四种条件的判断与应用

由于互为 逆 否 命 题 是 相 互 等 价 的,当 我
们对原命 题 判 断 较 为 困 难 时,可 将 其 转 化 为
逆否命题来判断。
例3
已 知 p:|3
x - 4| > 2;
q:
11
知识篇 知识结构与拓展
高二使用 2019 年 10 月
1
问:
>0,
p 是 q 的什么条件?
2
x -x-2
解 析:
关系列出关于参数的不等式(
或不等式组)
求解。
(
要 注 意 区 间 端 点 值 的 检 验。 尤 其 是
2)
利用两个集合之间的关系 求 解 参 数 的 取 值 范
2
,
解析:
命 题 “∀x ∈ [
1,
3]
x -a≤0”⇔
2
“
,
,
∀x∈ [
1,
3]
x ≤a”
9≤a。 则 a≥1
0是命
,
题“
∀x∈ [
1,
3]
知识篇 知识结构与拓展
高二使用 2019 年 10 月
四种条件的判断与应用
■ 河南省平顶山一高
一、利用定义判断
例1
)
。
1
1
< ”是
2
2
必要而不充分条件
B.
y≥x-1,

(
实 数 x,
y-1)≤2,
q:
y 满 足
y≥1-x,则

y≤1,
)
。
必要不充分条件
A.
既不充分也不必要条件
D.
1
1
解析:
由 x得 0<x<1,
当 m >0 时,
A
= x
3-m
3+m
,要 使 p 是 q 的 充
<x<
2
2



3-m >0,
题,
常转化为其逆否命题来判断真假。
练习 3:
说
x ≠3 且 y ≠2,
x+y ≠5,
p:
q:
明 p 是q 的什么条件。
解析:
原 命 题 等 价 于 判 断 q:
x +y =5
分不必要条件,
则 A ⫋B ,
则0
< ,
2
2
1
1
3
。
< ”
⇒“
x <1”
2
2
由 x3 <1,得 x <1,但 当 x ≤0 时,
1
1
1
1
3
/
。
即“
≥ ,
x <1”
⇒ “x< ”
2
2
2
2
1
1
3
”是 “
所以“x<
x <1”的 充 分
2
2
不必要条件,
选 A。
、
“
点 评:
直接判断“
若 p,
则q”
若q,
则 p”
的真假时,
要确定条件是什么、
时,
-x)
+f(
x)=0。 又 f(-x)+f(
x)
f(
=s
i
n(
-x)
+
图1
1
1
+a+s
i
nx- +a=2
a,故
x
x
a=0。 所 以 “
a=0”是 “函 数 f(
x)=s
i
nx 1
的充要条件,
选 C。
+a 为奇函数”
x
充要条件
C.
解析:
由 y =2x +m -1=0,得 m =1-
x
。
则 m <1,
五、充分条件、必要条件的应用
例5
已 知 p:
|2
x-3|<m ,
x(
xq:
若 p 是q 的 充 分 不 必 要 条 件,则 实 数
3)
<0,
m 的取值范围是
。
解析:
设|
2
x-3
|<m 和x(
x-3)<0 的
,
解集分别为 A ,
B 。易知 B = {
x|0<x <3}
当 m ≤0 时 A =⌀ ,
符合题意;
结论是什么。
“
练习 1:
a=0”是 “函 数 f(
x)=s
i
nx -
1
的(
+a 为奇函数”
x
2
设 p:
实 数 x,
x -1)+
y 满足(
p 是q 的(
充要条件
C.
x-
例2
2
充分而不必要条件
A.
3
即“x<x <1,
二、利用集合间的关系进行判断



3
“
的(
x <1”
设 x ∈R,则 “x-
刘邓辉
)
的定 义 域 为 {
x)
x|x ≠0}
f(
既不充分也不必要条件
D.
既不充分也不必要条件
D.
原点对 称。 当 a=0 时,
x)=s
i
nx f(
-x)=s
i
n(-x )+
f(
1
,
x
1
1
= -s
i
nx+
=
x
x
1
,
故 f(
为奇函数。
-s
=-f(
x)
x)
i
nxx
反之,
当 f(
x)
=s
i
nx-
1
+a 为奇函数
x
x -a≤0”为 真 命 题 的 一 个
围时,
不等 式 是 否 能 够 取 等 号 决 定 端 点 值 的
取舍,
处理不当容易出现漏解或增解的现象。
2
练 习 5:
设 p:
实数 x 满足x2 -4
ax+3
a
2
充分不必要条件。
点评:充 分 条 件、必 要 条 件 的 探 究,关 键
是正确化简条件,
寻求问题成立的充要条件。
。
充分不必要条件
B.
充要条件
C.
既不充分也不必要条件
D.
解 析:如 图 1,作 出 p,
q表
示的区域,
其中 ☉M 及其内部 为
p 表 示 的 区 域,△ABC 及 其 内
部(
阴影部分)为 q 表 示 的 区 域,
故 p 是q 的必要不充分条件。
点评:
利用 集 合 中 的 包 含 思
想,
抓 住 “以 小 推 大 ”的 技 巧,即
即 A={
2,
m|m <1}
由于函数 y=l
o
0,
+ ∞ )上 是 减
gm x 在 (
。
函数,
故 0<m <1,
即 B= {
m|
0<m <1}
因 为 B ⊆A ,
所以“
函数y=2x +m -1 有
零点”
是“
函数 y=l
o
0,+ ∞ )上 是分条件。
三、利用互为逆否命题的等价性进行判断
由|
得 x>2 或 x<
3
x-4
|>2,
也即 p:
x>2 或 x<
2
,
3
2
1
。由 2
得
>0,
3
x -x-2
x>2 或 x < -1,即 q:
x >2 或 x < -1。 容
易判断 q 是 p 的 充 分 不 必 要 条 件,从 而 p
是 q 的充分不必要条件。
点评:
条件 和 结 论 带 有 否 定 性 词 语 的 命
应有
3+m
点评:
根据充分、
必要 条 件 求 解 参 数 范 围
的方法及注意点:
(
把充分条件、
必要 条 件 或 充 要 条 件 转
1)
四、充分条件、必要条件的探究
2
,
命题“
∀x∈ [
1,
3]
x -a≤0”为
真命题的一个充分不必要条件是(
A.
a≥9
B.
a≤9
C.
a≥1
0
)
。
D.
a≤1
0
化为集合 之 间 的 关 系,然 后 根 据 集 合 之 间 的
练习 4:
圆 x +y =1 与 直 线 y=kx-3
2
A.
k≤-2 2或 k≥2 2
)
。
解析:
由 p 得(
x -3
a)(
x -a)<0,当 a
,
设 A=(
3
a,
a)
B= (
-∞ ,
-4)∪ [-2,
解析:
若直 线 与 圆 有 公 共 点,则 圆 心 (
0,
到直线 kx-y-3=0 的 距 离 d=
小范围推 得 大 范 围,即 可 解 决 充 分 必 要 性 的
问题。
“
练 习 2:
已知 m ∈R,
函数 y=2x +m -1
有零点”
是“
函数 y=l
o
0,+ ∞ )上 是
gm x 在 (
减函数”
的(
充分不必要条件
A.
)
。
充分不必要条件
A.
必要不充分条件
B.
充要条件
C.
必要不充分条件
B.
,关 于
解析:
0)
<0 时,
3
a<x<a。