河南省南阳市第一中学2019届高三数学第十四次考试试题文(含解析)

河南省南阳市第一中学2019届高三数学第十四次考试试题文（含解
析）
一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）
1.定义集合运算：A⊙B=｛，x∈A，y∈B｝，设集合A=｛，0，1｝，B=｛｝，则集合A⊙B的所有元素之和为（）
A. 1
B. 0
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由x∈A，y∈B得到，x有3种可能性，y有2种可能性，故xy共有6种可能性，然后再将重复的排除掉一次，便可得到A⊙B中的元素，进而相加可得答案。

【详解】解因为，所以的可能取值为-1,0,1
同理，的可能取值为
所以的所有可能取值为（重复的只列举一次）：
所以所有元素之和为0，故选B
【点睛】“新定义”问题的关键是要读懂新定义，本题以集合为载体，定义了一个新的集合运算，但其本质还是考查集合中元素之间的关系及其元素的性质。

2.设，则（）
A. B. 1 C. 2 D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题设得，所以.故正确答案为A.
考点：复数运算、模.
3.若，且，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
试题分析：由
则
，所以，又
由三角函数的基本关系式
，且
，解得
，所以
，故选A.
考点：三角函数的基本关系式及余弦的倍角公式. 4.在等差数列中，若
，则
=（ ）
A. 13
B. 14
C. 15
D. 16
【答案】A 【解析】 【分析】
因为数列是是等差数列，所以可将用首项和公差表示为
，
即
，然后用首项和公差表示
，即
，进而整体
代入便可得结果。

【详解】解：因为数列是是等差数列，设首项为，公差为
所以可转化为
，即
所以
故选A
【点睛】等差数列问题常见的解法是利用等差数列的基本量来进行求解，也可以利用
等差数列的性质来进行解题，解题时应灵活运用。

5.圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
【解析】
由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，
截圆柱的平面过圆柱的轴线，
该几何体是一个半球拼接半个圆柱，
∴其表面积为：，
又∵该几何体的表面积为16+20π，
∴，解得r=2，
本题选择B选项.
点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
6.我国古代数学名著《九章算数》中的更相减损法的思路与右图相似.记为除以所得余数，执行程序框图，若输入分别为243,45，则输出的的值为（）
A. 0
B. 1
C. 9
D. 18
【答案】C
【解析】
模拟执行程序框图，可得
a=243，b=45
y=18，
不满足条件y=0，a=45，b=18，y=9
不满足条件y=0，a=18，b=9，y=0
满足条件y=0，退出循环，输出b的值为9．
故选：C．
点睛：先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
7.已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）
A. 1
B. 2
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
是平面内两个互相垂直的单位向量，故以所在直线建立直角坐标系，设，
，，由得出关于的方程为，然后三角
换元，令（为参数），代入目标，转化为三角函数问题即可解
得。

【详解】解：以所在直线建立平面直角坐标系，
设，，，
因为
所以，
即，故，
令（为参数），
所以，
因为，
所以，，故选C。

【点睛】本题考查了向量数量积的问题，向量问题常见的解法是基底法与坐标法。

本题中有两个垂直的向量，这给建系提供了必要的前提，在建系的基础上，将几何图形问题转化为代数（函数）问题求解最值，体现了数形结合的思想方法。

8.若等差数列与等比数列的首项是相等的正数,且它们的第项也相等,则有
( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为等比数列中，，所以，又，
当时，显然有；
当时，
显然有，即，综上可知，故选C.
9.如图所示，在斜三棱柱ABC­ A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在( )
A. 直线AB上
B. 直线BC上
C. 直线AC上
D. △ABC内
部
【答案】A
【解析】
如图，C1在面ABC上的射影H必在两个相互垂直平面的交线上，所以证明面ABC⊥面ABC1就可以了．
解：
?CA⊥面ABC1
?面ABC⊥面ABC1，
∴过C1作垂直于平面ABC的线在面ABC1内，也在面ABC内
∴点H在两面的交线上，即H∈AB．
故选A
10.设，满足约束条件，若目标函数（）的最大值为，则
的图象向右平移后的表达式为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：可行域为三角形ABC及其内部，其中，因此目标函数
（）过时取最大值，即，从而，向右平移后的表达式为，选C.
考点：线性规划求最值，三角函数图像变换
【名师点睛】
1.对y＝A sin(ωx＋φ)进行图象变换时应注意以下两点：
(1)平移变换时，x变为x±a(a＞0)，变换后的函数解析式为y＝A sin[ω(x±a)＋φ]；
(2)伸缩变换时，x变为(横坐标变为原来的k倍)，变换后的函数解析式为y＝A sin(x＋φ)．2.两种变换的差异
先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
11.已知，，满足，则的取值范围为（）
A. [4，12]
B. [4, ）
C. [0，6]
D. [4，6] 【答案】A
【解析】
【分析】
可转化为，然后进行三角换元为（为参数），将目标函数转化为三角函数问题求解范围。

【详解】解：可转化为
，
故可设（为参数），解得
所以，
因为，
所以，，故选A。

【点睛】本题是一个多元最值的问题，如何“减元”是解决问题的关键。

本题采用的方法是三角换元，将转化为角的三角函数，由多元转化为单元，然后再借助三角函数求解其最值。

12.已知函数有两个不同的极值点，若不等式恒成立，则实数的取值范围是( ).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本道题计算导函数，结合存在两个不同的极值点，计算a的范围，构造新函数，计算最值，得到的范围，即可。

【详解】计算导数得到，结合构造新函数得到
要使得存在两个不同的极值点，则要求有两个不同的根，且，则，解得，而
，构造新函数，计算导数得到，结合前面提到的a 的范围可知在单调递增，故，因而，表示为区间则是，故选A。

【点睛】本道题考查了导函数与原函数单调性关系，考查了利用导函数计算最值，难度偏难。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.从数字、、中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于的概率为____ 【答案】
【解析】
【分析】
从数字、、中任取两个不同的数字构成一个两位数，可用列举法列出所有可能，然后利用古典概型的公式求解。

【详解】解：从数字、、中任取两个不同的数字，
构成两位数所有的可能为12,13,21,23,31,32，
其中满足大于30的有31,32，
故这个两位数大于的概率为。

【点睛】本题考查是古典概型，当所有事件数比较少时，可采用列举的方法解题，解题的难点在于，在列举过程中要做到“不重不漏”。

14.已知，如果是钝角，则x的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
是钝角，即为的夹角为钝角，所以有且与不共线，得出关于的关系式，从而解得。

【详解】解：因为是钝角，
所以的夹角为钝角，
所以且与不共线，
即，解得
即。

【点睛】本题考查的是向量夹角与数量积的问题，当向量的夹角为钝角时，则并且与的夹角不等于180°，即且与不共线，解题时不能忽略“与不共线”这一条件。

15.已知非零向量,满足||=||=|-|则向量与+的夹角为______
【答案】
【解析】
【分析】
对||=||=|-|平方得，，
化简可得，进而得到，将数据代入到内，化简便可得到余弦值，从而得到夹角的大小。

【详解】解：对||=||=|-|进行平方，
可得，，
化简整理得，，
故，
所以
又因为
所以。

【点睛】本题考查了向量模的问题，常见解法是对向量的模进行平方，平方后就可以将模的问题转化为向量数量积的问题，从而根据向量数量积求解向量的夹角。

16.已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，点为的内心，且、、的面积分别为、、，若
，则的值为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】
先根据离心率求得a、c的关系，再根据已知条件用a、c表示出，求得结果.
【详解】据题意，因为离心率
，
设
点为的内心，设半径为r，
得
化简得，
设
故答案为：5.
【点睛】本题目考查了椭圆的离心率、定义以及性质，结合三角形类型的知识的综合问题，属于较难题.
三角形的内心：角平分线的交点；
三角形的外心：垂直平分线的交点；
三角形的重心：中线的交点.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、推理和演算步骤。

）
17.已知函数的部分图象如图所示，是图象的最高点，为图象与轴的交点，为坐标原点，若
（1）求函数的解析式，
（2）将函数的图象向右平移2个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）设点的横、纵坐标为，根据，在中，建立关于方程组解出，从而解出函数的解析式；
（2）由（1）可得函数，向右平移2个单位后得到函数，则，通过三角变换后，可得，再由定义域可解出函数的值域。

【详解】解：（1）设点的横、纵坐标为，
在中，，
所以有，解得，
所以得到
故，解得
将点代入函数
得，
因为，
所以得到，
故；
（2）函数向右平移2个单位后,
得到函数，
【点睛】本题求解三角函数的解析式，就是要确定参数三者的值，A的值由函数的最值来确定，可根据周期来确定，则是代入一个已知点来解决；求三角函数值域时，首先要将原函数利用三角变换转化为标准形式，即，然后再根据函数的定义域与三角函数的图像来进行求解。

18.如图，在四棱锥中,为上一点，面面，四边形为矩形
，,．
（1）已知,且∥面，求的值;
（2）求证：面,并求点到面的距离．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）连接交于点，连接，由直线与平面平行的性质定理可得，由平行线分线段成比例的性质可得，故．
（2）根据勾股定理可知，由平面与平面垂直的性质可得面，即，而已知，根据直线与平面垂直判定定理可得面，由可求出点
到面的距离．
（1）连接交于点，连接．
3分
,
5分
（2）6分
又面面，且面面,面
又,且,面9分
设点到面的距离为，由,
得，求得12分
考点： 1．直线与平面平行和垂直的判定及性质；2．平行线分线段成比例的性质；3．平面与平面垂直的性质．
19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量
数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中,.
（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润与、的关系为.根据（2）的结果要求：年宣传费为何值时，年利润最大？
附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
【答案】（1）（2）（3）46.24
【解析】
试题分析：由散点图的连线，类似于函数，所以选取作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型.求出d和c的值，写出关于的回归方程即可;列出年利润z的函数，利用二次函数的性质求解年利润的最大值.
试题解析：
（1）选
（2）令，
由表可知：，
所以关于的回归方程为：
（3）由（2）可知：年利润
所以当，即时，最大.
故年宣传费为46.24千元时，年利润最大.
20.已知椭圆的左右焦点分别为与，椭圆上的点到右焦点的最短距离为，为坐标平面上的一点，过点作直线和分别与椭圆交于点，和，，如图所示.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点在双曲线（顶点除外）上运动，证明为定值，并求出此定值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题可知，解方程可求c，b，进而可求椭圆方程, （2）设
直线与的斜率都存在，分别设为，求得，
，与椭圆方程联立，设，由韦达定理得，同理得
进而化简可得解.
【详解】（1）依题意有，而，故，，
从而椭圆：.
（2）设，则，因双曲线的顶点恰为椭圆的焦点，而因而直线与的斜率都存在，分别设为，则
由于，设直线的斜率为，则，代入椭圆方程并化简得
设，则
从而.
同理有，
从而有
从而为定值.
【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，韦达定理的应用，对（2）推得直线与
的斜率的乘积为
21.已知函数在处的切线斜率为.
（1）求实数的值，并讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【答案】（1）见解析；（2）见证明
【解析】
【分析】
(1)先对函数求导，由函数在处的切线斜率为即可求出的值，进而可得函数的单调性；
(2)要证，即证，构造函数，，用导数的方法求函数的最小值和函数的最大值，即可得出结论.
【详解】（1）
由切线斜率，解得．
，其定义域为，
令，解得，故在区间上单调递增；
令，解得，且，故在区间和区间上单调递减；
（2）由（1）知，定义域为．
从而等价于，
设，则，.
当时，，当时，.
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
从而在的最小值为.
设，则，
当时，，当时，
故在区间上单调递增，在区间上单调递减，
从而在的最大值为，
综上所述，在区间上恒有成立，即．
【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，需要用导数的方法研究函数的单调性，证明不等式成立的问题通常需要将不等式进行转化，构造函数，再由导数的方法研究函数的最值即
可求解，过程较繁琐，难度较大.
22.已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.
（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；
（Ⅱ）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积. 【答案】（1）：，：（2）
【解析】
【分析】
（1）利用，即可得出答案。

（2）分别计算出点M到
射线的距离和点P,Q的极坐标，结合三角形面积计算公式，即可得出答案。

【详解】（1）曲线，把公式代入可得：
曲线的极坐标方程为.
设，则，则有.
所以，曲线的极坐标方程为.
（2）到射线的距离为，
射线与曲线交点，
射线与曲线交点
∴
故
【点睛】本道题目考查了普通方程和极坐标方程的转化，以及在极坐标方程下面积的计算方法，方程转化记住，极坐标长度用纵坐标相减。

23.已知函数
（1）若的解集为，求实数，的值；
（2）当且时，解关于的不等式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【试题分析】（1）运用分类整合思想将绝对符号去掉，然后再与已知不等式进行比对求出出参数；（2）先将不等式进行等价转化，再运用分类整合思想分类探求不等式的解集：
解：(1)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a.
∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，
∴a＝2，m＝3.
(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可化为|x－2|＋t≥|x|.
当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，∵0≤t≤2，∴x∈(－∞，0)；
当x∈[0,2)时，2－x＋t≥x，x≤1＋，0≤x≤1＋，∵1≤1＋≤2，∴0≤x≤1＋；
当x∈[2，＋∞)时，x－2＋t≥x，t≥2，当0≤t＜2时，无解，当t＝2时，x∈[2，＋∞)．
∴当0≤t＜2时原不等式的解集为；
当t＝2时原不等式的解集为[2，＋∞)．。