高三数学北师大通用,理总复习专题检测 专题六 高考中的概率与统计问题

专题六 高考中的概率与统计问题
1． (2013·安徽)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男
生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 ( )
A ．这种抽样方法是一种分层抽样
B ．这种抽样方法是一种系统抽样
C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 答案 C 解析 x 男＝
1
5
(86＋94＋88＋92＋90)＝90， x
女＝
1
5
(88＋93＋93＋88＋93)＝91， s 2男＝15[(86－90)2＋(94－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2＋(90－90)2
]＝8， s 2女＝15[(88－91)2＋(93－91)2＋(93－91)2＋(88－91)2＋(93－91)2]＝6. 2． 已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于
( )
A ．0.6
B ．0.4
C ．0.3
D ．0.2
答案 C
解析 ∵P (ξ<4)＝0.8， ∴P (ξ>4)＝0.2，
由题意知图像的对称轴为直线x ＝2， P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，
∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝1
2
P (0<ξ<4)＝0.3.
3． (2012·上海)设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1、x 2、x 3、x 4、x 5的概率
均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22、x 2＋x 32、x 3＋x 42、x 4＋x 52、x 5＋x 1
2的概率也均为0.2.若记
Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则
( )
A ．Dξ1>Dξ2
B ．Dξ1＝Dξ2
C ．Dξ1<Dξ2
D ．Dξ1与Dξ2的大小关系与x 1、x 2、x 3、x 4的取值有关 答案 A
解析 Eξ1＝0.2x 1＋0.2x 2＋0.2x 3＋0.2x 4＋0.2x 5 ＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)．
Eξ2＝0.2×x 1＋x 22＋0.2×x 2＋x 32＋…＋0.2×x 5＋x 1
2
＝0.2(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)． ∴Eξ1＝Eξ2，记作x ，
∴Dξ1＝0.2[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x 5－x )2]
＝0.2[x 21＋x 22＋…＋x 25＋5x 2
－2(x 1＋x 2＋…＋x 5)x ] ＝0.2(x 21＋x 22＋…＋x 25－5x 2)．
同理Dξ2＝ 0．2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝
⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋x 122－5x 2.
∵⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222<x 21＋x 222，…，⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 5＋x 122<x 2
5＋x 2
12. ∴⎝
⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 5＋x 122<x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 2
5. ∴Dξ1>Dξ2.
4． (2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相
互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14
B.12
C.34
D.78
答案 C
解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻
为x 、y ，x 、y 相互独立，由题意可知⎩⎨⎧
0≤x ≤4
0≤y ≤4
|x －y |≤2
，如图所示．∴两
串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P (|x －y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC
S 正方形
＝
4×4－2×1
2×2×2
4×4
＝1216＝3
4. 5． (2012·重庆)某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门
艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)． 答案 3
5
解析 6节课随机安排，共有A 66＝720(种)方法．
课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课，分三类： 第1类：文化课之间没有艺术课，有A 33·A 44＝6×24＝144(种)．
第2类：文化课之间有1节艺术课，有A 33·C 13·A 12·A 33＝6×3×2×6＝216(种)． 第3类：文化课之间有2节艺术课，有A 33·A 23·A 22＝6×6×2＝72(种)． 共有144＋216＋72＝432(种)． 由古典概型概率公式得P ＝432720＝35
.
题型一 求事件的概率
例1 某项专业技术认证考试按科目A 和科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为2
3，科目B
每次考试成绩合格的概率均为1
2，假设各次考试成绩合格与否互不影响．
(1)求他不需要补考就可获得证书的概率．
(2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他分别参加2次、3次、4次考试的概率．
思维启迪 准确地分析事件类型，正确地运用概率公式，是解决这类问题的关键． 解 设“科目A 第一次考试合格”为事件A 1，“科目A 补考合格”为事件A 2，“科目B 第一次考试合格”为事件B 1，“科目B 补考合格”为事件B 2，则A 1，A 2，B 1，B 2相互独立．
(1)设“不需要补考就可获得证书”为事件M ， 则P (M )＝P (A 1B 1)＝P (A 1)P (B 1)＝23×12＝13.
(2)设“参加考试次数为2次、3次、4次” 分别为事件E ，C ，D .则P (E )＝P (A 1B 1＋A 1 A 2) ＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (A 2)＝23×12＋13×13＝4
9，
P (C )＝P (A 1B 1B 2＋A 1B 1 B 2＋A 1A 2B 1)
＝P (A 1)P (B 1)P (B 2)＋P (A 1)P (B 1)P (B 2)＋P (A 1)P (A 2)·P (B 1) ＝23×12×12＋23×12×12＋13×23×12＝49， P (D )＝P (A 1A 2B 1B 2＋A 1A 2B 1 B 2)
＝P (A 1)P (A 2)P (B 1)P (B 2)＋P (A 1)P (A 2)P (B 1)P (B 2) ＝13×23×12×12＋13×23×12×12＝19
. (另解：P (D )＝1－P (E ∪C )＝1－P (E )－P (C )＝1－49－49＝1
9
)．
思维升华 (1)一个复杂事件若正面情况较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．尤其是涉及到“至多”、“至少”等问题时常常用这种方法求解．
(2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件是能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．
某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一
题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手
甲答题连续两次答错的概率为1
9(已知甲回答每个问题的正确率相同，并且相互之间没有
影响)．
(1)求选手甲回答一个问题的正确率； (2)求选手甲可进入决赛的概率．
解 (1)设选手甲答对一个问题的正确率为P 1， 则(1－P 1)2＝1
9
，
故选手甲答对一个问题的正确率P 1＝2
3
.
(2)选手甲答了3道题目进入决赛的概率为(23)3＝8
27
；
选手甲答了4道题目进入决赛的概率为C 23(23)2·13·23＝8
27；选手甲答了5道题目进入决赛的概率为
C 24(23)2·(13)2·23＝1681
. ∴选手甲可以进入决赛的概率P ＝827＋827＋1681＝64
81.
题型二 求离散型随机变量的均值与方差
例2 李先生家在H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线(如图)，路线L 1上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为1
2；路线L 2上
有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，3
5
.
(1)若走路线L 1，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走路线L 2，求遇到红灯次数X 的数学期望；
(3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李先生分析上述两条路线中，选择哪条路线上班更好些，并说明理由．
思维启迪 走L 1或L 2遇到红灯的次数都是独立重复试验问题，可结合二项分布求其概率，选何条路线是要利用均值的大小判定．注意三个转化： (1)转化为P 3(1)＋P 3(0)的值；
(2)X 可取0,1,2转化为独立事件的积事件的概率；
(3)转化为比较EX 、EY 的大小．
解 (1)设“走路线L 1最多遇到1次红灯”为事件A ， 则P (A )＝C 03×⎝⎛⎭⎫123＋C 1
3
×12×⎝⎛⎭⎫122＝12. 所以走路线L 1最多遇到1次红灯的概率为1
2.
(2)依题意，知X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－35＝110， P (X ＝1)＝3
4×⎝⎛⎭⎫1－35＋⎝⎛⎭⎫1－34×35＝920， P (X ＝2)＝34×35＝9
20.
随机变量X 的分布列为
X 0 1 2 P
110
920
920
所以EX ＝110×0＋920×1＋920×2＝27
20
.
(3)设选择路线L 1遇到红灯的次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，即Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，1
2，所以EY ＝3×12＝3
2
.
因为EX <EY ，所以选择路线L 2上班更好．
思维升华 解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率．
(2012·福建)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的
利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌
甲 乙 首次出现故障时间x (年)
0<x ≤1 1<x ≤2 x >2 0<x ≤2 x >2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元)
1
2
3
1.8
2.9
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率．
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列．
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝1
10.
(2)依题意得，X 1的分布列为
X 2的分布列为
(3)由(2)得EX 1＝1×125＋2×350＋3×9
10
＝
143
50
＝2.86(万元)， EX 2＝1.8×110＋2.9×9
10＝2.79(万元)．
因为EX 1>EX 2，所以应生产甲品牌轿车．
题型三 概率与统计的综合应用
例3 (2013·课标全国Ⅱ)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位： t,100≤X ≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
(1)将T 表示为X 的函数；
(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；
(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100,110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)．求T 的数学期望．
思维启迪 利润T 是由两部分构成的，一个是获得利润，另一个是亏损，是否亏损与x 的取值范围有关，因此，T 关于x 的函数要用分段函数表示． 解 (1)当X ∈[100,130)时，
T ＝500X －300(130－X )＝800X －39 000. 当X ∈[130,150]时，T ＝500×130＝65 000.
所以T ＝⎩⎪⎨⎪⎧
800X －39 000，100≤X <130，65 000，130≤X ≤150.
(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.
由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T 的分布列为
T 45 000 53 000 61 000 65 000 P
0.1
0.2
0.3
0.4
所以ET ＝思维升华 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮
点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个
数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．
(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望．
(注：方差s 2＝1
n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均
数)
解 (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是8,8,9,10，所以平均数 x ＝8＋8＋9＋104＝354；
方差
s 2＝14[(8－354)2＋(8－354)2＋(9－354)2＋(10－354)2]＝11
16
.
(2)当X ＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16(种)可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y ＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P (Y ＝17)＝216＝18.同理可得P (Y ＝18)＝14，P (Y ＝19)＝14，P (Y ＝20)＝14，P (Y ＝21)＝18.
所以随机变量Y 的分布列为
Y 17 18 19 20 21 P
1
8
14
14
14
18
EY ＝17×18＋18×14＋19×14＋20×14＋21×1
8
＝19.
(时间：80分钟)
1． (2013·广东)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图
所示，其中茎为十位数，叶为个位数.
(1)根据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率． 解 (1)样本平均值为
17＋19＋20＋21＋25＋306＝132
6＝22.
(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为26＝1
3，
故推断该车间12名工人中有12×1
3
＝4名优秀工人．
(3)设事件A ：“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”，则P (A )＝C 14C 18
C 2
12
＝1633
. 2． 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，
求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
解 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰
有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k 7(k ＝0,1,2,3)，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k
7
C 310
，k ＝0,1,2,3.
所以随机变量X 的分布列是
X 的数学期望EX ＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝9
10
.
(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等
品”为事件A 3，由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 2
3
C 310＝340
.P (A 2)
＝P (X ＝2)＝740.P (A 3)＝P (X ＝3)＝1
120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件
数的概率为P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31
120
.
3． 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性
抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是2
3.
(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列． 解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A ，B ，
则P (A )＝C 14C 22
C 36＝420＝15
，
P (B )＝(1－23)3＋C 23(1－23)2(23)1
＝127＋29＝727
， 则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是
1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－15×727＝128
135.
(2)由题意知ξ的可能取值是1,2.
P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝1
5，
P (ξ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36
＝4
5，
则ξ的分布列为
P
15 45
4． (单位：吨)的频率分布直方图．
(1)求直方图中x 的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看做有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望．
解 (1)依题意及频率分布直方图知1×(0.02＋0.1＋x ＋0.37＋0.39)＝1，解得x ＝0.12. (2)由题意知，X ～B (3,0.1)．
因此P (X ＝0)＝C 03×0.93＝0.729，P (X ＝1)＝C 13×0.1×0.92＝0.243，P (X ＝2)＝C 2
3
×0.12×0.9＝0.027，
P (X ＝3)＝C 33×0.13＝0.001.
故随机变量X 的分布列为
X 0 1 2 3 P
0.729
0.243
0.027
0.001
X 的数学期望为EX ＝3×0.1＝0.3.
5． 某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，
且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： (1)恰有2人申请A 片区房源的概率；
(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．
解 (1)方法一 所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有
C 24·22种，从而恰有
2人申请A 片区房源的概率为C 24·
2234＝827
.
方法二 设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验． 记“申请A 片区房源”为事件A ，则P (A )＝1
3
.
从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为
P 4(2)＝C 24
⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827
. (2)ξ的所有可能值为1,2,3. 又P (ξ＝1)＝334＝1
27
，
P (ξ＝2)＝C 23(C 12C 34＋C 24C 2
2)34＝14
27
⎝
⎛⎭⎪⎫
或P (ξ＝2)＝C 23(24－2)34＝1427，
P (ξ＝3)＝C 13C 24C 12
34＝49⎝
⎛⎭⎫或P (ξ＝3)＝C 24A 3334＝49. 综上知，ξ的分布列为
从而有Eξ＝1×127＋2×1427＋3×49＝65
27
.
6． 一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的．评
分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”．某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜．请求出该考生： (1)得60分的概率；
(2)所得分数ξ的分布列和数学期望．
解 (1)设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对为事件A ，“有一道题可以判断一个选项是错误的”选对为事件B ，“有一道题不理解题意”选对为事件C ， ∴P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝1
4，
∴得60分的概率为P ＝12×12×13×14＝1
48.
(2)ξ可能的取值为40,45,50,55,60. P (ξ＝40)＝12×12×23×34＝1
8
；
P (ξ＝45)＝C 12×12×12×23×34＋12×12×13×34＋12×12×23×14＝17
48
； P (ξ＝50)＝12×12×23×34＋C 12×12×12×13×34＋C 12×12×12×23×14＋12×12×13×14＝1748
；
P (ξ＝55)＝C 12×12×12×13×14＋12×12×23×14＋12×12×13×34＝7
48； P (ξ＝60)＝12×12×13×14＝148.
ξ的分布列为
Eξ＝40×18＋45×1748＋50×1748＋55×748＋60×148＝575
12
.。