考研数学三(微积分)模拟试卷51(题后含答案及解析)

考研数学三（微积分）模拟试卷51(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．函数f(x)一ln|x一1|的导数是( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：应当把绝对值函数写成分段函数，即得(B)．知识模块：微积分
2．函数y=xx在区间上( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：D
解析：y’=xx(ln x+1)，令y’=0，得x=，y’＞0，函数单调增加，故选(D)．知识模块：微积分
3．设函数f(x)在x=0处连续，且=1，则( )
A．f(0)=0且f’-(0)存在
B．f(0)=1且f’-(0)存在
C．f(0)=0且f’+(0)存在
D．f(0)=1且f’+(0)存在
正确答案：C
解析：因为f(x)在x=0处连续，知识模块：微积分
4．设函数f(x)与g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：(1)若f(x)＞g(x)，则f’(x)＞g’(x)；(2)若f’(x)＞g’(x)，则f(x)＞g(x)．则( )
A．(1)，(2)都正确
B．(1)，(2)都不正确
C．(1)正确，但(2)不正确
D．(2)正确，但(1)不正确
正确答案：B
解析：考虑f(x)=e-x与g(x)=e-x，显然f(x)＞g(x)，但f’(x)=-e-x，g’(x) =e-x，f’(x)＜g’(x)，(1)不正确。

将f(x)与g(x)交换可说明(2)不正确．知识模块：微积分
5．设其中f(x)在x=0处可导，f’(0)≠0，f(0)=0，则x=0是F(x)的( ) A．连续点
B．第一类间断点
C．第二类间断点
D．连续点或间断点不能由此确定
正确答案：B
解析：知识模块：微积分
6．设f(x)有连续的导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=[(x2一t2)f(t)dt，且当x →0时，F’(x)与xk是同阶无穷小，则k等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
正确答案：C
解析：用洛必达法则，所以k=3，选(C)。

其中洛必达法则的使用逻辑是“右推左”，即右边存在(或为无穷大)，则左边存在(或为无穷大)，本题逻辑上好像是在“左推右”，事实上不是，因为存在，即最右边的结果存在，所以洛必达法则成立．知识模块：微积分
7．曲线的渐近线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
正确答案：B
解析：曲线y=f(x)无斜渐近线．知识模块：微积分
8．在区间[0，8]内，对函数f(x)=，罗尔定理( )
A．不成立
B．成立，并且f’(2)=0
C．成立，并且f’(4)=0
D．成立，并且f’(8)=0
正确答案：C
解析：因为f(x)在[0，8]上连续，在(0，8)内可导，且f(x)=f(8)，故f(x)在[0，8]上满足罗尔定理条件．得f’(4)=0，即定理中ξ可以取为4．知识模块：微积分
填空题
9．设曲线y=ax3+bx2+cx+d经过(一2，44)，x=-2为驻点，(1，一10)为拐点，则a，b，c，d分别为________．
正确答案：1，一3，一24，16
解析：解方程可得a=1，b=-，C=一24，d=16．知识模块：微积分
10．p(x)为二次三项式，要使得ex=p(x)+o(x2)(x→0)，则p(x)=________．
正确答案：
解析：设p(x)=ax2+bx+c，由题意知，当x→0时，ex一p(x)=0(x2)，于是p(x)=+x+1．知识模块：微积分
11．设函数y=y(x)由方程ex+y+cos xy=0确定，则= ________ ．
正确答案：
解析：方程两边同时对x求导，可得知识模块：微积分
12．y=sin4x+cos4x，则y(n)= ________ (n≥1)．
正确答案：
解析：知识模块：微积分
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

13．求函数的导数．
正确答案：涉及知识点：微积分
14．设曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(xn，0)，计算
正确答案：由导数几何意义，曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线斜率k=f’(1)=nxn-1|x=1=n，所以切线方程为y=1+n(x一1)，令y=1+n(x一1)=0解得xn=1-，因此涉及知识点：微积分
15．讨论方程axex+b=0(a＞0)实根的情况．
正确答案：令f(x)=axex+b，因为=+∞，求函数f(x)=axex+b的极值，并讨论极值的符号及参数b的值．f’(x)=aex+axex=aex(1+x)，驻点为x=-1，f(x)=2aex+axex=aex(2+x)，f”(一1)＞0，所以，x=-1是函数的极小值点，极小值为(1)当(＞0)时，函数f(x)无零点，即方程无实根；(2)当(＞0)时，函数f(x)有一个零点，即方程有一个实根；(3)当0＜b＜时，函数f(x)有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根；(4)当b≤0时，函数f(x)有一个零点，即方程有一个实根．涉及知识点：微积分
16．设0＜k＜1，f(x)=kx—arctan x．证明：f(x)在(0，+∞)中有唯一的零点，即存在唯一的x0∈(0，+∞)，使f(x1)=0．
正确答案：涉及知识点：微积分
17．已知
正确答案：涉及知识点：微积分
18．设y=(a＞0，b＞0)，求y’．
正确答案：两边取对数涉及知识点：微积分
19．设y=exsinx，求y(n)．
正确答案：y’=exsin x+cos x.ex=归纳可得：y(n)= 涉及知识点：微积分
20．防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图1．2—1)，截面的面积为5平方米，问底宽x为多少时才能使建造时所用的材料最省?
正确答案：设截面周长为S，矩形高为y，则故唯一极值可疑点为由问题的实际意义知，截面周长必有最小值，并且就在此驻点处取得，因此当底宽为2．367米时，截面的周长最小，因而所用材料最省．涉及知识点：微积分
21．设f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有f(x)+f’(x)的零点．
正确答案：构造辅助函数F(x)=f(x)ex，由于f(x)可导，故F(x)可导，设x1和x2为f(x)的两个零点，且x1＜x2，则F(x)在[x1，x2]上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(x1，x2)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)eξ+f(ξ)eξ=eξ[f’(ξ)+f(ξ)]=0．由于eξ≠0，因此必有f’(ξ)+f(ξ)=0．解析：f(x)的两个零点x1，x2(不妨设x1＜x2)之间有f(x)+f’(x)的零点问题，相当于在(x1，x2)内有f(x)+f’(x)=0的点存在的问题．若能构造一个函数F(x)，使F’(x)=[f(x)+ f’(x)]φ(x)，而φ(x)≠0，则问题可以得到解决．由(ex)’=ex可以得到启发，令F(x)=f(x)ex．知识模块：微积分
22．设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导且f(A)≠f(b)．证明：存在η，ξ∈(a，b)，使得
正确答案：由拉格朗日中值定理知f(b)一f(A)=f’(η)(b一a)，又由柯西中值定理知涉及知识点：微积分
设f(x)为[a，b]上的函数且满足，x1，x2∈[a，b]，则称f(x)为[a，b]上的凹函数，证明：
23．若f(x)在[a，b]上二阶可微，且f”(x)＞0，则f(x)为[a，b]上的凹函数；
正确答案：由于x，x0∈[a，b]，有f(x)=f(x0)+f’(x0)(x—x0)+(ξ(x))(x—x0)2＞f(x0)+f’(x0)(x一x0)，在上式中分别取x=x1，x=x2，x0=，得到上述两式相加即得证．涉及知识点：微积分
24．若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立：①∈[0，1]，f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，x1，x2∈[a，b]；④f(x)为(a，b)上的连续函数．
正确答案：先证(i)．由(1)有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x—x0)，分别取x—x1，x=x2，x0一λx1+(1一λ)x2，得到f(x1)≥f(x0)+(1一λ)f’(x0)(x1一x2)，①f(x2)≥f(x0)+λf’(x0)(x2一x1)．②λ×①+(1一λ)×②得λf(x1)+(1—λ)f(x2)≥f(x0)一f(λx1+(1一λ)x2)．得证．(i)可写成由归纳法即可得证(iii)，这里略去．(iii)中令λi=，i=1，…，n，即得证(ii)．再证(iv)．∈[a，b]，设G为|f(x)|的上界，取绝对值充分小的δ，m＜n，使得x1=x2=…=xm=x+nδ，xm+1=…=xn=x．由(ii)知令δ→0，则n→∞，故有f(x+δ)一f(x)→0，从而证明了f(x)的连续性．涉及知识点：微积分
25．求函数f(x)一nx(1一x)n在[0，1]上的最大值M(n)及limM(n)．
正确答案：容易求得f’(x)=n[1一(n+1)x](1一x)n-1，f”(x)=n2[(n+1)x一2](1一x)n-2．涉及知识点：微积分
26．设=1，且f”(x)＞0．证明：f(x)＞x．
正确答案：得f(0)=0，f’(0)=1．因f(x)二阶可导，故f(x)在x=0处的一阶泰勒公式成立，因f“(x)＞0，故f(x)＞x，原命题得证．涉及知识点：微积分
27．设f(x)在(a，b)内可导，满足(1)(2)f’(x)+f2(x)+1≥0，∈(a，b)．求证：b—a≥π．
正确答案：＜x2∈(a，b)，对函数arctanf(x)在[x1，x2]上用拉格朗日中值定理，便知∈(x1，x2)，使得涉及知识点：微积分
28．利用导数证明：当x＞1时，
正确答案：设f(x)=(1+x)ln(1+x)一xln x，有f(1)=2ln 2＞0．由＞0(x＞0)知，f(x)单调递增，且当x＞1时，f(x)＞f(1)=2ln 2＞0，ln x＞0，从而得，其中x ＞1．涉及知识点：微积分
设x∈(0，1)，证明下面不等式：
29．(1+x)ln2(1+x)＜x2；
正确答案：令φ(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，有φ(0)=0，且φ’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，φ’(0)=0．当x∈(0，1)时，知φ’(x)单调递增，从而φ’(x)＞φ’(0)=0，知φ(x)单调递增，则φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)＜x2．涉及知识点：微积分
30．
正确答案：令由(1)得，当x∈(0，1)时f’(x)＜0，知f(x)单调递减，从而f(x)＞f(1)=又因为当x∈(0，1)时，f’(x)＜0，知f(x)单调递减，且f(x)＜f(0+)=所以涉及知识点：微积分
31．求使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数α和最小的数β．
正确答案：已知不等式等价于令g(x)=(1+x)ln2(1+x)一x2，x∈[0，1]，则g(0)=0，且g’(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)一2x，g’(0)=0，故g’(x)在[0，1]上严格单调递减，所以g’(x)＜g’(0)=0．同理，g(x)在[0，1]上也严格单调递减，故g(x)＜g(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)一x2＜0，从而f’(x)＜0(0＜x≤1)，因此f(x)在(0，1]上也严格单调递减．令x=，α≤f(x)≤β，有故使不等式对所有的自然数n都成立的最大的数涉及知识点：微积分
32．证明：当0＜a＜b＜π时，bsin b+2cos b+nb＞asin a+2cos a+πa．
正确答案：令F(x)=xsin z+2cos x+πx，只需证明F(x)在(0，π)上单调递增．F’(x)=sin x+xcos x一2sin x+π=π+xcosx—sin x，由此式很难确定F’(x)在(0，π)上的符号，为此有F”(x)=-xsin x＜0，x∈(0，π)，即函数F’(x)在(0，π)上单调递减，又F’(π)=0，所以F(x)＞0，x∈(0，π)，于是F(6)＞F(a)，即bsin b+2cos b+πb＞asin a+2cos a+πa．涉及知识点：微积分
33．某集邮爱好者有一个珍品邮票，如果现在(t=0)就出售，总收入为R0元，如果收藏起来待来日出售，t年末总收入为R(t)=R0eξ(t)，其中ξ(t)为随机
变量，服从正态分布，假定银行年利率为r，并且以连续复利计息，试求收藏多少年后，再出售可使得总收入的期望现值最大，并求r=0．06时，t的值．
正确答案：由连续复利公式，t年末售出总收入R的现值为：A(t)=R.e-rt．于是A(t)=R0 eξ(t)e-rt=R0eξ(t)-rt，涉及知识点：微积分。