近年届高考数学大一轮复习第十四章系列4选讲14.2不等式选讲学案理北师大版(2021年整理)

2019届高考数学大一轮复习第十四章系列4选讲14.2 不等式选讲学案理北师大版
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§14。

2 不等式选讲
最新考纲
考情考向分析
1。

理解绝对值不等式的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取
等号的条件：|a＋b|≤|a｜＋|b｜(a,b∈R）;｜a－c｜≤｜a－b｜＋｜b －c｜（a，b∈R)．
2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|ax＋b｜≤c；|ax＋b｜≥c；|x－a|＋|x－b|≥c。

3。

通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法.本节题目常见的是解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查，难度为中、低档.
1．绝对值不等式的解法
(1）含绝对值的不等式｜x |<a 与|x ｜〉a 的解集
(2）｜ax ＋b ｜≤c (c 〉0)和｜ax ＋b |≥c (c >0）型不等式的解法 ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；
②｜ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c 。

(3)|x －a |＋|x －b ｜≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c （c >0）型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数,利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想． 2．含有绝对值的不等式的性质
（1）如果a ，b 是实数，则｜a ｜－｜b |≤｜a ±b |≤｜a |＋|b ｜，当且仅当
ab ≥0时，等号成立．
(2）如果a ，b ，c 是实数，那么｜a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b ）（b －c )≥0时，等号成立． 3．不等式证明的方法 (1）比较法 ①作差比较法
知道a >b ⇔a －b 〉0，a <b ⇔a －b 〈0，因此要证明a >b ，只要证明a －b >0即可，这种方法称为作差比较法． ②作商比较法
由a 〉b >0⇔错误!>1且a 〉0，b 〉0，因此当a >0，b >0时，要证明a 〉b ，只要证明a b
〉1即可，这种方法称为作商比较法． （2）综合法
从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证,最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫作综合法,即“由因导果”的方法．（3)分析法
从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式（已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫作分析法，即“执果索因”的方法．
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若|x｜〉c的解集为R，则c≤0。

（×)
（2）不等式|x－1｜＋|x＋2|〈2的解集为∅.（√)
(3）对｜a＋b|≥｜a|－｜b｜当且仅当a>b>0时等号成立．( ×)
(4)对｜a｜－|b｜≤|a－b|当且仅当｜a|≥｜b|时等号成立．（×) (5）对|a－b｜≤｜a｜＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( √）
题组二教材改编
2．不等式3≤｜5－2x｜<9的解集为（）
A．［－2,1）∪[4,7）B．(－2,1］∪(4,7］
C．(－2，－1］∪［4，7） D．（－2，1］∪[4，7）
答案D
解析由题意得错误!
即错误!
解得错误!不等式的解集为（－2,1］∪ [4，7)．
3．求不等式｜x－1｜－｜x－5｜<2的解集．
解①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2,
∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；
②当1〈x〈5时，原不等式可化为x－1－(5－x）<2，
∴x〈4，∴1〈x<4；
③当x≥5时，原不等式可化为x－1－（x－5）〈2，该不等式不成立．
综上,原不等式的解集为(－∞,4)．
题组三易错自纠
4．若函数f（x)＝｜x＋1｜＋2｜x－a｜的最小值为5，则实数a＝。

答案4或－6
解析方法一①当a＝－1时,f（x)＝3|x＋1｜,
f(x)
min
＝0，不符合题意;
②当a〈－1时，f（x)＝错误!
∴f(x)min＝f(a)＝－a－1＝5,∴a＝－6成立;
③当a〉－1时，f（x)＝错误!
∴f(x）min＝f(a)＝a＋1＝5，∴a＝4成立．
综上,a＝4或a＝－6.
方法二当a＝－1时，f（x)min＝0，不符合题意;
当a≠－1时，f(x）min＝f(a）＝|a＋1｜＝5，
∴a＝4或a＝－6.
5．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则错误!＋错误!＋错误!的最小值为．
答案9
解析把a＋b＋c＝1代入到错误!＋错误!＋错误!中，
得错误!＋错误!＋错误!
＝3＋错误!＋错误!＋错误!
≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c＝1
3
时,等号成立．
6．若不等式｜2x－1｜＋｜x＋2|≥a2＋错误!a＋2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为．
答案错误!
解析设y＝｜2x－1｜＋|x＋2|
＝错误!
当x〈－2时，y＝－3x－1>5；
当－2≤x〈1
2
时，y＝－x＋3>错误!，y≤5;
当x≥错误!时,y＝3x＋1≥错误!，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2｜的最小值为错误!。

因为不等式|2x－1｜＋|x＋2|≥a2＋错误!a＋2对任意实数x恒成立,所以错误!≥a2＋错误!a＋2。

解不等式错误!≥a2＋错误!a＋2，得－1≤a≤错误!，
故实数a的取值范围为错误!。

题型一绝对值不等式的解法
1．（2017·全国Ⅰ)已知函数f（x）＝－x2＋ax＋4,g（x）＝|x＋1｜＋｜x－1｜.（1）当a＝1时，求不等式f(x)≥g（x)的解集；
（2)若不等式f（x）≥g(x)的解集包含［－1,1］，求a的取值范围．
解(1）当a＝1时，不等式f(x)≥g（x）等价于
x2－x＋｜x＋1|＋｜x－1|－4≤0.①
当x<－1时,①式化为x2－3x－4≤0，无解；
当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1;
当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而1<x≤错误!。

所以f（x）≥g(x)的解集为错误!。

(2)当x∈［－1,1]时,g(x)＝2，
所以f(x）≥g(x)的解集包含［－1,1］等价于
当x∈[－1,1]时,f(x）≥2。

又f（x）在[－1，1］上的最小值必为f（－1）与f（1)之一，
所以f(－1）≥2且f(1）≥2，得－1≤a≤1.
所以a的取值范围为［－1，1］．
2．已知函数f（x）＝｜x＋1｜－2|x－a｜，a〉0.
(1）当a＝1时,求不等式f(x）>1的解集；
(2)若f（x)的图像与x轴围成的三角形的面积大于6,求a的取值范围．
解（1)当a＝1时，
f(x)>1化为｜x＋1|－2|x－1|－1〉0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解;
当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得错误!<x<1;
当x≥1时,不等式化为－x＋2〉0,解得1≤x<2。

所以f（x)>1的解集为错误!。

(2）由题设可得，f（x）＝错误!
所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A错误!，B(2a＋1,0），C(a，a＋1），
△ABC的面积为2
3
（a＋1）2。

由题设得2
3
（a＋1)2>6,故a〉2。

所以a的取值范围为(2，＋∞）．
思维升华解绝对值不等式的基本方法
(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．
(3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
题型二利用绝对值不等式求最值
典例（1)对任意x，y∈R，求｜x－1｜＋|x｜＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；(2）对于实数x，y,若｜x－1|≤1，｜y－2|≤1，求|x－2y＋1｜的最大值．解(1)∵x，y∈R，
∴｜x－1｜＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，
当且仅当0≤x≤1时等号成立，
∴｜y－1｜＋｜y＋1|≥｜(y－1）－(y＋1)|＝2，
当且仅当－1≤y≤1时等号成立，
∴|x－1｜＋|x｜＋|y－1｜＋|y＋1｜≥1＋2＝3.
当且仅当0≤x≤1，－1≤y≤1同时成立时等号成立．
∴|x－1|＋|x｜＋｜y－1｜＋|y＋1|的最小值为3。

（2）｜x－2y＋1|＝｜（x－1）－2（y－1）|≤｜x－1|＋｜2(y－2）＋2｜≤1＋2｜y－2｜＋2≤5，即｜x－2y＋1｜的最大值为5。

思维升华求含绝对值的函数最值时,常用的方法有三种
（1)利用绝对值的几何意义．
(2)利用绝对值三角不等式，即｜a|＋|b｜≥｜a±b｜≥｜a|－｜b｜.
（3)利用零点分区间法．
跟踪训练（2017·镇江模拟）已知a和b是任意非零实数．
(1)求｜2a＋b｜＋｜2a－b|
|a|
的最小值；
(2)若不等式|2a＋b|＋｜2a－b|≥｜a|（｜2＋x｜＋｜2－x｜)恒成立，求实数x的取值范围．
解(1)∵错误!≥错误!
＝错误!＝4，
当且仅当(2a＋b）(2a－b)≥0时等号成立，
∴错误!的最小值为4.
（2)若不等式｜2a＋b|＋|2a－b|≥|a｜(|2＋x｜＋|2－x|)恒成立，即|2＋
x｜＋｜2－x|≤｜2a＋b|＋|2a－b|
|a｜
恒成立,
故｜2＋x|＋｜2－x|≤错误!min。

由(1)可知，错误!的最小值为4，
∴x的取值范围即为不等式｜2＋x|＋|2－x｜≤4的解集．
解不等式得－2≤x≤2,
故实数x的取值范围为[－2，2］．
题型三绝对值不等式的综合应用
典例已知函数f（x)＝|x－a|＋错误!（a≠0）．
（1）若不等式f（x)－f(x＋m)≤1恒成立,求实数m的最大值；
(2）当a〈错误!时，函数g（x)＝f(x)＋｜2x－1|有零点，求实数a的取值范
围．
解(1）∵f(x）＝｜x－a｜＋错误!（a≠0)，
∴f（x＋m）＝|x＋m－a｜＋错误!，
∴f（x）－f(x＋m）＝|x－a｜－|x＋m－a｜≤1，
又|x－a|－｜x＋m－a|≤|m|，
∴|m|≤1，∴－1≤m≤1，
∴实数m的最大值为1。

(2）当a〈错误!时，
g(x)＝f(x)＋｜2x－1｜＝|x－a｜＋|2x－1｜＋错误!
＝错误!
∴g(x)min＝g错误!＝错误!－a＋错误!
＝错误!≤0,
∴错误!或错误!
∴－错误!≤a<0，
∴实数a的取值范围是错误!。

思维升华 (1）解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．
(2）数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．
跟踪训练（2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝｜x＋1｜－｜x－2|.
(1)求不等式f（x)≥1的解集；
(2）若不等式f（x）≥x2－x＋m的解集非空,求m的取值范围．
解(1）f（x)＝错误!
当x＜－1时，f（x）≥1无解;
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2;
当x＞2时，由f（x）≥1，解得x＞2,
所以f（x）≥1的解集为｛x|x≥1}．
（2)由f（x)≥x2－x＋m，得
m≤|x＋1|－｜x－2｜－x2＋x.
而｜x＋1｜－｜x－2|－x2＋x
≤｜x|＋1＋|x|－2－x2＋｜x|
＝－错误!2＋错误!≤错误!，
当x＝错误!时，｜x＋1|－|x－2｜－x2＋x＝错误!.
故m的取值范围为错误!。

题型四用综合法与分析法证明不等式
典例（1）已知x，y均为正数,且x〉y，求证:2x＋错误!≥2y＋3；(2）设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1,求证：a＋b＋c≥错误!。

证明（1）因为x>0，y〉0，x－y>0，
2x＋错误!－2y＝2(x－y)＋错误!
＝（x－y）＋(x－y）＋错误!
≥3错误!＝3，
所以2x＋
1
x2－2xy＋y2
≥2y＋3.
（2）因为a，b,c〉0，所以要证a＋b＋c≥错误!，
只需证明（a＋b＋c)2≥3。

即证a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca)≥3,
而ab＋bc＋ca＝1，
故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3（ab＋bc＋ca），
即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。

而ab＋bc＋ca≤错误!＋错误!＋错误!＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立）成立，
所以原不等式成立．
思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因"，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程,表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透,互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路,开阔视野．
跟踪训练（2017·全国Ⅱ)已知a>0，b〉0，a3＋b3＝2,证明：(1)(a＋b)(a5＋b5）≥4；
（2)a ＋b ≤2.
证明 (1）(a ＋b )（a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6
＝（a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)
＝4＋ab （a 4＋b 4－2a 2b 2)
＝4＋ab （a 2－b 2)2≥4.
（2)因为（a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3
＝2＋3ab （a ＋b ）
≤2＋错误!（a ＋b ）
＝2＋错误!，
所以（a ＋b ）3≤8，因此a ＋b ≤2.
1．解不等式|x －1|＋｜x ＋2|≥5.
解 方法一 如图,设数轴上与－2,1对应的点分别是A ，B ,则不等式的解就是数轴上到A ，B 两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．
显然，区间［－2，1]不是不等式的解集．把点A 向左移动一个单位到点A 1,此时|A 1A ｜＋｜A 1B |＝1＋4＝5.把点B 向右移动一个单位到点B 1，此时｜B 1A |＋｜B 1B |＝5，故原不等式的解集为(－∞,－3]∪［2，＋∞）．
方法二 由原不等式｜x －1｜＋|x ＋2|≥5，
可得错误!或错误!
或⎩⎨⎧ x ≥1，x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2或x ≤－3,
∴原不等式的解集为(－∞，－3］∪［2，＋∞）．
方法三 将原不等式转化为|x －1｜＋|x ＋2|－5≥0。

令f （x )＝|x －1|＋|x ＋2｜－5，则
f (x )＝错误!
作出函数的图像，如图所示．
由图像可知，当x∈（－∞,－3］∪[2，＋∞）时，y≥0，
∴原不等式的解集为（－∞,－3］∪[2,＋∞)．
2．（2017·烟台二模）若不等式log2(|x＋1｜＋|x－2｜－m)≥2恒成立,求实数m的取值范围．
解由题意可知|x＋1｜＋｜x－2｜－m≥4恒成立，
即m≤（|x＋1｜＋|x－2|－4）min。

又因为|x＋1｜＋｜x－2|－4≥｜（x＋1）－（x－2)｜－4＝－1，
当且仅当－1≤x≤2时等号成立，
所以m≤－1。

即实数m的取值范围为（－∞，－1］．
3．对于任意实数a，b,已知|a－b|≤1，|2a－1｜≤1，且恒有|4a－3b＋2｜≤m，求实数m的取值范围．
解因为｜a－b｜≤1，｜2a－1｜≤1,
所以|3a－3b|≤3，错误!≤错误!,
所以｜4a－3b＋2|＝错误!
≤｜3a－3b｜＋错误!＋错误!≤3＋错误!＋错误!＝6,
即｜4a－3b＋2｜的最大值为6，
所以m≥｜4a－3b＋2｜max＝6。

即实数m的取值范围为［6，＋∞)．
4．设a,b,c,d均为正数,且a＋b＝c＋d，证明：
（1)若ab＞cd，则错误!＋错误!＞错误!＋错误!；
（2）错误!＋错误!＞错误!＋错误!是|a－b｜＜｜c－d|的充要条件．
证明（1）因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，
（错误!＋错误!）2＝c＋d＋2错误!，
由题设知a＋b＝c＋d,ab＞cd,
得(错误!＋错误!）2＞（错误!＋错误!)2.
因此a＋错误!＞错误!＋错误!。

（2)①若｜a－b｜＜|c－d|，则(a－b)2＜（c－d)2,
即（a＋b）2－4ab＜（c＋d)2－4cd.
因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd；
由（1)得a＋b＞错误!＋错误!,即必要性成立；
②若a＋错误!＞错误!＋错误!，则（错误!＋错误!)2＞（错误!＋错误!）2,
即a＋b＋2错误!＞c＋d＋2错误!。

因为a＋b＝c＋d,所以ab＞cd，于是
（a－b)2＝（a＋b)2－4ab＜（c＋d）2－4cd＝(c－d）2.
因此｜a－b｜＜｜c－d|,即充分性成立．
综上，错误!＋错误!＞错误!＋错误!是｜a－b|＜｜c－d｜的充要条件．5．(2017·洛阳模拟)已知关于x的不等式｜2x＋1｜－｜x－1｜≤log2a（其中a〉0)．
（1)当a＝4时，求不等式的解集；
（2)若不等式有解，求实数a的取值范围．
解(1）当a＝4时，不等式为|2x＋1｜－｜x－1|≤2.
当x<－错误!时，－x－2≤2，解得－4≤x<－错误!;
当－错误!≤x≤1时，3x≤2，解得－错误!≤x≤错误!；
当x>1时,x≤0，此时x不存在，
∴原不等式的解集为错误!.
(2)令f(x)＝｜2x＋1｜－|x－1|，
则f(x)＝错误!
故f(x）∈错误!,即f(x）的最小值为－错误!。

若f(x)≤log2a有解，则log2a≥－错误!，
解得a≥错误!，即a的取值范围是错误!。

6．(2017·沈阳模拟)设f（x）＝|ax－1|.
(1）若f(x)≤2的解集为［－6，2]，求实数a的值；
(2)当a＝2时，若存在x0∈R，使得不等式f（2x0＋1)－f（x0－1)≤7－3m成立,求实数m的取值范围．
解(1）显然a≠0，当a>0时,解集为错误!，
则－错误!＝－6,错误!＝2，无解;
当a<0时，解集为错误!，
令－错误!＝2，错误!＝－6，得a＝－错误!。

综上所述，a＝－错误!。

(2)当a＝2时，令h（x）＝f(2x＋1）－f(x－1)
＝|4x＋1｜－｜2x－3|
＝错误!
由此可知h（x）在错误!上是减少的，
在错误!上是增加的，
在错误!上是增加的，
则当x＝－错误!时，h(x)取得最小值－错误!,由题意，知－错误!≤7－3m，则实数m的取值范围是错误!.
7．(2017·哈尔滨三中检测)已知a，b,c为正实数，且a＋b＋c＝2.
（1）求证：ab＋bc＋ac≤错误!;
（2）若a，b，c都小于1，求a2＋b2＋c2的取值范围．
(1)证明∵a＋b＋c＝2，
∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝4，
∴2a2＋2b2＋2c2＋4ab＋4bc＋4ca＝8，
∴8＝2a2＋2b2＋2c2＋4ab＋4bc＋4ca≥6ab＋6bc＋6ac，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴ab＋bc＋ac≤错误!。

(2）解由题意可知，a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝4，
∴4≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2＝3(a2＋b2＋c2），当且仅当a＝b＝c 时取等号，∴a2＋b2＋c2≥错误!。

∵0〈a <1，∴a >a 2。

同理b 〉b 2，c >c 2。

∴a 2＋b 2＋c 2<a ＋b ＋c ＝2，
∴错误!≤a 2＋b 2＋c 2<2,
∴a 2＋b 2＋c 2的取值范围为错误!.
8．已知函数f （x )＝m －|x －1|－|x －2｜,m ∈R ，且f （x ＋1）≥0的解集为
[0,1]．
(1)求m 的值;
（2)若a ,b ，c ,x ,y ，z ∈R ，且x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2＝m ，求证：ax ＋by ＋cz ≤1.
(1)解 由f (x ＋1)≥0，得|x |＋|x －1|≤m 。

∵｜x ｜＋｜x －1|≥1恒成立，
∴若m 〈1，不等式|x |＋｜x －1｜≤m 的解集为∅，不合题意；
若m ＝1，不等式|x |＋｜x －1｜≤1的解集为[0,1］．
若m >1，①当x <0时,错误!≤x <0;
②当0≤x ≤1时，得x ＋1－x ≤m,0≤x ≤1；
③当x 〉1时,得2x －1≤m,1<x ≤错误!.
综上可知，不等式｜x |＋|x －1｜≤m 的解集为
错误!。

由题意知，原不等式的解集为[0，1］． ∴1－m 2
＝0，错误!＝1，解得m ＝1。

∴m ＝1.
（2)证明 ∵x 2＋a 2≥2ax ，y 2＋b 2≥2by ，z 2＋c 2
≥2cz ，当且仅当x ＝a ,y ＝b ，z ＝c 时等号成立．
三式相加，得
x 2＋y 2＋z 2＋a 2＋b 2＋c 2≥2ax ＋2by ＋2cz .
由题设及(1）,知x 2＋y 2＋z 2＝a 2＋b 2＋c 2
＝m ＝1，
∴2≥2（ax ＋by ＋cz ),∴ax ＋by ＋cz ≤1,不等式得证．
9．(2017·银川模拟）已知函数f （x ）＝｜x ＋1｜，g (x )＝2｜x |＋a 。

(1）当a ＝－1时，解不等式f （x )≤g （x )；
(2)若存在x 0∈R ，使得f （x 0)≥错误!g （x 0），求实数a 的取值范围． 解 （1)当a ＝－1时,不等式f （x )≤g (x ），
即|x ＋1|≤2|x ｜－1，从而错误!
即x ≤－1,
或错误!即－1〈x ≤－错误!，
或错误!即x ≥2。

从而不等式f （x ）≤g (x )的解集为
错误!.
（2）存在x 0∈R ，使得f （x 0)≥错误!g （x 0)，
即存在x 0∈R ，使得｜x 0＋1|≥｜x 0｜＋错误!，
即存在x 0∈R ，使得错误!≤|x 0＋1｜－｜x 0｜.
设h (x )＝|x ＋1｜－｜x |＝错误!
则h （x )的最大值为1,所以错误!≤1，即a ≤2.
所以实数a 的取值范围为(－∞,2］．
10．已知a ＋b ＝1，对任意a ，b ∈（0，＋∞），1a
＋错误!≥｜2x －1｜－｜x ＋1|恒成立．
(1）求错误!＋错误!的最小值；
(2）求x 的取值范围．
解 （1)∵a >0，b >0且a ＋b ＝1，
∴错误!＋错误!＝错误!（a ＋b )
＝5＋错误!＋错误!≥9，
当且仅当b a
＝错误!，即a ＝错误!，b ＝错误!时，错误!＋错误!取得最小值9. (2）∵对任意a ，b ∈(0，＋∞),
错误!＋错误!≥｜2x －1|－｜x ＋1|恒成立,
∴｜2x －1|－｜x ＋1|≤9。

当x ≤－1时，不等式化为2－x ≤9，
解得－7≤x ≤－1;
当－1〈x 〈12时,不等式化为－3x ≤9，
解得－1〈x <12；
当x ≥12时，不等式化为x －2≤9，
解得12≤x ≤11.
∴x 的取值范围为{x ｜－7≤x ≤11}．。