初二【数学(北京版)】实数和二次根式复习

知识回顾
3.二次根式.
性质：
a (a≥0),
（1） ( a)2 a （a≥0).
(2)
a2
a
a (a＜0).
当a≥0时 , ( a)2 a2 .
知识回顾
3.二次根式.（运算） 加减法：先化成最简二次根式，再合并同类二次根式.
乘除法： a b ab （a≥0,b≥0）,
a a bb
（a≥0,b＞0）.
知识回顾
3.二次根式.（化简） 把乘除法法则的两个等式反过来写.
ab a b （a≥0,b≥0）,
a a bb
（a≥0,b＞0）.
例题讲解
例1 判断题：
（1） 9 的平方根是±3；
（）
（2） 4 2 ；
（）
（பைடு நூலகம்）8的立方根是2和-2；
（）
（4）3 27
，0.571
4，
0.101
001
000
知识回顾
1.平方根、算数平方根、立方根.
表示
a的取值范围
平方根
±a a≥0
算术平方根
a
a≥0
立方根
3a
a为任意实数
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1.平方根、算数平方根、立方根.
正数 零
负数
平方根
算术平方根
立方根
2个（互为相反数） 1个（正数） 1个（正数）
零
零
零
没有
没有
1个（负数）
知识回顾
2.实数.
分类
无理数的概念
2
分析：
18 3 2
1 2 22
先化简二次根式，
再合并同类二次根式．
32 4 2
例题讲解
例3 计算： （1） 18 4 1 3 32 ；
2
解： 18 4 1 3 32
2 3 2 4 2 34 2
2 3 2 2 2 12 2 13 2 .
例题讲解
例3 计算： (2) ( 3 1)( 6 2) .
2x–1≥0.
例题讲解
例2 实数x在什么范围内取值时，下列各式有意义？
（1） 2x 1 ；
解：由2x–1≥0，得
x≥ 1 .
所以当x≥ 1
2
时， 2x 1
2
有意义.
例题讲解
（2） 3 2x ． x 1
分析： 需要满足被开方数大于或等于0，也就是3–2x≥0， 分母不等于0，也就是 x–1≠0 ，两个条件同时满足 ．
35
( 3 1) 2( 3 1)
2( 3 1)( 3 1)
2 2 .
课堂小结 1.概念的学习要抓住本质，注意比较相近概念的相同点 和不同点． 2.注意公式、法则的使用条件及正用、逆用． 3.类比的学习方法．
课后练习
1.判断题：
（1） 7的算数平方根是 7 ； （ ） （2） 带根号的数都是无理数； （ ）
实数的概念
无限不循环小 数叫做无理数
有理数和无理数 统称为实数
实数与数轴
实数和数轴上的 点是一一对应的
知识回顾
2.实数. 分类
正有理数
有理数 零 负有理数
实数
正无理数 无理数
负无理数
知识回顾
2.实数. 分类
正有理数
正实数 正无理数
实数 零
负有理数 负实数
负无理数
知识回顾
例题讲解
（2） 3 2x ． x 1
解： （2）由 3 2x ≥0且 x 1 0 ，得 x≤3 且x 1 ．
2
所以当
x≤ 3
2
且
x 1 时，
3 2x x 1
有意义．
例题讲解
例3 计算：
（1） 18 4 1 3 32 ；
2
（2）( 3 1)( 6 2) .
例题讲解
例3 计算： （1） 18 4 1 3 32 ；
4 ， 9 ，3 27 是有理数；
-0.101 001 000 1… ， π 是无理数． 3
例题讲解
例2 实数x在什么范围内取值时，下列各式有意义？
（1） 2x 1 ；
（2） 3 2x .
x 1
例题讲解
例2 实数x在什么范围内取值时，下列各式有意义？
（1） 2x 1 ； 分析：被开方数大于或等于零.
1…，π
3
都是无理数；（
）
（5）数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数.
（）
例题讲解
例1 判断题：
（1） 9 的平方根是±3；
（ ）
9 3
3的平方根是 3
例题讲解
例1 判断题：
（2） 4 2 ；
（ ）
42
例题讲解
例1 判断题：
（3）8的立方根是2和-2；
8的立方根表示为 3 8
（ ）
3 8 3 23 2
实数和二次根式复习
初二年级 数学
知识结构框图
无
平方 开平方
理 数
实
平方根
算术平方根 二次根式
实
际
数
问
有
题
立方根
理
化简与运算
数 立方 开立方
知识回顾
1.平方根、算数平方根、立方根.
平方根的概念： 如果 x2=a ，那么x 叫做a 的平方根． 算术平方根： 正数a 的正的平方根，叫做a 的算数平方根． 立方根的概念： 如果 x3=a，那么x 叫做a 的立方根．
解： ( 3 1)( 6 2)
3 6 3 2 1 6 1 2 3 2 6 6 2 2 2 .
例题讲解
例3 计算： 方法二：
分析：
(2) ( 3 1)( 6 2) . 6 2
23 2
2 3 2
2( 3 1) .
例题讲解
例3 计算： (2) ( 3 1)( 6 2) .
解： ( 3 1)( 6 2)
（3） 1的平方根与立方根相等； （ ）
（4） 无限小数都是无理数； （ ）
（5）27的立方根是±3.
（）
课后练习
2.实数x在什么范围内取值时，下列各式有意义？
（1） 3x 5 ；
（2） 2x 1 ． x 1
课后练习
3.计算：
（1） 12 3 1 4 75 ； （2）( 2 1)( 6 3) ．
例题讲解
例1 判断题：
（4）3 27 ，0.571 4 ， 0.101 001 000 1… 都是无理数； （ ）
，π
3
3 27 3
例题讲解
例1 判断题：
（5）数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数. （ ）
实数和数轴上的点是一一对应的
归纳小结
学习概念时要抓住本质， 不受表面形式的干扰． 判断一个数是否是无理数，不能看这个数是否含有根号．
3.二次根式.（概念）
二次根式
最简二次根式
满足两个条件： 式子 a（a≥0） （1）被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 叫做二次根式. （2）被开方数的因数是整数，字母因式是整式 .
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3.二次根式.（概念）
二次根式
同类二次根式
几个二次根式分别化成最简二次根式以后，如果 式子 a（a≥0） 被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二 叫做二次根式 . 次根式 .