河南高二高中数学期中考试带答案解析

河南高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知数列的前四项为1，，1，，则该数列的通项公式可能是（）
A．B．C．D．
2.在中，角的对边分别为，若，，则（）
A．B．C．D．
3.已知向量，，若，则（）
A．B．20C．D．5
4.等差数列的前项和为，且，则公差（）
A．B．C．D．
5.在中，角的对边分别为，若，，，则（）
A．B．C．D．
6.已知等比数列中，，，则（）
A．64B．32C．D．
7.在中，角的对边分别为，，，则的周长为（）A．B．C．D．
8.函数是（）
A．有一条对称轴为的奇函数B．有一条对称轴为的偶函数
C．有一条对称中心为的奇函数D．有一个对称中心为的偶函数
9.设为等比数列的前项和，，则（）
A．B．C．2D．17
10.在中，角的边长分别为，角成等差数列，，，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．无解D．不能确定
11.等差数列的前项和为，若，，则数列前11项中（）
A．首项最大B．第9项最大C．第10项最大D．第11项最大
12.如图，海中有一小岛，一小船从地出发由西向东航行，望见小岛在北偏东60°，航行8海里到达处，望见小岛在北偏东15°.若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛的距离为（）
A．海里B．海里C．海里D．海里
二、填空题
1.在中，角的对边分别为，，，则__________.
2.若单位向量满足，则的夹角为__________.
3.已知，，则__________.
4.已知数列为等比数列，，，则__________.
三、解答题
1.在中，角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）若，，求及的面积.
2.如图，在平行四边形中，，是上一点，且.
（1）求实数的值；
（2）记，，试用表示向量，，.
3.在递增的等差数列中，，.
（1）求的前项和；
（2）求的前项和.
4.设向量，，函数.
（1）求函数的最大值及最小正周期；
（2）若函数的图象是由的图象向左平移个单位长度得到，求的单调增区间.
5.在中，角的对边分别为，已知.
（1）若为直角，求；
（2）若，求.
6.数列的前项和满足，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
河南高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.已知数列的前四项为1，，1，，则该数列的通项公式可能是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】已知数列中的项，可以得到当n=1时，项是1，带入选项，排除B，当n=2时，项为-1，排除选项C.再代入n=3,项是1，故排除D。

综上正确答案应该为A。

故答案为A。

2.在中，角的对边分别为，若，，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵a=2c，，
∴由正弦定理可得：sinA=2sinC，
∴sinA=2×=．
故选：D．
3.已知向量，，若，则（）
A．B．20C．D．5
【答案】A
【解析】因为，故由向量平行的坐标运算得到，此时，
故答案为A。

4.等差数列的前项和为，且，则公差（）
A．B．C．D．
【解析】 ，即 ，
，
，故选B.
5.在中，角的对边分别为
，若
，
，，则
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】根据题意，△ABC 中，a=4，b=5，c=6， 则
故选：D ．
6.已知等比数列中，
，，则（ ）
A ．64
B ．32
C ．
D ．
【答案】D
【解析】根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ， 若a 1+a 2+a 3=4，
则a 7+a 8+a 9=a 1q 6+a 2q 6+a 3q 6=（a 1+a 2+a 3）q 6=16， 解可得：q 6=4，即q 3=±2，
a 10+a 11+a 12=a 7q 3+a 8q 3
+a 9q 3=（a 7+a 8+a 9）q 3=±32， 故选：D ． 7.在中，角的对边分别为，，，则
的周长为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】∵sinA ：sinB=1：， ∴由正弦定理可得：b=又∵c=2cosC=，
∴由余弦定理可得：cosC 整理解得：a=
，可求b=
=3，∴△ABC 的周长
=a+b+c=
=2
+3．
故答案选：C ． 8.函数
是（ ） A ．有一条对称轴为的奇函数 B ．有一条对称轴为的偶函数 C ．有一条对称中心为
的奇函数
D ．有一个对称中心为
的偶函数
【答案】C
【解析】根据二倍角公式展开得到
故函数是奇函数，对称中心是
，故C 选项正确，D 是错的；B 也是错的。

对称轴是
；
故答案选C 。

9.设为等比数列的前项和，
，则
（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．17
【解析】等比数列，
故答案选A 。

10.在中，角的边长分别为，角
成等差数列，，
，则此三角形解的情况是（ ）
A ．一解
B ．两解
C ．无解
D ．不能确定
【答案】B
【解析】∵角A ，B ，C 成等差数列，
∴A+C=2B ，又A+B+C=π， ∴B=，
∴点C 到AB 的距离d=asinB=3
∵b=4， ∴d ＜b ＜a ，
∴三角形有两解． 故选B ．
11.等差数列的前项和为，若，，则数列
前11项中（ ）
A ．首项最大
B ．第9项最大
C ．第10项最大
D ．第11项最大
【答案】C
【解析】等差数列{a n }的前n 项和为S n ， ∵S 20＞0，S 21＜0，
∴a 11+a 10＞0，a 11＜0， ∴a 11＜0，a 10＞0， ∴数列
中，前10项都为正数，第11项为负；
且分子S n 是递增的正数，分母a n 是递减的正数， ∴第10项
最大．
故选：C ．
点睛：这个题目考查的是等差数列前n 项和的性质。

等差数列中的性质有 当n 为
奇数时，
这两个式子通过中间项的正负可以判断数列前n 项和的正负。

12.如图，海中有一小岛，一小船从地出发由西向东航行，望见小岛在北偏东60°，航行8海里到达处，望见小岛在北偏东15°.若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛的距离为（ ）
A．海里B．海里C．海里D．海里
【答案】C
【解析】在△ABC中，AB=8，∠BAC=30°，∠ABC=105°，∴∠ACB=45°，
由正弦定理得：
解得AC=4+4，设小船继续航行2（﹣1）海里到达D处，则AD=2+6，
在△ACD中，由余弦定理得：CD2=（4+4）2+（2+6）2﹣2（4+4）（2+6）× =16+8，∴CD=2
（+1）．
故答案选C．
点睛：这个题目考查了三角函数正余弦定理的应用，在几何与实际应用题目中的运用。

一般是先构建模型，找到实际图中所包含的几何图形，通过已知的角或边，由正余弦定理列出方程即可。

如果题目中的条件是两角一边，或两角和一个对边，那么用正弦定理解题的可能性较大；如果给的是两边和夹角，那么通常情况下就是余弦定理的应用.
二、填空题
1.在中，角的对边分别为，，，则__________.
【答案】3
【解析】∵，∴sinA==，
∴由正弦定理可得：
故答案为：3．
2.若单位向量满足，则的夹角为__________.
【答案】（或120°）
【解析】根据题意，设的夹角为θ，
又由为单位向量且满足，
则有=32﹣82﹣10•=0，
变形可得：•=﹣，
即cosθ=﹣，
又由0°≤θ≤180°，
则θ=120°；
故答案为：120°．
3.已知，，则__________.
【答案】
【解析】∵tan（α+β）=，tan（α+）=﹣，
则tan（β﹣）=tan[（α+β）﹣（α+）]
故答案为：。

点睛：这个题目考查了三角函数诱导公式的应用知值求值的题型；一般是由题目中的已知三角函数值的角来表示未知的要求的角，通过已知角的和或差，或者已知角加减乘除的运算得到要求的角。

再者就是一些诱导公式的应用，有些题目还需要通过已知的三角函数值来缩小角的范围，这也是易错的点。

4.已知数列为等比数列，，，则__________.
【答案】
【解析】已知数列为等比数列，，，
故
故答案为：。

三、解答题
1.在中，角的对边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）若，，求及的面积.
【答案】(1)6；(2)，∴.
【解析】（1）已知，由正弦定理角化边直接得到；（2）由第一问已知，，再由余弦定理得到，，有三角形面积公式得到。

（1）∵，∴，
∴，∴.
（2）∵，，∴.
∴.
∴，∴.
2.如图，在平行四边形中，，是上一点，且.
（1）求实数的值；
（2）记，，试用表示向量，，.
【答案】(1)；(2)，，.
【解析】（1）根据平面向量共线定理得到，由系数和等于1，得到
即。

（2）根据平面向量基本定理，选择适当的基底，。

（1）因为，所以，
所以，
因为三点共线，所以，所以.
（2），
，
.
3.在递增的等差数列中，，.
（1）求的前项和；
（2）求的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）由等差数列的概念和前n项和，将式子化为基本量，得到通项公式，再根据等差数列求和公式求和即可；（2）根据第一问得到，裂项求和即可。

设的公差为，则.
所以，
解得，所以.
（1）.
（2），
所以
.
4.设向量，，函数.
（1）求函数的最大值及最小正周期；
（2）若函数的图象是由的图象向左平移个单位长度得到，求的单调增区间.
【答案】(1)，；(2)5.
【解析】（1）由向量点积的坐标运算得到，再由二倍角和化一公式得到
；由周期的定义求周期即可（2）根据左加右减得到，再根据正弦函数的单调性得到，进而求得单调区间。

.
（1）函数的最大值，最小正周期.
（2）依题意得：，
由，
解得，
故的单调增区间为.
5.在中，角的对边分别为，已知.
（1）若为直角，求；
（2）若，求.
【答案】(1)3；(2)5.
【解析】（1）由正弦定理角化边：，根据直角三角形满足的勾股定理，得到；（2）由
两角和差公式展开得到，化简得到.，再由余弦定理可得方程，解出即可得结果。

（1）因为，则由正弦定理得：.
因为为直角，所以，则.
（2）由已知，得，
，所以，
于是，结合余弦定理得：，
即，解得.
点睛：本题考查了正弦、余弦定理的灵活应用问题，是综合题．解三角形的题目，如果题目中的条件是两角一边，或两角和一个对边，那么用正弦定理解题的可能性较大；如果给的是两边和夹角，那么通常情况下就是余弦定理的应用了。

6.数列的前项和满足，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）已知再写一项做差可得可知是等比数列，根据题中条件，有等差和等比数列
的概念通项得到；（2）由第一问的通项可代入得到，错位相减求和即可.
（1）∵，∴当时，.
∴，，故为等比数列.
设公比为，则，，
∵成等差数列，∴，
∴，∴.
∴.
（2）∵，∴.
∴，
，
相减得：
，
∴.
点睛：这个题目考查了等比数列和等差数列的综合性质应用，数列求和的方法；数列求和经常采用的方法是：错位
相减，一般适用于等差等比综合的；裂项相消，适用于分式型的；分组求和，适用于数列中相邻几项之和或差是定值的。