计算结构力学读书报告

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在解决平面问题时，我们可以采用有限元的方法来分析。

有限元法的物理实质是：把一个连续体近似的用有限个在节点处相连接的单元组成的组合体来代替，从而把连续体的分析转化为单元分析加上对这些单元组合的分析问题。

有限元和计算机的结合，产生了巨大的威力，应用范围很快从简单的杆、板结构推广到复杂的空间组合结构，是过去不可能进行的一些大型复杂结构的静力分析变成常规的计算，固体力学中的动力问题和各种非线性问题也有了各种相应的解决途径。

有限元法的基本作法，首先是对求解的区域进行离散化，即把具有无限多个自由度的连续体划为有限多个自由度的结构体。

其次，选择一个表示单元内任意点位移随位置变化的函数式，并且按照函数插值理论，将单元内任意点的位移通过一定的函数关系用节点位移表示。

随后则从分析单个单元入手，利用变分原理建立单元方程，接着将所有的单元集合起来，并与节点上的外荷载想联系，进行整体分析，得到一组以节点位移为未知量的多元线性代数方程，引入位移边界条件以后进行求解。

解出节点位移，再根据弹性力学集合方程计算出单元的应变和应力。

总结起来，用有限元法分析问题的主要步骤：（1）求解区域或者结构的离散化（2）选择位移模式（3）推导单元刚度方程（4）集合单元刚度方程，形成有限元法的基本方程（即总体刚度方程）（5）求解方程，得到节点位移
（6）由节点位移计算单元的应变和应力下面举一个平面问题来讨论
如图所示的一个平面薄板，利用计算结构力学的方法来求解。

设该薄板是边长为1m的正方形，E=1kN/m2，u=0,t=1m,划分为1,2两个单元，可以得到每个单元的局部坐标：
对单元① 1（0,0）2（1,0）3（0,1）对单元② 1（1,0）2（1,1）
3（0,1）
K
e
B
T
10 D B t ，0.5，故可以求出B = 1
0 1 1
100
001
001
1 0
1E
u D 2
1 u
u10
0 ，故可以求得D 1 u
2 1 0 0
0***** 1 1 2
0 0 1 2 *****
1 *****
1 *****
0 2 0 0 0 2
K
e
B
T
D B t ，故可以求得K
1
3 1 1 2
4 1 1 0
同理可以求出单元②
1 0 1 1 4 1 0 1
020 200
1031 2 1
1 2130 1
00 2020
1 0 1 1 0 1
K
2
将局部坐标转化为整体坐标，形成总体刚度矩阵
3 1 1 1 0
K
4 2 1 0 0
13 1 20 100
1 ***** 20
0 ***** 1 1
***** 1 1
1 ***** 2
00 2 1 1031
0 0 1
1 2 1 3
求出总体刚度矩阵后，引入约束条件，可以解出各节点的位移。

弹性薄板的边界条件为
u1 v1 u2 v2 u3 v3 0 3 1 1 1 04 2 1 0 01 3 4 1
13 1 20 1001 3
1 ***** 20
0 ***** 1 1
***** 1 1
1 ***** 2
00 2 1 1031
0 u1 0 v100 0 u2 0 1 v2 0
1u30 2 v3 0 1 u4 100 3 v4 50
u4 100
，v4=125，u4=-175 v4 50
求节点力：
F K
F Fx1
Fy1v1
u2
Fx2
v2
Fy2u3
Fx3v3
Fy3u4
Fx4v4
T
Fy4
T
u1
带入方程可以求出每个单元节点的受力情况
F 0
87.5
12.5
12.5
62.5
175
125
T
求单元的应力应变：D B x x y D y xy xy
x
1
对单元① y B
xy
1
u1 v 1 u2
=0 ，所以v2 u 3 v3
1
x x
1
D y y =0 xy xy
11
对单元②
u1
v2 1 x 175 u2 2
125 ，所以y D v2 50
xy u 3 v3
2
x
2
y B xy
2
x 175 y 125 25 xy
2
在计算结构力学中,还可以用相关的专业软件来计算。

对于本例，采用Midas来
对结构进行进一步的验算，通过验算来对比这两种方法。

利用Midas的步骤如下：1定义材料类型和截面厚度
在这里为了方便计算，假定泊松比为0，弹性模量为1kn/m2，真阳定义是为了计算的方便，同时，定义班的厚度为1m。

2 在定义完材料和截面后，开始建立模型首先建立节点
根据结构的尺寸来输入坐标，完全定义完四个节点之后将节点连接成单元。

3 建立单元
建立单元时选择平面应力单元，并且选择3节点组成一个单元，即是三角形单元。

将结构划分为两个三角形单元
4根据条件施加约束
本例对1,2,3节点均施加三个方向的约束
5 加荷载
选择正确的节点，在该节点上施加荷载，在施加荷载之前需要对荷载进行定义。

所施加的荷载方向和整体坐标一致为正。

模型建立完成后的图形如下所示
6 运行分析
点击运行就可以对结构进行受力分析7查看结果
所得分析结果如下所示
由上面的分析结果可以得出，利用Midas分析所得的结果和利用公式手算的结果是一致的。

在利用有限元法计算时，单元划分一般选用简单的三角形单元，有如下几点需要注意：
（1）结构不同的部位可以采用不同大小的单元
（2）任意一个三角形单元的顶点必须同时也是其相邻三角形单元的顶点，而不
是其相邻三角形的内点
（3）尽可能使同一个单元个变成相差不大，单元中尽量不要出现大的钝角（4）在结构的厚度或材料性质有突变的地方，应把突变线作为单元的分界线（5）当结构在几何上具有对称轴，而荷载又对称于该轴或反对称该轴时，对于
各向同性材料来说，其位移和应力也必须具有这种对称或反对称的性质（6）合理确定求解的范围
在用Midas计算时，对于结构单元划分的密度一般要多次试算，当后一次的计算结果与前一次相差不多等满足精度要求时才行。