高考数学二轮复习 专题六 解析几何综合检测 新人教A版

2012年高考数学二轮复习综合检测：专题六 解析几何
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2011·新课标文，4)椭圆x 216＋y 2
8＝1的离心率为( )
A.1
3 B.12 C.33
D.22
[答案] D
[解析] e ＝224＝2
2
.
2．(2011·湖北理，4)将两个顶点在抛物线y 2
＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则( )
A ．n ＝0
B ．n ＝1
C ．n ＝2
D ．n ≥3
[答案] C
[解析] 由抛物线的对称性知，在抛物线上的两个顶点关于x 轴对称，所以过抛物线焦点F 作斜率为
33(或斜率为－3
3
)的直线与抛物线有两个不同交点，它们关于x 轴的对称点也在抛物线上，这样可得到两个正三角形．
3．(文)(2011·陕西理，2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )
A ．y 2
＝－8x B ．y 2
＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2
＝4x
[答案] B
[解析] 准线x ＝－2，∴p
2＝2，∴p ＝4，开口向右，
∴y 2＝8x .
(理)(2011·广东文，8)设圆C 与圆x 2
＋(y －3)2
＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )
A ．抛物线
B ．双曲线
C ．椭圆
D ．圆
[答案] A
[解析] 由题意作图可知，圆C 的圆心到(0,3)的距离等于到直线y ＝－1的距离，所以
C 的圆心轨迹为抛物线．
4．(2011·福建5月质检)已知椭圆x 24＋y 2
b
2＝1(0<b <2)与y 轴交于A ，B 两点，点F 为该椭
圆的一个焦点，则△ABF 面积的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
[答案] B
[解析] S △ABF ＝12×2b ×c ＝12
×2b ×4－b 2＝b
2
－b
2
≤
b 2＋
－b
2
2
＝2，当且仅当
b 2＝2时，△ABF 面积的最大值取2，故应选B.
5．(2011·福州二次检测)抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )
A ．y ＝2x 2
B ．y 2
＝2x C ．x 2
＝2y D ．y 2
＝－2x
[答案] B
[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2
＝2px ，则⎩
⎪⎨⎪⎧
y 2
1＝2px 1y 2
2＝2px 2，两式相减可
得2p ＝
y 1－y 2x 1－x 2
×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2
＝2x ，故应选B. 6．(文)已知椭圆x 2m ＋y 2
n
＝1满足条件m ，n ，m ＋n 成等差数列，则椭圆的离心率为( )
A.32
B.22
C.12
D.
55
[答案] B
[解析] ∵m ，n ，m ＋n 成等差数列，∴2n ＝m ＋n ＋m ，即n ＝2m ，在椭圆中a ＝n ＝2m ，
b ＝m ，
∴c ＝m ，e ＝c a
＝
m 2m ＝2
2.选B. (理)已知双曲线C ：x 2
9－y 2
16＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，
且|PF 2|＝|F 1F 2|，则ΔPF 1F 2的面积等于( )
A ．24
B ．36
C ．48
D ．96
[答案] C
[解析] ∵双曲线方程为x 29－y 2
16＝1，∴a ＝3，c ＝5.
∴|F 1F 2|＝2c ＝10.
由|PF 2|＝|F 1F 2|知|PF 2|＝10. 设P (x 0，y 0)，∵F 2(5,0)，
解⎩⎪⎨⎪⎧
x 209－y 2
016＝1x 0－2＋y 20＝100
解得|y 0|＝485，∴S △PF 1F 2＝12×10×48
5
＝48.
7．(2011·陕西三检)已知b >0，直线(b 2
＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2
y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值等于( )
A ．1
B ．2
C ．2 2
D ．2 3
[答案] B
[解析] 由两条直线垂直的充要条件可得：－b 2＋1a ·1b 2＝－1.解得a ＝b 2＋1
b 2，所以ab ＝
b 2＋1b 2·b ＝
b 2＋1b ＝b ＋1b .又因为b >0，故b ＋1
b
≥2b ·1b ＝2，当且仅当b ＝1
b
，即b ＝1时取
“＝”．
8．(2011·唐山二模)圆x 2
＋y 2
＝50与圆x 2
＋y 2
－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为( ) A. 5 B. 6 C ．2 5 D ．2 6
[答案] C
[解析] x 2
＋y 2
＝50与x 2
＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x ＋y －15＝0，圆x 2
＋y 2
＝50的圆心(0,0)到2x ＋y －15＝0的距离d ＝35，因此，公共弦长为2
2
2
－5
2
＝25，选C.
9．(2011·山东理，8)已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2
－
6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )
A.x 25－y 24＝1
B.x 24－y 25＝1
C.x 23－y 2
6＝1 D.x 26－y 2
3
＝1 [答案] A
[解析] 依题意：⊙C 方程为(x －3)2＋y 2
＝4，∴圆心C (3,0)，半径r ＝2，∴双曲线的右焦点F 2为(3,0)，即c ＝3.又双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x ，即bx ±ay ＝0，∴|3b |
a 2＋
b 2
＝2，
即b ＝2，∴a 2
＝9－4＝5，故选A.
10．(文)(2011·青岛4月质检)若双曲线过点(m ，n )(m >n >0)，且渐近线方程为y ＝±x ，则双曲线的焦点( )
A ．在x 轴上
B ．在y 轴上
C ．在x 轴或y 轴上
D ．无法判断是否在坐标轴上
[答案] A
[解析] 由于还未确定焦点的位置，因此分两种情况进行讨论．∵双曲线渐近线方程为y
＝±x ，∴a ＝b ，假设焦点在x 轴上，设双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1，由图像过点(m ，n )，得m 2a 2－n 2
a 2
＝1，∴m 2
－n 2
＝a 2
，因为m >n ，所以等式能够成立；假设焦点在y 轴上，设双曲线方程为y 2a 2－x 2
a
2
＝1，由图像过点(m ，n )，得n 2a 2－m 2a
2＝1，∴n 2－m 2＝a 2
，因为m >n ，所以等式不能够成立，因此
焦点在x 轴上．
(理)(2011·湘潭五模)已知圆O ：x 2
＋y 2
＝25，点A (－3，0)、B (3,0)，一条抛物线以圆O 的切线为准线且过点A 和B ，则这列抛物线的焦点的轨迹方程是( )
A.x 225＋y 2
16
＝1(x ≠0) B.x 225＋y 2
16
＝1(y ≠0) C.
x 2
25＋y 29
＝1(x ≠0) D.
x 2
25＋y 2
9
＝1(y ≠0) [答案] B
[解析] 由题意可知：根据抛物线的定义，抛物线上的点(－3,0)和(3,0)到准线的距离
d 1、d 2与其到焦点(x ，y )的距离分别相等，所以x ＋
2
＋y 2
＝d 1，
x －
2
＋y 2
＝d 2，又
坐标原点是点(－3,0)和(3,0)的中点，令圆O 的半径为R ，所以d 1＋d 2＝2R ，所以x ＋
2
＋y
2
＋
x －
2
＋y 2
＝d 1＋d 2＝10，所以点(x ，y )满足到两定点(－3,0)和(3,0)的距离之和等于
定值，所以点(x ，y )的轨迹是椭圆，其方程为x 225＋y 2
16
＝1，当y ＝0时，抛物线不可能过点(－
3,0)和点(3,0)，所以抛物线的焦点的轨迹方程是x 225＋y 2
16
＝1(y ≠0)，故选B.
11．(2011·大纲全国卷文，11)设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( )
A ．4
B ．4 2
C ．8
D ．8 2
[答案] C
[解析] ∵C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，∴C 1，C 2的圆心都在y ＝x 上， 由题意：圆C 1，C 2的圆心坐标(x 1，x 1)，(x 2，x 2)为方程 (x －4)2
＋(x －1)2
＝x 2
的两根． 即x 2
－10x ＋17＝0 ∴x 1＋x 2＝10，x 1·x 2＝17 ∴|C 1C 2|＝2|x 1－x 2|＝2
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝8.
12．(2011·四川理，10)在抛物线y ＝x 2
＋ax －5(a ≠0)上取横坐标为x 1＝－4，x 2＝2的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x 2
＋5y 2
＝36相切，则抛物线顶点的坐标为( )
A ．(－2，－9)
B ．(0，－5)
C ．(2，－9)
D ．(1，－6)
[答案] A
[解析] 因为x 1＝－4，y 1＝16－4a －5＝11－4a ； 又∵x 2＝2，y 2＝4＋2a －5＝2a －1，则经过两点的斜率
k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝11－4a －2a ＋1－4－2＝12－6a 1－6
＝－2＋a ， 由导数的几何意义，在(x 0，y 0)处抛物线切线斜率：
y ′＝2x ＋a |x ＝x 0＝2x 0＋a ，由题意：2x 0＋a ＝－2＋a ，
∴x 0＝－1，y 0＝－4－a ，所以切线方程为：
y －(－4－a )＝(－2＋a )(x －1)，利用圆心(0,0)到切线的距离等于半径，则
|a ＋4－a ＋2|1＋－2＋a
2
＝r ＝65
，则a ＝4，则抛物线y ＝x 2
＋4x －5, 顶点坐标(－2，－9)，故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．)
13．(文)(2011·北京文，10)已知双曲线x 2
－y 2
b
2＝1(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，
则b ＝________.
[答案] 2
[解析] 双曲线的渐近线方程为y ＝±b a
x ，因为a ＝1，又知一条渐近线方程为y ＝2x ，所以b ＝2.
(理)(2011·新课标理，14)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，
F 2在x 轴上，离心率为
2
2
.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________________．
[答案]
x 2
16
＋y 2
8
＝1 [解析] 依题意：4a ＝16，即a ＝4，又e ＝c a ＝22
， ∴c ＝22，∴b 2
＝8. ∴椭圆C 的方程为x 216＋y 2
8
＝1.
14．(2011·辽宁理，13)已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，
则它的离心率为________．
[答案] 2 [解析] ⎩⎪⎨⎪⎧
4a 2－9b
2＝1
a 2＋
b 2＝4
，∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝1b 2
＝3，
∴a ＝1，c ＝2，∴e ＝c
a
＝2.
15．(2011·大连一模)过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，
垂足恰好落在曲线x 2b 2＋y 2
a
2＝1上，则双曲线的离心率为________．
[答案]
2
[解析] 不妨设双曲线的一个焦点为(c,0)，(c >0)，一条渐近线方程为y ＝b a
x ，由
⎩⎪⎨⎪⎧
y －0＝－a
b
x －c
y ＝b a x
得垂足的坐标为(a 2c ，ab c )，把此点坐标代入方程x 2b 2＋y 2a 2＝1，得a 4
b 2c
2
＋a 2b 2a 2c 2＝1，化简，并由c 2＝a 2＋b 2
得a ＝b ，∴e ＝c a
＝ 2.
16．已知椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)，A (2,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC
→
＝0，|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →
|，则椭圆的方程为________．
[答案]
x 24＋3
4
y 2
＝1 [解析] ∵|OC →－OB →|＝2|BC →－BA →
|， ∴|BC →|＝2|AC →|， 又AC →·BC →＝0，∴AC →⊥BC →. ∴△AOC 为等腰直角三角形．
∵|OA →
|＝2，∴点C 的坐标为(1,1)或(1，－1)， ∵点C 在椭圆上， ∴1a 2＋1b
2＝1，又a 2
＝4，
∴b 2
＝43，故所求椭圆方程为x 2
4＋34
y 2
＝1.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2011·福建文，18)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2
＝4y 相切于点A .
(1)求实数b 的值；
(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．
[解析] (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋b x 2
＝4y 得x 2
－4x －4b ＝0(*)
∵直线l 与抛物线相切 ∴△＝(－4)2
－4×(－4b )＝0 ∴b ＝－1
(2)由(1)知b ＝－1，方程(*)为x 2
－4x ＋4＝0 解得x ＝2，代入x 2
＝4y 中得，y ＝1 ∴A(2,1)
∵圆A 与抛物线准线y ＝－1相切 ∴r ＝|1－(－1)|＝2.
所以圆A 的方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝4.
18．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P (1，3
2
)．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设F 是椭圆C 的左焦点，判断以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
[解析] (1)∵椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且经过点P (1，3
2
)，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2－
b 2a ＝1
2
，1a 2
＋94b 2
＝1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
3a 2
－4b 2
＝0，1a 2＋9
4b
2＝1.解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝4，
b 2
＝3.
∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3＝1. (2)∵a 2
＝4，b 2
＝3，∴c ＝a 2
－b 2
＝1. ∴椭圆C 的左焦点坐标为(－1,0)．
以椭圆C 的长轴为直径的圆的方程为x 2
＋y 2
＝4， 圆心坐标是(0,0)，半径为2.
以PF 为直径的圆的方程为x 2
＋(y －34)2＝2516，
圆心坐标是(0，34)，半径为5
4.
∵两圆心之间的距离为
－
2
＋
34
－2
＝34＝2－54
， 故以PF 为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切． 19．(本小题满分12分)(文)已知双曲线方程x 2
－y 2
2
＝1.
(1)求证：对一切实数k ，直线kx －y －2k ＋2＝0与双曲线均相交； (2)求以点A (2,1)为中点的弦的方程．
[解析] (1)由⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2－y 2
2＝1，
kx －y －2k ＋2＝0，
得
(2－k 2
)x 2
＋22k (k －1)x －2(k 2
－2k ＋2)＝0(*)
当k ＝±2时，方程(*)有根；当k ≠±2时，Δ＝8(k －2)2
≥0，故方程(*)总有实根，即直线与双曲线均相交．
(2)设过点A (2,1)的弦的端点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 21－y 21
2＝1，
x 22
－y
22
2＝1.
两式相减，
有kP 1P 2＝
y 1－y 2x 1－x 2＝2×2
1×1
＝4， 故直线方程为4x －y －7＝0.
(理)(2011·北京文，19)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为6
3
，右焦点为(22，
0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．
(1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．
[解析] (1)由已知得，c ＝22，c a ＝63
， 解得a ＝23，又b 2
＝a 2
－c 2
＝4， 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 2
4＝1.
(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ＋m .x 212＋y
24
＝1得
4x 2
＋6mx ＋3m 2
－12＝0.①
设A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则
x 0＝x 1＋x 22
＝－3m 4
，y 0＝x 0＋m ＝m 4
.
因为AB 是等腰△PAB 的底边，所以PE ⊥AB ，
所以PE 的斜率k ＝2－m
4
－3＋
3m 4＝－1.解得m ＝2，
此时方程①为4x 2
＋12x ＝0，
解得x 1＝－3，x 2＝0，所以y 1＝－1，y 2＝2， 所以|AB |＝32，
此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离
d ＝
|－3－2＋2|2
＝32
2，
所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝9
2
.
20．(本小题满分12分)(2011·新课标全国卷文，20)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2
－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．
[解析] (1)曲线y ＝x 2
－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．
故可设C 的圆心为(3，t )，则有32
＋(t －1)2
＝(22)2
＋t 2
，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32
＋t －
2
＝3.
所以圆C 的方程为(x －3)2
＋(y －1)2
＝9.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：
⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋a ＝0，x －
2＋y －2
＝9.
消去y ，得到方程2x 2
＋(2a －8)x ＋a 2
－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式△＝56－16a －4a 2
＞0. 由韦达定理得
x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝
a 2－2a ＋1
2
. ①
由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以 2x 1x 2＋a (x 2＋x 2)＋a 2
＝0. ②
由①，②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.
21．(本小题满分12分)(文)(2011·厦门模拟)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为255，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14
x 2
的焦点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若MA →＝λ1AF →，MB
→＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值．
[解析] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)， 抛物线方程为x 2
＝4y ，其焦点为(0,1)，椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b ＝1， 由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝255
，得a 2＝5， ∴椭圆C 的标准方程为x 25
＋y 2＝1. (2)由(1)得椭圆C 的右焦点为F (2,0)，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)，
显然直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，
代入x 25
＋y 2＝1，并整理得 (1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0，
∴x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k
2. 又MA →＝(x 1，y 1－y 0)，MB →＝(x 2，y 2－y 0)，AF →＝(2－x 1，－y 1)，BF →＝(2－x 2，－y 2)， 由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，
得(x 1，y 1－y 0)＝λ1(2－x 1，－y 1)，
(x 2，y 2－y 0)＝λ2(2－x 2，－y 2)，
∴λ1＝x 12－x 1，λ2＝x 22－x 2
， ∴λ1＋λ2＝x 12－x 1＋x 22－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 24－x 1＋x 2＋x 1x 2
＝－10. (理)(2011·宁夏银川一中5月三模)已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8，定点A (1,0)，M 为圆上
一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，点N 的轨迹为曲线E .
(1)求曲线E 的方程；
(2)若直线y ＝kx ＋k 2
＋1与(1)中所求点N 的轨迹交于不同两点F 、H ，O 是坐标原点，且23≤OF →·OH →≤34，求k 2的取值范围．
[解析] (1)因为AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，
所以NP 为线段AM 的垂直平分线，如图，连接AN ，则|NA |＝|NM |.
所以|NC |＋|NA |＝|NC |＋|NM |＝|CM |＝22>2＝|CA |.
所以动点N 的轨迹是以C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆，且长轴长为2a ＝22，焦距2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，b 2＝1.
所以曲线E 的方程为x 22＋y 2
＝1. (2)设F (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1y ＝kx ＋k 2＋1
， 消去y 得(2k 2＋1)x 2＋4k k 2＋1x ＋2k 2＝0，Δ＝8k 2
>0(∵k ≠0)，
∴x 1＋x 2＝－4k k 2＋12k 2＋1，x 1x 2＝2k 22k 2＋1
. OF →·OH →＝x 1x 2＋y 1y 2
＝x 1x 2＋(kx 1＋k 2＋1)(kx 2＋k 2＋1)
＝(k 2＋1)x 1x 2＋k k 2＋1(x 1＋x 2)＋k 2＋1 ＝k 2＋k 22k 2＋1
－4k 2k 2＋2k 2＋1＋k 2＋1＝k 2＋12k 2＋1. ∵23≤k 2＋12k 2＋1≤34，∴12
≤k 2≤1. 22．(本小题满分14分)椭圆G ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，M 是椭圆G 上一点，且满足F 1M →·F 2M →
＝0.
(1)求离心率e 的取值范围；
(2)当离心率e 取得最小值时，点N (0,3)到椭圆上的点的最远距离为5 2.
(ⅰ)求此时椭圆G 的方程；
(ⅱ)设斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆G 相交于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问A 、B 两点能否关于过点P (0，
33
)、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． [解析] (1)设M (x 0，y 0)，
∵M 在椭圆G 上，∴x 20a 2＋y 20b
2＝1，① 又F 1M →·F 2M →＝0，
∴(x 0＋c ，y 0)·(x 0－c ，y 0)＝0.②
由②得y 2
0＝c 2－x 20，代入①整理得x 20＝a 2
(2－a 2
c 2)． 又0≤x 2
0≤a 2，∴0≤a 2
(2－a 2
c 2)≤a 2， 解得(c a )2≥12，即e 2≥12
， 又0<e <1，∴e ∈[22
，1)． (2)(ⅰ)当e ＝22时，设椭圆G 的方程为x 22b 2＋y 2b
2＝1，H (x ，y )为椭圆上一点，则|HN |2＝x 2＋(y －3)2＝－(y ＋3)2＋2b 2＋18，其中－b ≤y ≤b .
若0<b <3，则当y ＝－b 时，|HN |2有最大值b 2＋6b ＋9，
由b 2＋6b ＋9＝50，得b ＝－3±52(舍去)；
若b ≥3，则当y ＝－3时，|HN |2有最大值2b 2＋18，
由2b 2＋18＝50，得b 2＝16.
∴所求的椭圆方程为x 232＋y 2
16
＝1. (ⅱ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2132＋y 2116＝1
x 2
232＋y 2216＝1，两式相减得x 0＋2ky 0＝0，③
又直线PQ ⊥直线l ，
∴直线PQ 的方程为y ＝－1k x ＋33
.
将点Q (x 0，y 0)代入上式得，y 0＝－1k x 0＋33，④
由③④得Q (233k ，－3
3)．而Q 点必在椭圆内部，
∴x 2
032＋y 2
16<1， 由此得k 2<47
2，又k ≠0， ∴－94
2<k <0或0<k <94
2，
故当k ∈(－94
2，0)∪(0，94
2)时，A 、B 两点关于过点P 、Q 的直线对称．。