面垂直于一已知直线，所以当平面Π 上一点 M0( x0 , y0 , z0 ) 和它的一个法线向量 n ( A, B,C )
为已知时，平面Π 的知条件来建立平面Π的方程.
已知平面 上一点 z
M0( x0 , y0 , z0 ) 和它的一个 M0
M1M2 (3,0,1), M1M3 (4,2,0), i jk
n M1M2 M1M3 3 0 1 2i 4 j 6k, 4 2 0
所求平面方程为 2( x 1) 4( y 1) 6(z 1) 0,
化简得 x 2 y 3z 6 0.
一般地, 如果平面过不共线已知三点 A(a1, a2 , a3 ), B(b1, b2 , b3 ),C(c1, c2 , c3 ),设M ( x, y, z)是平面上任 意 一 点.
解 根据平面的点法式方程, 所求平面为 1 ( x 1) 2 ( y 1) 1 (z 2) 0,
即
x 2 y z 5 0.
例2 平面 过点（2， 1，4）且与不共线的两个
向量a （ 3，4， 6），b （ 2，3， 1）相平行，
求 平 面的 方 程
解 先 求 平 面的 法 向 量n.由 于n a, n b，
法线向量n ( A, B,C ).
O
n
Π y
x
设 M ( x, y, z) 是平面 Π 上的任一点.
z
那么向量M0M 必与法线
n
向量n 垂直, 从而 n M0M 0.
M0 O
Π My
n ( A, B,C ),
x
M0M ( x x0 , y y0 , z z0 ),
所 以 A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0. (2)
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程(1),
那么方程(1)就叫做曲面S 的方程,曲面S 就
叫做方程(1)的图形.
二、平面方程的概念及其求法
1. 平面的点法式方程
在本节和下一节里，我们将以向量为工具， 在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面 和曲线——平面和直线.
如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫 做该平面的法线向量.平面上的任一向量均与该 平面的法线向量垂直.
x 轴,平 面 平 行 于x 轴. Ax Cz D 0,平面平行于y 轴.
Ax By D 0,平面平行于z 轴. A B 0,Cz D 0, n (0,0,C)垂直于x 轴
和 y 轴,平面平行于xOy面. Ax D 0,平 面 平 行 于yOz 面;
By D 0,平 面 平 行 于xOz 面.
例4 求通过z 轴和点(3,1,2) 的平面的方程. 解 由于平面通过z轴,
根据向量AB, AC, AM共面, 混合积为零可得
x a1 b1 a1 c1 a1
y a2 b2 a2 c2 a2
z a3 b3 a3 0 c3 a3
M
C
平面的三点式方程
A
B
2. 平面的一般方程
点法式方程是x、y、z 的一次方程, 任一平 面 都 可 用 它 上 面 的 一 点及 它 的 法 线 向 量 确 定, 所 以 任 一 平 面 都 可 以 用 三元 一 次 方 程 表 示.
反之, 设有三元一次方程 Ax By Cz D 0.
任 取 满 足 该 方 程 的 一 组数 x0 , y0 , z0 ,即
Ax0 By0 Cz0 D 0,
Ax By Cz D 0, Ax0 By0 Cz0 D 0, 两 式 相 减 可 得:
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0. 该方程是通过点M0( x0 , y0 , z0 ) 且以 n ( A, B,C) 为法线向量的平面方程. 因 此, 任 一 三 元 一 次 方 程 的 图形 总 是 一 个 平
平面及其方程演示文稿
优选平面及其方程
一、曲面方程的概念
在空间解析几何中,任何曲面都看
z
F(x, y,z) 0
作动点按照一定规律而形成的几
S
何轨迹.并由此建立曲面方程.
在这样 的意义下 ，如果曲 面 S 与 o
三元方 程 F ( x, y, z) 0 (1) x y
有 下 述 关 系: (1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程(1);
程( 2).
x
Π My
这样，方程(2)就是平面Π 的方程，而平面Π就 是方程(2)的图形. 由于方程(2)是由平面Π 上的一点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) 及它的一个法线向量
n ( A, B,C) 确定的，所以方程(2)叫做平面的 点法式方程.
例1 求过点(1,1,2) 且以n (1,2,1) 为法线向量 的 平 面 的 方 程.
平 面 上 的 任 意 一 点M ( x, y, z)的 坐 标
满 足 方 程 （2）
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0. (2)
反之, 如果 M( x, y, z) 不在
z n
平 面 Π 上,那 么有n M0M 0, M0 即点M 的坐标x, y, z 不满足方 O