保德县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

保德县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设函数
，则“
”是“函数
在
上存在零点”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=（
）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
3． 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 已知抛物线的焦点为，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，2
4y x =F (1,0)A -P ||
||
PF PA PAF ∆的
面积为（ ）
B. C. D. 2
4
【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.5． 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若（acosB+bcosA ）=2csinC ，a+b=8，且△ABC 的
面积的最大值为4，则此时△ABC 的形状为（ ）
A ．等腰三角形
B ．正三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
6． 已知向量，，，若为实数，，则（ ）
(1,2)a = (1,0)b = (3,4)c = λ()//a b c λ+
λ=A ． B ． C ．1
D ．2
1412
7． 给出下列命题：①多面体是若干个平面多边形所围成的图形；②有一个平面是多边形，其余各
面是三角形的几何体是棱锥；③有两个面是相同边数的多边形，其余各面是梯形的多面体是棱台．其中正确命题的个数是（
）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8． 已知抛物线：的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，
C 2
8y x =F P C P 是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（ ）
Q PF
C PQ =
PF A ． B ．
C ．
D ．20x y --=20x y +-=20x y -+=20
x y ++=9． “
”是“A=30°”的（
）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也必要条件
10．在二项式（x 3﹣）n （n ∈N *）的展开式中，常数项为28，则n 的值为（ ）
A ．12
B ．8
C ．6
D ．4
11．已知为的三个角所对的边，若，则,,a b c ABC ∆,,A B C 3cos (13cos )b C c B =-sin :sin C A =（
）
A ．2︰3
B ．4︰3
C ．3︰1
D ．3︰2
【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．
12．记
,那么
A
B C D
二、填空题
13．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】若函数在其定义域上恰有两
()2,0,
{,0x x x f x x lnx x a
+≤=->个零点，则正实数的值为______．
a 14．在平面直角坐标系中，，，记，其中为坐标原点，
(1,1)=-a (1,2)=b {}
(,)|M OM λμλμΩ==+
a b O 给出结论如下：
①若，则；
(1,4)(,)λμ-∈Ω1λμ==
②对平面任意一点，都存在使得；M ,λμ(,)M λμ∈Ω③若，则表示一条直线；1λ=(,)λμΩ④；
{}(1,)(,2)(1,5)μλΩΩ= ⑤若，，且，则表示的一条线段且长度为
0λ≥0μ≥2λμ+=(,)λμΩ其中所有正确结论的序号是
．
15．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元.16．已知，，则的值为
．
1
sin cos 3αα+=
(0,)απ∈sin cos 7sin 12
ααπ-17．调查某公司的四名推销员，其工作年限与年推销金额如表
推销员编号12
34
工作年限x/（年）
3
51014年推销金额y/（万元）237
12
由表中数据算出线性回归方程为
=
x+
．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年
推销金额为 万元．
18．甲、乙两个箱子里各装有2个红球和1个白球，现从两个箱子中随机各取一个球，则至少有一个红球的概率为
．
三、解答题
19．证明：f （x ）是周期为4的周期函数；（2）若f （x ）=
（0＜x ≤1），求x ∈[﹣5，﹣4]时，函数f （x ）的解析式．
18．已知函数f （x ）=
是奇函数．
20．设定义在（0，+∞）上的函数f （x ）=，g （x ）=，其中n ∈N *
（Ⅰ）求函数f （x ）的最大值及函数g （x ）的单调区间；
（Ⅱ）若存在直线l ：y=c （c ∈R ），使得曲线y=f （x ）与曲线y=g （x ）分别位于直线l 的两侧，求n 的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609）
21．（本小题满分10分）选修：几何证明选讲
41- 如图所示，已知与⊙相切，为切点，过点的割线交圆于两点，弦，相PA O A P C B ,AP CD //BC AD , 交于点，为上一点，且．E F CE EC EF DE ⋅=2（Ⅰ）求证：；
P EDF ∠=∠（Ⅱ）若，求的长．
2,3,2:3:===EF DE BE CE PA
22．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 4=7，S 4=16．（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n =
，求数列{b n }的前n 项和T n ．
23．已知函数f （x ）=4x ﹣a •2x+1+a+1，a ∈R ．（1）当a=1时，解方程f （x ）﹣1=0；
（2）当0＜x ＜1时，f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围；（3）若函数f （x ）有零点，求实数a 的取值范围．　
24．（本题12分）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，且2sin a B =．111]
（1）求角A 的大小；
（2）若6a =，8b c +=，求ABC ∆的面积．
保德县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】【知识点】零点与方程
【试题解析】因为
所以若，则函数在上存在零点；
反过来，若函数在上存在零点，则
则故不一定。

故答案为：A
2．【答案】A
【解析】解：∵sinC=2sinB，∴c=2b，
∵a2﹣b2=bc，∴cosA===
∵A是三角形的内角
∴A=30°
故选A．
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．
3．【答案】A
【解析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段，
上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP是虚线，左视图为：
故选A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．
4．【答案】B
【解析】设，则
又设，则，，所以2
(,)4
y P y 2
||||
PF PA
=2
14
y t +=244y t =-1t …，当且仅当，即时，等号成立，此时点，
||||PF PA ==2t =2y =±(1,2)P ±的面积为，故选B.
PAF
∆11
||||22222
AF y ⋅=⨯⨯=5． 【答案】A 【解析】解：∵（acosB+bcosA ）=2csinC
，
∴（sinAcosB+sinBcosA ）
=2sin 2C ，∴
sinC=2sin 2C ，且sinC ＞0，
∴sinC=
，
∵a+b=8，可得：8≥2
，解得：ab ≤16，（当且仅当a=b=4成立）
∵△ABC 的面积的最大值S △ABC =absinC ≤=4
，
∴a=b=4，
则此时△ABC 的形状为等腰三角形．故选：A ．
6． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为，，所以，又因为，所以
(1,2)a = (1,0)b = ()()1,2a b λλ+=+ ()//a b c λ+
，故选B. ()1
4160,2
λλ+-==
考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质.
7． 【答案】B 【解析】111]
试题分析：由题意得，根据几何体的性质和结构特征可知，多面体是若干个平面多边形所围成的图形是正确的，故选B ．
考点：几何体的结构特征．8． 【答案】B 【
解
析
】
考点：抛物线的定义及性质．
【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点．
9．【答案】B
【解析】解：“A=30°”⇒“”，反之不成立．
故选B
【点评】本题考查充要条件的判断和三角函数求值问题，属基本题．
10．【答案】B
【解析】解：展开式通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x3n﹣4r，
则∵二项式（x3﹣）n（n∈N*）的展开式中，常数项为28，
∴，
∴n=8，r=6．
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．　
11．【答案】C
【解析】由已知等式，得，由正弦定理，得，则
3cos 3cos c b C c B =+sin 3(sin cos sin cos )C B C C B =+，所以，故选C ．
sin 3sin()3sin C B C A =+=sin :sin 3:1C A =12．【答案】B
【解析】【解析1】
,
所以
【解析2】
，
二、填空题
13．【答案】e
【解析】考查函数，其余条件均不变，则：
()()
20{x x x f x ax lnx
+≤=-当x ⩽0时,f （x ）=x +2x ，单调递增，f （−1）=−1+2−1<0,f （0）=1>0，
由零点存在定理,可得f （x ）在（−1,0）有且只有一个零点；则由题意可得x >0时,f （x ）=ax −lnx 有且只有一个零点，
即有有且只有一个实根。

ln x
a x =
令，()()2
ln 1ln ,'x x
g x g x x x -==
当x >e 时,g ′（x ）<0,g （x ）递减;当0<x <e 时,g ′（x ）>0,g （x ）递增。

即有x =e 处取得极大值,也为最大值,且为
，1
e
如图g （x ）的图象,当直线y =a （a >0）与g （x ）的图象
只有一个交点时,则.1a e
=
回归原问题，则原问题中.
a e =
点睛： （1）求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f （f （a ））的形式时，应从内到外依次求值．
（2）当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．14．【答案】②③④
【解析】解析：本题考查平面向量基本定理、坐标运算以及综合应用知识解决问题的能力．由得，∴，①错误；
(1,4)λμ+=-a b 124λμλμ-+=-⎧⎨
+=⎩2
1
λμ=⎧⎨=⎩与不共线，由平面向量基本定理可得，②正确；
a b 记，由得，∴点在过点与平行的直线上，③正确；
OA = a OM μ=+ a b AM μ=
b M A b 由得，，∵与不共线，∴，∴，∴④
2μλ+=+a b a b (1)(2)λμ-+-=0a b a b 1
2λμ=⎧⎨=⎩
2(1,5)μλ+=+=a b a b 正确；
设，则有，∴，∴且，∴表示的一
(,)M x y 2x y λμλμ=-+⎧⎨=+⎩2133
1133x y x y λμ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
200x y x y -≤⎧⎨+≥⎩260x y -+=(,)λμΩ条线段且线段的两个端点分别为、，其长度为，∴⑤错误．
(2,4)(2,2)
-15．【答案】2300【解析】111]
试题分析：根据题意设租赁甲设备，乙设备，则⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥+≥+≥≥140
20y 10x 506y 5x 0y 0x ，求目标函数300y 200x Z +=的
最小值.作出可行域如图所示，从图中可以看出，直线在可行域上移动时，当直线的截距最小时，取最小值
2300.
1111]
考点：简单线性规划.
【方法点晴】本题是一道关于求实际问题中的最值的题目，可以采用线性规划的知识进行求解；细查题意，设甲种设备需要生产天，乙种设备需要生产y 天，该公司所需租赁费为Z 元，则y x Z 300200+=，接下来列出满足条件的约束条件，结合目标函数，然后利用线性规划的应用，求出最优解，即可得出租赁费的最小值.16．
【解析】
,
7sin
sin sin cos cos sin 12434343πππππππ⎛⎫
=+=+ ⎪⎝⎭
=,
sin cos 7sin 12
ααπ-∴==
考点：1、同角三角函数之间的关系；2、两角和的正弦公式.17．【答案】 ．
【解析】解：由条件可知=（3+5+10+14）=8， =（2+3+7+12）=6，
代入回归方程，可得a=﹣，所以
=
x ﹣
，
当x=8时，y=
，
估计他的年推销金额为万元．故答案为：
．
【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．　
18．【答案】9
8【
解析】
【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较
复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，可以看成是有序的，如与不同；有),(y x ()1,2()2,1时也可以看成是无序的，如相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比)1,2)(2,1(较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用求解较好．
)(1)(A P A P -=三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：由函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，有f （x+1）=f （1﹣x ），即有f （﹣x ）=f （x+2）．
又函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，有f （﹣x ）=﹣f （x ）．故f （x+2）=﹣f （x ）．从而f （x+4）=﹣f （x+2）=f （x ）．即f （x ）是周期为4的周期函数．
（2）解：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，有f（0）=0．x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，
．故x∈[﹣1，0]时，．x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，
．
从而，x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式为．
【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数解析式的求解常用的方法，本题解题的关键是根据函数是一个奇函数对函数式进行整理，本题是一个中档题目．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，
，
令f′（x）=0，解得．
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示：
x
f′（x）+0﹣
f（x）↗↘
所以函数f（x）在区间上为单调递增，区间上为单调递减．
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（）==．
g′（x）=，令g′（x）=0，解得x=n．
当x变化时，g′（x）与g（x）的变化如下表所示：
x（0，n）n（n，+∞）
g′（x）﹣0+
g（x）↘↗
所以g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为g（n）=，
∵存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，
∴≥，
即e n+1≥n n﹣1，即n+1≥（n﹣1）lnn，
当n=1时，成立，
当n≥2时，≥lnn，即≥0，
设h（n）=，n≥2，
则h（n）是减函数，∴继续验证，
当n=2时，3﹣ln2＞0，
当n=3时，2﹣ln3＞0，
当n=4时，，
当n=5时，﹣ln5＜﹣1.6＜0，
则n的最大值是4．
【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．
21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．
22．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依题意得…（2分）
解得：a1=1，d=2a n=2n﹣1…
（2）由①得…（7分）
∴…（11分）
∴
…（12分）
【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题．　
23．【答案】
【解析】解：（1）a=1时，f （x ）=4x ﹣22x +2，f （x ）﹣1=（2x ）2﹣2•（2x ）+1=（2x ﹣1）2=0，∴2x =1，解得：x=0；
（2）4x ﹣a •（2x+1﹣1）+1＞0在（0，1）恒成立，a •（2•2x ﹣1）＜4x +1，∵2x+1＞1，∴a ＞
，
令2x =t ∈（1，2），g （t ）=，
则g ′（t ）=
=
=0，
t=t 0，∴g （t ）在（1，t 0）递减，在（t 0，2）递增，而g （1）=2，g （2）=，
∴a ≥2；
（3）若函数f （x ）有零点，则a=
有交点，
由（2）令g （t ）=0，解得：t=，
故a ≥
．
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，是一道中档题．24．【答案】（1）3
π
=A ；（2）3
3
7=
∆ABC S .【解析】
试题分析：（1）利用正弦定理A
a
B b sin sin =
及b B a 3sin 2=，便可求出A sin ，得到A 的大小；（2）利用（1）中所求A 的大小，结合余弦定理求出bc 的值，最后再用三角形面积公式求出1
sin 2
ABC S bc A ∆=值.
试题解析：（1）由b B a 3sin 2=及正弦定理A
a
B b sin sin =
，得23sin =A .…………分因为A 为锐角，所以3
π
=
A .………………分
（2）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得362
2=-+bc c b ，………………分
又8=+c b ，所以3
28
=bc ，………………分
所以3
3
72332821sin 21=⨯⨯==∆A bc S ABC .………………12分
考点：正余弦定理的综合应用及面积公式.。