2014-2015年湖南省株洲二中高二上学期期末数学试卷(文科)与解析

2014-2015学年湖南省株洲二中高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：（本大题共10题，每小题4分，共40分）
1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，3，}，B={2，4，5}，则∁U（A∪B）=（）
A．{2}B．{6}C．{1，3，4，5，6}D．{1，3，4，5}
2．（4分）下列函数中是奇函数的是（）
A．y=B．y=x2+1C．y=2x D．y=log2x
3．（4分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）
A．￢p：∀x∈A，2x∉B B．￢p：∀x∉A，2x∉B
C．￢p：∃x∉A，2x∈B D．￢p：∃x∈A，2x∉B
4．（4分）曲线y=lnx在点A（e，1）处的切线斜率为（）A．1B．2C．D．e
5．（4分）函数f（x）=x3﹣3x2+5的单调减区间是（）
A．（0，2）B．（0，3）C．（0，1）D．（0，5）6．（4分）某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据：
据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（）
A．=0.7x+0.35B．=0.7x+1
C．=0.7x+2.05D．=0.7x+0.45
7．（4分）已知21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，…，以此类推，第5个等式为（）
A．24×1×3×5×7=5×6×7×8
B．25×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9
C．24×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10
D．25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10
8．（4分）中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆方程为（）
A．+=1B．+=1
C．+=1D．+=1
9．（4分）有下列命题是假命题的是：（）
A．双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点
B．“0＜x＜2”是“x2﹣2x﹣3＜0”充分不必要条件
C．“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是真命题．
D．“∃x∈R，使x2﹣2x+3≤0”
10．（4分）如图，F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，
以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A．B．2C．﹣1D．1+
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）Z=，则Z的模等于．
12．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是．
13．（4分）某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=7.069，则至少有的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．
附：
14．（4分）已知N（2，0），M是y2=8x上的动点，则|MN|的最小值是．15．（4分）已知f（x）与g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g
（x）＜f（x）g'（x），f（x）=a x•g（x），+=，有穷数列{}（n=1，2，…，8）中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率等于．
三、解答题（本大题共6小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤）
16．（6分）某校高二年级的一次数学考试中，为了分析学生的得分情况，随机抽取M名同学的成绩，数据的分组统计表如下：
（1）求出表中M，n的值；
（2）为了了解某些同学在数学学习中存在的问题，现从样本中分数在（40，60]中的6位同学中任意抽取2人进行调查，求分数在（40，50]和（50，60]中各有一人的概率．
17．（6分）命题p：m2﹣m﹣6≤0；命题q：不等式4x2+4（m+2）x+1≥0对x ∈R恒成立．命题p∧q为真，求实数m的取值范围．
18．（6分）已知函数f（x）=x+，且此函数图象过点（1，5）．
（Ⅰ）求函数m的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在[2，+∞）上的单调性？并证明你的结论．
19．（6分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为（，），直线L的直角坐标方程为x+y=a，且点A在直线上L．
（1）求a的值；
（2）圆C的参数方程为，（α为参数），试判断直线L与圆C的位置关系并说明理由．
20．（6分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴端点A与短轴
端点B间的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）P为椭圆C上一动点，求△PAB的面积的最大值．
21．（10分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx，且f′（﹣1）=0．
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）令a=﹣1，设函数f（x）在x1、x2（x1＜x2）处取得极值，记点M（x1，f（x1）），N（x2，f（x2））．证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M，N的公共点．
2014-2015学年湖南省株洲二中高二（上）期末数学试卷
（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10题，每小题4分，共40分）
1．（4分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，3，}，B={2，4，5}，则∁U（A∪B）=（）
A．{2}B．{6}C．{1，3，4，5，6}D．{1，3，4，5}
【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，∴A∪B={1，2，3，4，5}，
则∁U（A∪B）={6}，
故选：B．
2．（4分）下列函数中是奇函数的是（）
A．y=B．y=x2+1C．y=2x D．y=log2x
【解答】解：A．y=是奇函数．
B．y=x2+1是偶函数．
C．y=2x单调递增，关于原点和y轴不对称，是非奇非偶函数．
D．y=log2x的定义域为（0，+∞），关于原点不对称，是非奇非偶函数．
故选：A．
3．（4分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x ∈B，则（）
A．￢p：∀x∈A，2x∉B B．￢p：∀x∉A，2x∉B
C．￢p：∃x∉A，2x∈B D．￢p：∃x∈A，2x∉B
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则￢p：∃x∈A，2x∉B．
故选：D．
4．（4分）曲线y=lnx在点A（e，1）处的切线斜率为（）A．1B．2C．D．e
【解答】解：求导数可定y′=，切点为M（e，1），
则切线的斜率k=，
故选：C．
5．（4分）函数f（x）=x3﹣3x2+5的单调减区间是（）
A．（0，2）B．（0，3）C．（0，1）D．（0，5）
【解答】解：∵f（x）=x3﹣3x2+5，
∴f′（x）=3x2﹣6x，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故选：A．
6．（4分）某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）有如表几组样本数据：
据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（）
A．=0.7x+0.35B．=0.7x+1
C．=0.7x+2.05D．=0.7x+0.45
【解答】解：设回归直线方程=0.7x+a，由样本数据可得，=4.5，=3.5．
因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a，解得a=0.35．
故选：A．
7．（4分）已知21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，…，以此类推，第5个等式为（）
A．24×1×3×5×7=5×6×7×8
B．25×1×3×5×7×9=5×6×7×8×9
C．24×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10
D．25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10
【解答】解：∵21×1=2，22×1×3=3×4，23×1×3×5=4×5×6，…，
∴第5个等式为25×1×3×5×7×9=6×7×8×9×10
故选：D．
8．（4分）中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆方程为（）
A．+=1B．+=1
C．+=1D．+=1
【解答】解：设椭圆方程为，a＞b＞0，
由题意知，解得c=2，a=2，
∴b2=8﹣4=4，
∴该椭圆方程为．
故选：D．
9．（4分）有下列命题是假命题的是：（）
A．双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点
B．“0＜x＜2”是“x2﹣2x﹣3＜0”充分不必要条件
C．“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是真命题．
D．“∃x∈R，使x2﹣2x+3≤0”
【解答】解：对于A项，双曲线﹣=1的焦点为（）和（）．椭圆+y2=1的焦点为（）和（）．所以A选项为真命题．
对于B项，x2﹣2x﹣3＜0的解集为{x|﹣1＜x＜3}，{x|0＜x＜2}⊆{x|﹣1＜x＜3}，∴“0＜x＜2”是“x2﹣2x﹣3＜0”充分不必要条件，B选项为真命题．
对于C项，“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是““若xy≠0，则x、y 中没有一个为0”为真命题，C选项为真命题．
对于D项，x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2＞0．所以不存在这样的x使得式子成立．故D 项为假命题．
故选：D．
10．（4分）如图，F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，
以坐标原点O为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A．B．2C．﹣1D．1+
【解答】解：连结AF1，
∵F1F2是圆O的直径，
∴∠F1AF2=90°，即F1A⊥AF2，
又∵△F2AB是等边三角形，F1F2⊥AB，
∴∠AF2F1=∠AF2B=30°，
因此，Rt△F1AF2中，|F1F2|=2c，|F1A|=|F1F2|=c，
|F2A|=|F1F2|=c．
根据双曲线的定义，得2a=|F2A|﹣|F1A|=（﹣1）c，
解得c=（+1）a，
∴双曲线的离心率为e==+1．
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）Z=，则Z的模等于．
【解答】解：∵z=，
∴|z|=||
=
=
=．
故答案为：．
12．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是4．
【解答】解：执行程序框图，有
n=3，i=1，s=1
满足条件i≤n，有s=1，i=2
满足条件i≤n，有s=2，i=3
满足条件i≤n，有s=4，i=4
不满足条件i≤n，输出s的值为4．
故答案为：4．
13．（4分）某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持和不支持两种态度）的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=7.069，则至少有99%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．
附：
【解答】解：∵K2=7.069＞6.635，对照表格：
∴有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系．
故答案为：99%．
14．（4分）已知N（2，0），M是y2=8x上的动点，则|MN|的最小值是2．【解答】解：设M（x，y），则|MN|==x+2，
∵x≥0，
∴x+2≥2，
∴|MN|的最小值是2．
故答案为：2．
15．（4分）已知f（x）与g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g
（x）＜f（x）g'（x），f（x）=a x•g（x），+=，有穷数列{}
（n=1，2，…，8）中，任意取前k项相加，则前k项和大于的概率等于
．
【解答】解：由题意可得[]′=＜0，
∴=a x单调递减，∴0＜a＜1，
又∵+=，∴a+a﹣1=，
解得a=，或a=2（舍去），∴=（）x，
∴共8项的有穷数列{}是以=为首项，q=为公比的等比数列，
∴数列的前k项和为=1﹣（）k，
令1﹣（）k＞，可解得k＞4，
∴所求概率P==
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演
算步骤）
16．（6分）某校高二年级的一次数学考试中，为了分析学生的得分情况，随机抽取M名同学的成绩，数据的分组统计表如下：
（1）求出表中M，n的值；
（2）为了了解某些同学在数学学习中存在的问题，现从样本中分数在（40，60]中的6位同学中任意抽取2人进行调查，求分数在（40，50]和（50，60]中各有一人的概率．
【解答】解：（1）根据频率分布表，得；
得分在（40，50]内的频率是0.02，频数是2，
∴样本容量是M==100；
得分在（80，90]内的频数为
100﹣（2+4+11+38+11）=34，
∴对应的频率为n==0.34；
（2）这6个人中，得分在（40，50]内的记为a，b，
得分在（40，50]内的记为A，B，C，D；
从中任选两个人的不同选法是：
ab，aA，aB，aC，aD；bA，bB，bC，bD；AB，AC，AD；BC，BD；CD共15种，
其中符合两组中各有一人的不同选法是：
aA，aB，aC，aD；bA，bB，bC，bD共8种；
所以，所求的概率是．
17．（6分）命题p：m2﹣m﹣6≤0；命题q：不等式4x2+4（m+2）x+1≥0对x ∈R恒成立．命题p∧q为真，求实数m的取值范围．
【解答】解：∵命题p∧q为真，
∴p，q均为真命题，
∵命题p：m2﹣m﹣6=（m﹣3）（m+2）≤0；
∴命题p：m∈[﹣2，3]；
命题q：不等式4x2+4（m+2）x+1≥0对x∈R恒成立，
∴△=16（m+2）2﹣16≤0，
解得﹣3≤m≤﹣1，
综上所述命题p∧q为真，m∈[﹣2，﹣1]．
18．（6分）已知函数f（x）=x+，且此函数图象过点（1，5）．
（Ⅰ）求函数m的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在[2，+∞）上的单调性？并证明你的结论．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）过点（1，5），
∴1+m=5，解得m=4．
（Ⅱ）f（x）在[2，+∞）是单调递增．
证明：设x1，x2∈[2，+∞）且x1＜x2，
则=．
∵x1，x2∈[2，+∞）且x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，x1x2＞4，x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在[2，+∞）是单调递增．
19．（6分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为（，），直线L的直角坐标方程为x+y=a，且点A在直线上L．
（1）求a的值；
（2）圆C的参数方程为，（α为参数），试判断直线L与圆C的位置关系并说明理由．
【解答】解：（1）由点在直线上，可得a=2
所以直线的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2
从而直线的直角坐标方程为x+y﹣2=0
（2）由已知得圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1
所以圆心为（1，0），半径r=1
以为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交．
20．（6分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，长轴端点A与短轴
端点B间的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）P为椭圆C上一动点，求△PAB的面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知e==，=，
又a2=b2+c2，解得a2=4，b2=1，
∴椭圆C的方程为：；
（Ⅱ）∵k AB==﹣，直线AB方程为：y=﹣x+1，
∴可设与AB平行的直线l为：y=﹣x+b，
联立，消去y整理得：x2﹣2bx+2b2﹣2=0，
令△=（﹣2b）2﹣4（2b2﹣2）=0，解得：b=±，
显然当b=﹣时，直线l与椭圆的交点P与A、B组成的三角形的面积最大，
由已知|AB|=，
△PAB中AB边上的高d==，
∴S
=|AB|•d=••=．
△PAB
21．（10分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx，且f′（﹣1）=0．
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）令a=﹣1，设函数f（x）在x1、x2（x1＜x2）处取得极值，记点M（x1，f（x1）），N（x2，f（x2））．证明：线段MN与曲线f（x）存在异于M，N的公共点．【解答】解：解法一：（1）依题意，得
f′（x）=x2+2ax+b．
由f′（﹣1）=1﹣2a+b=0得b=2a﹣1．
（2）由（1）得f（x）=x3+ax2+（2a﹣1）x，故f′（x）=x2+2ax+2a﹣1=（x+1）（x+2a﹣1）．
令f′（x）=0，则x=﹣1或x=1﹣2a．
①当a＞1时，1﹣2a＜﹣1．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：
由此得，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a，﹣1）．
②当a=1时，1﹣2a=﹣1．此时，f′（x）≥0恒成立，且仅在x=﹣1处f′（x）=0，
故函数f（x）的单调增区间为R．
③当a＜1时，1﹣2a＞﹣1，同理可得函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）
和（1﹣2a，+∞），单调减区间为（﹣1，1﹣2a）．
综上所述：当a＞1时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a，﹣1）；
当a=1时，函数f（x）的单调增区间为R；
当a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1﹣2a，+∞），单调减区间为（﹣1，1﹣2a）．
（3）当a=﹣1时，得f（x）=x3﹣x2﹣3x．
由f′（x）=x2﹣2x﹣3=0，得x1=﹣1，x2=3．
由（2）得f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3），
所以函数f（x）在x1=﹣1，x2=3处取得极值．故M（﹣1，），N（3，﹣9）．所以直线MN的方程为y=﹣x﹣1．
由得x3﹣3x2﹣x+3=0．
令F（x）=x3﹣3x2﹣x+3．
易得F（0）=3＞0，F（2）=﹣3＜0，而F（x）的图象在（0，2）内是一条连续不断的曲线，
故F（x）在（0，2）内存在零点x0，这表明线段MN与曲线f（x）有异于M，N 的公共点．
解法二：（1）同解法一．
（2）同解法一．
（3）当a=﹣1时，得f（x）=x3﹣x2﹣3x．
由f′（x）=x2﹣2x﹣3=0，得x1=﹣1，x2=3．
由（2）得f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（3，+∞），单调减区间为（﹣1，3），所以函数f（x）在x 1=﹣1，x2=3处取得极值，
故M（﹣1，），N（3，﹣9）．
所以直线MN的方程为y=﹣x﹣1．
由x3﹣3x2﹣x+3=0．
解得x1=﹣1，x2=1，x3=3．
∴，，
所以线段MN 与曲线F （x ）有异于M ，N 的公共点（1，﹣
）．
赠送—高中数学知识点
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则
[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()
y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)a
f x x a x
=+
>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在
[,0)a -、]a 上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数
M 满足：
（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； y
x
o
（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作
max ()f x M =．
②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．
③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。