数字随机信号功率谱密度分析-基带1

数字随机信号功率谱密度分析-基带1
数字随机信号功率谱密度分析-基带1
数字随机信号功率谱密度（PSD ）分析－基带
1、形如∑a n g (t -nT 0)的基带数字信号的PSD
设有随机数字信号
x (t )=
∑a g (t -nT )
= ∑a n δ(t -nT 0)⎪*g (t )⎪n =-∞⎪
其中g(t)为基带成型脉冲，其持续时间为t ∈(0,T0) 。

a n 为取值离散的平稳随机随机序列，可以为复值。

(1-1)式可以表示一般的基带随机过程。

至于（窄带）带通过程，则可用等效基带法表示为：
s (t )=Re x (t )e j ωc t
之后使用窄带随机过程理论来分析。

容易知道，(1-1)式所表示的随机过程是以T 0为周期的周期平稳随机过程。

要求其功率谱密度，一种方法是先求得其周期的自相关函数，然后在一个码元周期内求其平均自相关函数，再对后者求傅里叶变换。

我们这里不使用这种方法，而是直接由功率谱密度的定义来求。

下面使用定义来分析(1-1)式表示的随机信号的功率谱密度。

理论上，随机过程都是功率信号，故其功率谱密度的一般定义为：
E ⎪X T (f )⎪
⎪ P x (f )=lim ⎪
其中X T (f)是对过程截断之后取其傅里叶变换。

E[·]表示取集平均。

按照傅
里叶变换的定义：
X T (f )=⎪
x T (t )e -j 2πft dt
x T (t)是对应的截断时间信号。

取T ＝(2N+1)T0，则(1-3)式变为
P x (f )=lim
E ⎪X (2N +1) T 0(f )⎪ ⎪⎪N →+∞2N +1T ⎪⎪0
因为(1-3)表示的极限存在，所以T 无论怎么趋向+∞，得到的极限都应该相等。

这里取特殊的按照T 0的倍数增长的方式, 即x T (t)的时间跨度限制为[-NT0,(N+1)T0]，当N →∞时，x T (t)就是x (t)。

于是(1-5)式可以进一步写成
P x (f )=lim
E ⎪X (2N +1) T 0(f )⎪⎪⎪N →+∞2N +1T ⎪⎪0
N →+∞2N +1T ⎪0
x T (t 1)e -j 2πft 1dt 1
x T (t 2)e -j 2πft 2dt 2⎪
2⎪⎪E X (2N +1) T 0(f )⎪=E ⎪
x T (t )= ∑a n δ(t -nT 0)⎪*g (t )
⎪n =-N ⎪
x T (t 1)e
-j 2πft 1
x T (t 2)e -j 2πft 2dt 2⎪
∑a g (t
T 0+nT 0nT 0T 0
-nT 0)e
j 2πft 1
∑a g (t
-mT 0)e -j 2πft 2dt 2]g (t 2-mT 0)e -j 2πft 2dt 2]
=E [∑a *
n =-N N
g (t 1-nT 0)e j 2πft 1dt 1
j 2πf (t 1+nT 0)
T 0+mT 0
=E [∑a n ⎪g (t 1)e
a m ⎪g (t 2)e -j 2πf (t 2+mT 0) dt 2]
把求和跟积分分离开，得
E ⎪X (2N +1) T 0(f )⎪⎪
N N T 0T 0⎪-j 2π(m -n ) fT 0⎪-j 2πf (t 2-t 1) *⎪=E a a e g t g t e dt 1dt 2 (1-8) ()()∑∑n m 12⎪⎪⎪0⎪0⎪⎪⎪m =-N n =-N ⎪
在上式后项的积分中令变量替换t 2=t1+τ，得
⎪⎪g (t )g (t )e
-j 2πf (t 2-t 1)
dt 1dt 2=⎪
g (t 1)g (t 1+τ)dt 1e -j 2πf τd τ
R g (τ)e -j 2πf τd τ
=ψg (f )
正是g(t)的自相关函数的傅里叶变换。

由能量信号的分析的结论，能量谱密度是能量信号的自相关函数的傅里叶变换。

把g(t)的能量谱密度记作ψg (f )。

(1-8)式第一项中，因为序列是平稳序列，作变量代换，令m-n=k，则m=n+k。

而m,n 都是从-N,-
N+1,…,N ，则k 的范围为-2N 到2N 。

故(1-8)式右边第一项为
⎪N N *-j 2π(m -n ) fT 0⎪-jk 2πfT 0*
⎪⎪E ⎪∑∑a n a m e =E a a e ⎪∑∑⎪n n +k ⎪
⎪m =-N n =-N ⎪n =-N k =-N -n
n =-N k =-N -n
*a 其中，由平稳性，定义R a (k )=E ⎪⎪n a n +k ⎪⎪为序列的自相关函数。

上式当N →+
R a (k ) e -jk 2πfT 0
∞时，第2个求和符号对于给定的n ，都是从-∞到+∞（整数）求和，和值是相同的。

故当N →+∞时，上式等于
n =-N k =-N -n
R a (k ) e
-jk 2πfT 0
=(2N +1)∑R a (k ) e -jk 2πfT 0（N →∞） (1-11)
把(1-8)-(1-11)代入功率谱密度的定义式(1-6)，得
P x (f )=lim 2N +1)∑R a (k ) e -jk 2πfT 0ψg (f )(N →+∞2N +1T -∞0
ψg (f )
-jk 2πfT 0
R (k ) e ∑a -∞
G (f )ψa (f )
其中ψa (f )=∑R a (k ) e -jk 2πfT 是序列的自相关的离散时间傅里叶变换(DTFT)。

由此看出，基带随机过程的功率谱密度由其成型脉冲的频谱、以及序列的
PSD 共同决定。

对于具有不同相关特性的序列，可以求出其特定的自相关序列，然后
求其DTFT ，令角频率为2πfT 0，便是要求的序列的功率谱密度
ψa (f )。

2、形如∑a n g (t -nT 0-α)的基带数字信号的PSD
令基带随机信号为
x (t )=
∑a g (t -nT
其中其他符号含义都跟(1-1)一样，除了多出来的α。

设α为均匀分布在[0,T0]的随机变量，代表传输中的同步误差，且和序列符号独立。

易证，(2-1)式表示的随机过程是
广义平稳随机过程。

这是因为：其均值
E ⎪x t =E a g t -nT -α⎪()()0⎪⎪⎪∑n ⎪
⎪n =-∞⎪
∑E [a ]E ⎪⎪g (t -nT
=m a m =a
∑E ⎪⎪g (t -nT
-α)⎪⎪-α)d α
∑⎪g (t -nT
其中令变量代换u=t-nT0-α，得
E ⎪x t =⎪()⎪⎪T
=m a T 0
g u du =()∑⎪t -nT 0-T 0
T 0n =-∞
t -nT 0
t +mT 0
t +mT 0-T 0
g (u )du
g (t ) dt =
m a m g T 0
该均值与时间无关。

而自相关函数
R x (t , t +τ)=E ⎪⎪x *(t )x (t +τ)⎪⎪
⎪+∞*⎪=E ⎪∑a n g (t -nT 0-α)∑a m g (t +τ-mT 0-α)⎪ m =-∞⎪n =-∞⎪
n =-∞m =-∞
∑∑E ⎪⎪a a
⎪⎪g (t -nT 0-α)g (t +τ-mT 0-α)⎪⎪⎪E ⎪
对于(2-4)式右边第1个期望，由序列的平稳性可以记为
E ⎪⎪g (t -nT 0-α)g (t +τ-mT 0-α)⎪⎪1
=T 01=T 0
E ⎪a n ⎪a m ⎪⎪=R a (m -n )
g (t -nT 0-α)g (t +τ-mT 0-α)d α g (u )g (u +τ-(m -n ) T 0)du
t -nT 0
t -(n +1)T 0
将(2-6)、(2-5)式代入(2-4)，得
R x (t , t +τ)=
n =-∞m =-∞
R a (m -n )⎪
t -nT 0
t -(n +1)T 0
g (u )g (u +τ-(m -n ) T 0)du
令变量代换：k=m-n,消去m ，得
R x (t , t +τ)=
n =-∞k =-∞∞
R a (k )⎪
t -nT 0
t -(n +1)T 0
g (u )g (u +τ-kT 0)du
1=T 0=1T 0
⎪∞t -nT 0⎪R a (k )⎪∑⎪g (u )g (u +τ-kT 0)du ⎪∑k =-∞⎪n =-∞t -(n +1)T 0⎪
∑R (k )⎪
g (u )g (u +τ-kT 0)du
∑R (k )R (τ-kT )
上式只与时间差τ有关。

故由(2-3)、(2-7)式知，虽然(2-1)只在(1-1)式基础上引入一个随机的均匀分布的时延α，却使得随机过程由周期平稳变成了广义平稳。

且仔细观察，(2-7)式可以进一步写成卷积的形式：
R x (τ)=R x (t , t +τ)
∑R (k )R (τ-kT )
=⎪∑R a (k )δ(τ-kT 0)⎪*R g (τ)T 0⎪k =-∞⎪
再利用维纳－辛钦定理，对上述自相关函数求傅里叶变换，得到如(2-1)式所表示的随机过程x (t)的功率谱密度。

利用傅里叶变换的卷积性质，以及狄拉克δ函数的性质，可得这个功率谱密度跟上一节中得到的PSD 结果(1-12)是一样的，也是
P x (f )=
G (f )T 0
ψa (f )。